目錄曲線(xiàn)與軌跡問(wèn)題 2【課前診斷】 2【知識(shí)點(diǎn)一：求曲線(xiàn)方程】 4【典型例題】 4考點(diǎn)一：定義法 4考點(diǎn)二：直接法 4考點(diǎn)三：相關(guān)點(diǎn)法 5考點(diǎn)四：參數(shù)法 6【小試牛刀】 8【鞏固練習(xí)——基礎(chǔ)篇】 9【鞏固練習(xí)——提高篇】 10

曲線(xiàn)與軌跡問(wèn)題【課前診斷】成績(jī)（滿(mǎn)分10）：完成情況：優(yōu)/中/差1．已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線(xiàn)ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定【答案】B2．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線(xiàn)2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能【答案】C3．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是()A．相交 B．相離C．相交或相切 D．相切【答案】：C4．設(shè)m＞0，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為()A．相切 B．相交C．相切或相離 D．相交或相切【答案】：C5．直線(xiàn)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)l的方程為()A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0【答案】：A6．與圓相切，且在軸上的截距相等的直線(xiàn)共有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條【答案】：C7．過(guò)原點(diǎn)O作圓的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，則線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】：48．已知兩圓分別為圓C1：x2＋y2＝81和圓C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，這兩圓的位置關(guān)系是()A．相離 B．相交C．內(nèi)切 D．外切【答案】：選C9．兩圓，外切，則正實(shí)數(shù)r的值是()A. B.C. D．5【答案】：選B10．圓與圓的公切線(xiàn)條數(shù)為()A．4條 B．3條C．2條 D．1條【答案】：選C11．圓和圓交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線(xiàn)的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0【答案】：選C

【知識(shí)點(diǎn)一：求曲線(xiàn)方程】一、求曲線(xiàn)方程的常用方法：（1）定義法；（2）直接法；（3）相關(guān)點(diǎn)法；（4）參數(shù)法；【典型例題】考點(diǎn)一：定義法例1.已知中，為直角，且求滿(mǎn)足條件的的軌跡方程。解析：以斜邊AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系內(nèi)。因?yàn)樵谥?，為直角，所以點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的中點(diǎn)的距離為的一半，即。所以點(diǎn)C的軌跡是以O(shè)(0,0)為圓心，r=1為半徑的圓，故圓的方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)C是的頂點(diǎn)，所以A,B,C不共線(xiàn)，即。所以，點(diǎn)C的軌跡方程為（）。易錯(cuò)點(diǎn)提示：求出曲線(xiàn)方程后易忽視點(diǎn)C為三角形的頂點(diǎn)，從而忘記去掉點(diǎn)（1,0）與（-1,0）?？偨Y(jié)：定義法求曲線(xiàn)方程：如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線(xiàn)定義，則可由曲線(xiàn)的定義直接寫(xiě)出方程，利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線(xiàn)定義的特征。練1.已知點(diǎn)A（-5,0），B（5,0），曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)M與A,B連接的線(xiàn)段MA,MB互相垂直，求曲線(xiàn)的方程?！敬鸢浮拷馕觯阂李}意，,所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑的圓。所以，點(diǎn)M的軌跡方程為：。練2.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)(－1，2)的距離是3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3【答案】A解析由條件可知，點(diǎn)P的軌跡是以(－1，2)為圓心，以3為半徑的圓，方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝9.考點(diǎn)二：直接法例1.求與兩定點(diǎn)A,B滿(mǎn)足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解析：設(shè)以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為軸建立坐標(biāo)系，,因?yàn)樗?，所以點(diǎn)P的軌跡方程為。練1.動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的比為3（即）,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解析：所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為背景資料：上題研究的軌跡就是“阿波羅尼斯圓”，“阿波羅尼斯圓”的敘述為：平面上的動(dòng)點(diǎn)P到同一平面兩定點(diǎn)A,B的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓。當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)。這樣的軌跡第一次出現(xiàn)在學(xué)生面前的是在人教A版《數(shù)學(xué)必修2》教材第124頁(yè)練2.已知A(1，0)，B(－1，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MA|－|MB|＝2，則點(diǎn)M的軌跡方程是A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)解析設(shè)M(x，y)，則eq\r(（x－1）2＋y2)－eq\r(（x＋1）2＋y2)＝2，化簡(jiǎn)得y＝0(x≤－1)．【答案】C考點(diǎn)三：相關(guān)點(diǎn)法例1.在圓上人取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程。解析：設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以。把帶入上式得：所以。點(diǎn)M的軌跡方程是。總結(jié)：相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的基本思路：①設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；②求關(guān)系式：用被動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即得關(guān)系式；③代換：將上述關(guān)系式帶入主動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的方程，化簡(jiǎn)整理可得所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。練1. 已知中，，第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線(xiàn)上移動(dòng)，求的重心G的軌跡方程。解析：設(shè)的重心，由重心坐標(biāo)公式得：因?yàn)辄c(diǎn)在曲線(xiàn)上，所以，即的重心G的軌跡方程是。

考點(diǎn)四：參數(shù)法例1.過(guò)點(diǎn)P(2,4)作兩條相互垂直的直線(xiàn)，若交軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)B，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。解析：設(shè)點(diǎn)M。當(dāng)直線(xiàn)的斜率垂直且不為0時(shí)，可設(shè)其方程為：因?yàn)?，所以，的方程為：。所以，交軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)B因?yàn)辄c(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以，消去，得：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M（1,2），也滿(mǎn)足上述的軌跡方程。綜上：點(diǎn)M的軌跡方程為：練1. 過(guò)曲線(xiàn)的頂點(diǎn)O，任作兩條互相垂直的弦OA,OB，若分別以O(shè)A,OB為直徑作圓，求兩圓的另一交點(diǎn)C的軌跡方程。解析：設(shè)，因?yàn)橐設(shè)A為直徑的圓的方程為：①以O(shè)B為直徑的圓的方程為：②因?yàn)辄c(diǎn)C滿(mǎn)足①②，由①②知是關(guān)于的二次方程的兩根，則：又因?yàn)樗?，。所以，點(diǎn)C的軌跡方程為：

【小試牛刀】1.直角坐標(biāo)系內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是A．|x|－|y|＝1 B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1解析設(shè)動(dòng)點(diǎn)(x，y)，由題意可知|x|－|y|＝1或|y|－|x|＝1，即||x|－|y||＝1，選C.【答案】C等腰三角形ABC底邊兩端點(diǎn)是A(－eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，頂點(diǎn)C的軌跡是A．一條直線(xiàn) B．一條直線(xiàn)去掉一點(diǎn)C．一個(gè)點(diǎn) D．兩個(gè)點(diǎn)解析∵△ABC為等腰三角形，∴|CA|＝|CB|，∴點(diǎn)C的軌跡應(yīng)是AB的中垂線(xiàn)，又∵C為AB中點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形，∴C的軌跡應(yīng)是一條直線(xiàn)去掉一點(diǎn)．答案B4.已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面積為10，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析由兩點(diǎn)式，得直線(xiàn)AB的方程是eq\f(y－0,4－0)＝eq\f(x＋1,2＋1)，即4x－3y＋4＝0，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度|AB|＝eq\r(（2＋1）2＋42)＝5.設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\f(1,2)×5×eq\f(|4x－3y＋4|,5)＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.

【鞏固練習(xí)——基礎(chǔ)篇】1.已知A(－1，0)，B(1，0)，C為平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足|AC|＝eq\r(2)|BC|，則點(diǎn)C的軌跡方程為A．x2＋y2＋6x＋1＝0 B．x2＋y2－6x＋1＝0C．x2＋y2－eq\f(10,3)x＋1＝0 D．x2＋y2＋eq\f(10,3)x＋1＝0解析設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則由題意得(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]．整理得x2＋y2－6x＋1＝0.【答案】B2.已知點(diǎn)A(1，0)，直線(xiàn)l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線(xiàn)l上一點(diǎn)，若eq\o(RA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，則點(diǎn)P的軌跡方程是________．解析∵eq\o(RA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，∴R，A，P三點(diǎn)共線(xiàn)，且A為RP的中點(diǎn)，設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，則由eq\o(RA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x1＝x－1，,－y1＝y(tǒng)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2－x，,y1＝－y，))將其代入直線(xiàn)y＝2x－4，得y＝2x.答案y＝2x

【鞏固練習(xí)——提高篇】1.已知直線(xiàn)l：2x＋4y＋3＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q分線(xiàn)段OP為1∶2兩部分，則Q點(diǎn)的軌跡方程是________．解析設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′，y′)，又Q分OP所成的比例為eq\f(1,2)，即eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(QP,\s\up6(→))，所以(x，y)＝eq\f(1,2)(x′－x，y′－y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)（x′－x），,y＝\f(1,2)（y′－y），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝3y.))又P(x′，y′)在2x＋4y＋3＝0上，所以2×(3x)＋4×(3y)＋3＝0，即2x＋4y＋1＝0，故點(diǎn)Q的軌跡方程是2x＋4y＋1＝0.答案2x＋4y＋1＝02.已知A，B分別是直線(xiàn)y＝eq\f(\r(3),3)x和y＝－eq\f(\r(3),3)x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為2eq\r(3)，P是AB的中點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．解析設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))∵A，B分別是直線(xiàn)y＝eq\f(\r(3),3)x和y＝－eq\f(\r(3),3)x上的點(diǎn)，∴y1＝eq\f(\r(3),3)x1，y2＝－eq\f(\r(3),3)x2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1－x2＝2\r(3)y，,y1－y2＝\f(2\r(3),3)x.))又∵|AB|＝2eq\r(3)，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.∴12y2＋eq\f(4,3)x2＝12，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.3.已知兩點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P使eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))成公差大于零的等差數(shù)列，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．解析設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，由已知M(－1，0)，N(1，0)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2，0)，∴eq\o(NM,\s\up6(→))＝(－2，0)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－x－1，－y)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq\o(NP,\s\up6(→))＝(x－1，y)．∴eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝2(x＋1)，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(－x－1)(1－x)＋(－y)2＝x2＋y2－1.eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝－2(x－1)．依題意有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x2＋y2－1）＝2（x＋1）－2（x－1）,－2（x－1）－2（x＋1）＞0))化簡(jiǎn)得：x2＋y2＝3且x＜0.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2＋y2＝3(x＜0)．4.在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，邊AB，BC上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，R，且|BQ|＝|CR|.求直線(xiàn)AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程．解析分別以AB，AD邊所在的直線(xiàn)為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系．如圖所示，則點(diǎn)A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)．設(shè)|AQ