第二節(jié)充分條件與必要條件第一章預備知識考試要求：1．理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．2．會判斷和證明簡單的充分條件、必要條件、充要條件．必備知識·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結論·性質重現1．充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的_____條件，q是p的_____條件p是q的___________條件p是q的___________條件p是q的_____條件p?qp是q的既不充分也不必要條件充分必要充分不必要必要不充分充要

2．充要關系與集合之間的關系設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A?B，則p是q的_____條件，q是p的_____條件．(2)若A

B，則p是q的___________條件，q是p的___________條件．(3)若A＝B，則p是q的_________．充分必要充分不必要必要不充分充要條件二、基本技能·思想·活動經驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)若已知p：x>1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件． (

)(2)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件． (

)(3)若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件．

(

)(4)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則B是A的真子集．

(

)34512√√√×2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A

解析：當θ＝0時，sinθ＝0成立；而當sinθ＝0時，得θ＝kπ(k∈Z)．345123．設A，B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件C

解析：由A∩B＝A可得A?B；由A?B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A?B”的充要條件．345124．a∈(0，＋∞)，b∈(0，＋∞)，則“a＜b”是“a－1＜b－1”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件C

解析：若a＜b成立，則根據不等式性質，兩邊同時減去1，不等式符號不變，所以，a＜b成立，則a－1＜b－1成立，充分性成立；若a－1＜b－1成立，根據不等式性質，兩邊同時加上1，不等式符號不變，所以，a－1＜b－1成立，則a＜b成立，必要性成立．所以“a＜b”是“a－1＜b－1”的充要條件．345125．已知“p：x>a”是“q：2<x<3”的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是_________．(－∞，2]

解析：由已知，可得{x|2<x<3}

{x|x>a}，所以a≤2.34512關鍵能力·研析考點強“四翼”考點1充分條件與必要條件的判斷——基礎性02考點2充分條件與必要條件的探究與證明——綜合性考點3充分條件與必要條件的應用——應用性1．(2022·浙江卷)設x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A

解析：因為sin2x＋cos2x＝1，所以當sinx＝1時，cosx＝0，充分性成立；當cosx＝0時，sinx＝±1，必要性不成立．所以當x∈R時，“sinx＝1”是“cosx＝0”的充分不必要條件．故選A.考點1充分條件與必要條件的判斷——基礎性

3．已知{an}是等比數列，Sn為其前n項和，那么“a1>0”是“數列{Sn}為遞增數列”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B

解析：設等比數列{an}的公比為q，充分性：當a1>0，q<0時，Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn，無法判斷其正負，顯然數列{Sn}不一定是遞增數列，充分性不成立；必要性：當數列{Sn}為遞增數列時，Sn－Sn－1＝an>0，可得a1>0，必要性成立．故“a1>0”是“數列{Sn}為遞增數列”的必要不充分條件．解決這類問題一是看前面的條件能否推出后面的結論，二是看后面的條件能否推出前面的結論，最后得出答案．

考點2充分條件與必要條件的探究與證明——綜合性

(2)設x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.證明：設p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p?q)：如果xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況．當xy＝0時，不妨設x＝0，則|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；當xy>0時，則x>0，y>0，或x<0，y<0.又當x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．當x<0，y<0時，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．綜上，當xy≥0時，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q?p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，則|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|.所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件．充要條件的證明策略(1)要證明p是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明命題“若p，則q”和“若q，則p”均為真．(2)證明前必須分清楚充分性和必要性，即清楚由哪個條件推證到哪個結論．

考點3充分條件與必要條件的應用——應用性

充分必要條件的應用問題的求解方法及注意點(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗．1．(2022·武漢模擬)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是(

)A．[－3，3]

B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1，1]D

解析：因為“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分條件，所以(－1，4)

(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.

03一題N解·深化綜合提“素養(yǎng)”已知p：x>1或x<－3，q：5x－6>x2，則?p是?q的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[四字程序]讀想算思判斷充分條件、必要條件1．充分條件、必要條件的概念．2．判斷充分條件、必要條件的方法解不等式轉化與化歸不等式5x－6>x21．定義法．2．集合法．3．等價轉化法1．一元二次不等式的解法．2．集合間的包含關系充分條件、必要條件與集合的包含關系

思路參考：解不等式＋判斷集合間的包含關系．A

解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即?q：A＝{x|x≤2或x≥3}，?p：B＝{x|－3≤x≤1}．顯然B

A，故?p是?q的充分不必要條件．故選A.思路參考：原命題與逆否命題(若?q，則?p)等價性＋轉化．A

解析：利用命題與其逆否命題的等價性，該問題可轉化為判斷q是p的什么條件．由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.顯然q是p的充分不必要條件．故選A.判斷充分條件、必要條件、充要條件關系的三種方法：(1)定義法是最基本、最常用的方法．(2)集合法主要是針對與不等式解集有關的問題．(3)等價轉化法體現了“正難則反”的解題思想，在正面解題受阻或不易求解時可考慮此方法．若集合A＝{