操作臂的動力學

動力學研究的是物體的運動和受力之間的關系。動力學正問題根據(jù)關節(jié)驅動力矩或力，計算操作臂的運動(關節(jié)位移、速度和加速度)；動力學逆問題一一已知軌跡運動對應的關節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關節(jié)力矩或力。所采用的方法很多．有拉格朗日方法、牛頓—歐拉方法方法、高斯(Gauss)方法、凱恩(Kane)方法、旋量對偶數(shù)方法、羅伯遜—魏登堡方法等。研究機器人動力學的目的是多方面的。動力學正問題與操作臂的仿真研究有關、逆問題是為了實時控制的需要，利用動力學模型、實現(xiàn)最優(yōu)控制，以期達到良好的動態(tài)性能相最優(yōu)指標。由于動力學實時計算的復雜性，在實現(xiàn)控制時，都要作某些簡化假設。機器人動力學性能的最優(yōu)控制和自適應控制至今還未用于機器人產品，仍是個有待研究的課題。連桿的速度由（2－13）可以知道任一點p在兩坐標系中的描述Ap和BP之間的關系兩邊求導：旋轉矩陣的導數(shù)由旋轉變換通式(2.58)可知：角速度算子矩陣上式兩端除以t，并取極限在任意矢徑P處引起的線速度為：歐拉角描述的角速度剛體的速度和加速度對上式兩邊求導得：旋轉關節(jié)的連桿運動的傳遞旋轉關節(jié)的連桿運動的傳遞移動關節(jié)的連桿速度傳遞示例平面2R機械手如圖所．用遞椎法求出末端桿的速度和角速度，雅可比，角加速度和線加速度。（1）建立如圖坐標系（2）寫出D-H參數(shù)表iαi-1ai-1θidi100θ1020l1θ2030l200示例（3）寫出連桿變換矩陣示例（4）速度遞推示例（5）寫出末端桿坐標系中表示的雅可比矩陣（6）計算基礎坐標系中表示的速度遞推關系由此可知示例雅可比矩陣的四種求解方法：求導法；矢量積法；微分運動法；速度遞推法（7）寫出基礎坐標系中表示的雅可比矩陣寫成矩陣形式：連桿靜力學分析忽略重力影響得：力和力矩在自身坐標系中表示：旋轉關節(jié)：移動關節(jié)：寫成矩陣形式：得力雅可比矩陣：基礎坐標系中表示的力雅可比矩陣：4.3

機器人的動力學4.3.1

轉動慣量平移作為回轉運動來分析根據(jù)牛頓第二定律和若把這一運動看成是桿長為r，集中質量在末端為m的桿件繞z軸的回轉運動，則得到加速度和力的關系式為式中，和N是繞z軸回轉的角加速度和轉矩。上式為質點繞固定軸回轉時的運動方程式。I相當于平移運動時的質量，稱為轉動慣量

。將它們代入前面的方程，得：令，則有：例：求圖所示的質量為M，長度為L的勻質桿繞其一端回轉時的轉動慣量I。解：勻質桿的微段dx的質量用線密度ρ（=M/L）表示為dm=ρdx。該微段產生的轉動慣量為。因此，把dI在長度方向上積分，可得該桿的轉動慣量I為：例：試求上例中桿繞其重心回轉時的轉動慣量IC。解：先就桿的一半來求解，然后加倍即可。假定x為離桿中心的距離，則得到即平行軸定理：剛體對任一軸的轉動慣量，等于剛體對過質心且與該軸平行之軸的轉動慣量加上剛體的質量與此兩軸間距離平方的乘積。設剛體對過質心C的Zc軸的轉動慣量為IZC，對與Zc軸平行的Z軸的轉動慣量為IZ，該兩軸間的距離為d，剛體的質量為M，則4.3.2

Newton-Euler遞推動力學方程如果將機械手的連桿看成剛體，它的質心加速度、總質量m與產生這一加速度的作用力f之間的關系滿足牛頓第二運動定律:當剛體繞過質心的軸線旋轉時，角速度ω，角加速度，慣性張量與作用力矩n之間滿足歐拉方程：慣性張量令｛c｝是以剛體的質心c為原點規(guī)定的一個坐標系，相對于該坐標系｛c｝，慣性張量定義為３×３的對稱矩陣：式中，對角線元素是剛體繞三坐標軸x，y，z的質量慣性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素為慣性積。

慣性張量表示剛體質量分布的特征。其值與選取的參考坐標系有關，若選取的坐標系使慣性積都為零，相應的質量慣性矩為主慣性矩。例：如圖所示的1自由度機械手。假定繞關節(jié)軸z的轉動慣量為IZ，z軸為垂直紙面的方向。解：式中，g是重力常數(shù)，把上面三式代入歐拉方程且只提取z軸分量得到：zmg4.3.3

Lagrange動力學對于任何機械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總的動能K與總的勢能P之差，即L=K-P。這里，L是拉格朗日算子；k是動能；P是勢能。

或

利用Lagrange函數(shù)L，系統(tǒng)的動力學方程（稱為第二類Lagrange方程）為：（動能是關節(jié)變量和關節(jié)速度的函數(shù)，勢能是關節(jié)變量的函數(shù)）表示動能，表示勢能。例：平面RP機械手如圖所示，連桿1和連桿2的質量分別為m1和m2，質心的位置由l1和d2所規(guī)定，慣性張量為（z軸垂直紙面）：解：連桿1，2的動能分別為：機械手總的動能為連桿1，2的勢能分別為機械手總的位能（勢能）為計算各偏導數(shù)將以上結果代入Lagrange方程得附：就前面的1自由度機械手用Lagrange法求解如下：總勢能為代入Lagrange方程得，與前面的結果一致。這里I=IZ=IC+mL2C解：總動能

（θ為廣義坐標）zmg１.若1自由度機械手為勻質連桿，質量為m，長度為L，結果會怎樣？２.若1自由度機械手為集中質量連桿，長度為L，集中質量m在連桿末端L處，結果會怎樣？z動力學逆問題遞推算法：（根據(jù)關節(jié)位移、速度、加速度，求所需的關節(jié)力矩和力）步驟：1）向外遞推計算各連桿的速度和加速度（0系到6系）

2）向內遞推計算各連桿相互作用的力和力矩，以及關節(jié)的驅動力和力矩自由端：考慮重力加速度：兩種用途：數(shù)值計算；封閉形式動力學方程例5.3假定平面2R機械手的兩個連桿的質量集中在連桿末端，分別為m1和m2.機械手的運動參數(shù)和動力學參數(shù)為：利用遞推公式得：1）向外遞推各連桿的速度和加速度將1n1和2n2的z軸分量列出，即得到兩關節(jié)力矩：可以改寫為：慣性矩陣離心力+哥式力矢量重力矢量操作臂在關節(jié)空間中的動力學方程封閉形式的一般結構式。它反映了關節(jié)力矩與關節(jié)變量、速度、加