兩級庫存系統(tǒng)的需求響應(yīng)模型

1庫存管理問題在物流分銷系統(tǒng)的成本中，運輸和成本是成本支出的最大因素。在整個系統(tǒng)中，運輸和成本無疑是降低運輸和成本的總成本。最早提出整合運輸和庫存系統(tǒng)研究的是Harris(1913),并給出了經(jīng)典的EOQ模型解決了具隨機需求的單周期模型.但在此后的半個多世紀(jì)里,由于整合研究的復(fù)雜性及當(dāng)時供應(yīng)鏈中運輸和庫存兩環(huán)節(jié)的相對獨立性,一直受到較少的關(guān)注.事實上,一直到20世紀(jì)80年代初,庫存問題和運輸問題基本上還是分別進行研究的.進入80年代中期,隨著全球市場競爭的加劇,高效率及高效益的配送一體化戰(zhàn)略開始凸現(xiàn)其重要性和必要性,庫存問題和運輸問題的整合研究開始成為眾多學(xué)者研究的重點.Burns(1985)等使用分析的方法研究了單發(fā)點多收點物流網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合庫存和運輸最小費用問題.他們模型的特點是只有一種產(chǎn)品且服從確定性需求;Anily和Federgruen(1990)研究了單產(chǎn)品、確定性需求時間連續(xù)的庫存及車輛線路優(yōu)化問題,他們建立的模型假設(shè)系統(tǒng)只有一個配送中心但并不持有庫存;Ernst和Pyke(1993)討論了客戶隨機需求的單配送中心單零售商的配送系統(tǒng);Mason(2003)研究了供應(yīng)鏈中的倉庫和運輸?shù)恼蠁栴},該文重點是研究如何根據(jù)運輸?shù)脑谕拘畔頊p少裝卸貨的等待時間及如何減少處理費用而合理地進行作業(yè).本文主要討論隨機需求的多周期的分銷系統(tǒng)的運輸和庫存整合優(yōu)化問題.本文假設(shè)單一配送中心負責(zé)為多個零售商供應(yīng)單一貨物,運輸費用考慮車輛的啟動費用并同時考慮車輛的行車線路,配送中心和零售商均持有庫存且兩級庫存補充均采取周期訂貨策略.2補貨策略的設(shè)定考慮由一個分銷中心(DC)和若干個零售商組成的兩級分銷系統(tǒng).配送貨物為單一產(chǎn)品,分銷中心用一容量為Q的車輛為諸零售商供貨,而分銷中心由制造商供貨.假設(shè)在零售商處的顧客需求是隨機的且服從一定的概率分布,不同零售商之間及同一零售商不同時期之間的需求是獨立的.設(shè)兩級庫存補充均采取周期補貨策略,補貨時刻為周期末.為區(qū)別起見,我們稱分銷中心兩次補貨之間的時間間隔為一個循環(huán),而零售商兩次可補貨時刻之間的時間間隔為一個周期,并設(shè)分銷中心的一個循環(huán)含M(M為整數(shù))個零售商的補貨周期.對每一零售商i設(shè)定了兩庫存水平常數(shù)Ui及Li,每當(dāng)于補貨時刻,若零售商i被訪問,則補貨后的庫存水平應(yīng)達到Ui,而若實際庫存水平低于Li則必須補貨.為簡化計,設(shè)從分銷中心到零售商的補貨提前期為零,因為現(xiàn)在零售商的定購信息一般經(jīng)電子媒介傳輸,此將允許即時的銷售情況反映于定購數(shù)量中,并且從分銷中心到零銷商的運輸往往可在一夜間完成.另外假設(shè)分銷中心有足夠庫存滿足其一個循環(huán)所有零售商M個周期的前M-1個周期的補貨要求.在零售商的第M個周期,補貨于期末將直接由制造商經(jīng)分銷中心運至零售商,此時的運費不計.我們的目標(biāo)是確定對每一零售商何時進行補貨、補貨的數(shù)量以及車輛的行車線路,以使在一個循環(huán)內(nèi)分銷中心到零售商的運輸費用與兩級庫存費用之和達到最小.3運輸和庫存聯(lián)合問題根據(jù)以上對模型的描述及假設(shè),下面我們建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.設(shè)第i個零售商用i表示,i∈R={1,2,…,N},分銷中心(DC)用0表示,R′={0,1,2,…,N}表示車輛經(jīng)過點的集合;運輸及補貨時刻用t表示,t∈T={1,2,…,M-1};另外我們假設(shè)以下參數(shù)是已知的:hi:零售商i每個周期單位貨物的存儲費用,ri:零售商i不能滿足需求時的單位貨物失銷費用,λi:零售商i每周期的期望需求數(shù)量,αi:零售商i需滿足的客戶服務(wù)水平,M:DC的一個循環(huán)期內(nèi)零售商補貨的周期數(shù),H:DC每個周期單位貨物的持有費用,以下討論該系統(tǒng)在一個循環(huán)內(nèi)的期望總費用.首先討論運輸成本.設(shè)yti(t=1,2,\:,M-1,i=1,2,\:,N)為第t個周期末由分銷中心運向零售商i的運輸量,xtij={1若第t個周期末車輛從點i開往到點j0否則?t=1,2,\:,Μ-1；i,j=0,1,2,\:,Ν;則運輸總費用為:ΤΤC=Μ-1∑t=1Ν∑i=0Ν∑j=0cijxtij?(1)其中,cij為從點i到點j的運輸成本,特別地,當(dāng)i=0時(代表車輛行駛起點為DC),c0j=c0+c1d0j,j=1,2,\:,M;當(dāng)i=1,2,\:,N時,cij=c1dij,j=0,1,2,\:,N.c0為車輛啟動成本,c1為車輛行駛單位里程成本,dij為從i點到j(luò)點的里程.其次考慮零售商的庫存費用.于是M個周期增加的庫存保管費及缺貨損失費為:ΤΙC=Μ∑t=1Ν∑i=1((hi-Η)(sti+∫sti0(sti-x)dFi(x))/2+ri∫∞sti(x-sti)dFi(x)dx).(2)綜合以上兩部分費用,我們得到運輸和庫存聯(lián)合問題的數(shù)學(xué)模型如下:求xtij(t=1,2,\:,M-1,i,j=0,1,2,\:,N),yti(t=1,2,\:,M-1,i=1,2,\:,N),使得minΤC=Μ-1∑t=1Ν∑i=1Ν∑j=1cijxtij+Μ∑t=1Ν∑i=1((hi-Η)(sti+∫sti0(sti-x)dFi(x))/2+ri∫∞sti(x-sti)dFi(x)).(3)其中,函數(shù)iszero(x)表示若x=0,則其值為1,否則為零.注意在此模型的任一時刻t∈T={1,2,…,M-1},允許Ν∑j=1xt0j=Ν∑j=1xtj0=0,即實際沒有派出車輛,對應(yīng)yti=0,于是對任一零售商i在t時刻不進行補貨;第九個約束保證了行車線路的可行.解此規(guī)劃問題的困難首先在于對每一零售商i任一補貨時刻t(t∈T)的補貨數(shù)量yti既要受前期庫存量及補貨量的影響,又決定于本周期不確定的需求量.即使不計這些隨機因素,只考慮單一確定時刻滿足確定需求的運輸問題即變?yōu)橹穆眯猩虇栴}(TSP),這已是一典型的NP難題.所以對此問題直接進行求解是困難的,我們轉(zhuǎn)而探求該問題的啟發(fā)式解法.4確定補貨、運輸及庫存控制策略對每一零售商i給定了第一個周期的期初庫存量s1i,經(jīng)過一個周期的客戶隨機需求,在第一個周期末我們即可根據(jù)剩余庫存量來決策是否應(yīng)補貨及補貨的數(shù)量.但我們應(yīng)注意此時刻的決策不僅要考慮對本零售商第二及以后各個周期在內(nèi)的整個運輸及庫存費用,還要考慮與其他零售商補貨運輸及庫存費用的相互影響.首先我們考慮不涉及其他零售商時的簡單情況.在第一周期末(對應(yīng)t=1)進行決策時應(yīng)考慮的實際是基于當(dāng)前狀態(tài)的可估計的最優(yōu)全局策略.因為發(fā)生于此后每個周期的實際需求是不確定的,我們暫以其期望需求代替其實際需求、以期望庫存費用代替實際庫存費用來進行決策.但由于發(fā)生于第二周期的實際需求是隨機的,甚至?xí)c我們事先的估計有很大的差距,故對于不確定型的該庫存線路問題我們難以在循環(huán)起初就完全確定整個過程的控制策略,所以在t=1時刻制定的策略在t=2時刻需要進行調(diào)整或重新決策,于是在t=2時刻我們應(yīng)以此時的實際庫存剩余量作為決策依據(jù),同t=1的計算方法相同,進行新一輪的分析以求得t=2時刻的運輸及庫存控制策略.以此類推,直至t=M-1.所以我們的補貨及運輸?shù)臎Q策點分別在第1周期末,第2周期末,…,第M-1周期末,分別記以t=1,2,…,M-1.我們將分別確定出t時刻補貨的零售商集合Rt(Rt?R,同時用Rt中元素的先后順序來表示車輛的行車線路)及零售商i(i∈Rt)的補貨數(shù)量zwti.一般地,考慮在t(t∈T={1,2,…,M-1})時刻,設(shè)零售商i補貨前庫存量為Itj(即第t周期的實際剩余庫存量),根據(jù)我們的庫存控制策略,若Iti<Li,則在該時刻必須為零售商i安排運輸及補貨,若Iti≥Li,則在該時刻可安排或不安排運輸,其最后決策要從全局最優(yōu)來考慮.構(gòu)造一非循環(huán)網(wǎng)絡(luò)Gti(Vti,Ati,Wti,Pti),其中Vti={t0,t,t+1,t+2,\:,M-1,M},t0是我們虛擬的t以前的補貨時刻,作為求最短路徑的起點.Ati為Gti的弧集,amn∈Ati意味著在m時刻補貨后在n時刻以前不補貨是可行的(m,n∈Vti,m<n);wmn∈Wti是弧amn的載量權(quán)重,為在m時刻補貨后直到n時刻補貨時的補貨量;pmn∈Pti為弧amn的費用增量權(quán)重,用于此后t0到H最短路的確定,pmn=ICmn+TCmn,其中ICmn為在m時刻補貨后直到n時刻補貨發(fā)生的庫存費用增量,TCmn為在n時刻增加運輸量wmn的運費增量.此時若我們可求得從t0到H的最短路,則該最短路長度之值即為t時刻及其此后零售商i的期望最小費用,該路徑上的點即為擬定的補貨時刻,于是我們可確定出此時零售商i的最優(yōu)補貨策略.在上面的分析中我們已注意到在t時刻對零售商i運輸與庫存最優(yōu)庫存策略的確定是受影響于被處理次序的,很可能地,較早地被處理或更晚地被處理會得到不同的決策結(jié)果,所以我們在特定處理順序下得到的解不一定就是我們的滿意解.于是我們還有必要對我們已求得的可行解進行改進,以探求更理想之解.根據(jù)以上分析,我們將確定t(t∈T={1,2,…,M-1})時刻運輸與庫存決策的啟發(fā)式算法具體描述如下:4.1庫存上限ui零售商i每周期期初最低庫存量Li主要考慮滿足本周期的客戶服務(wù)水平,由Pr{Li≥ξi}≥αi,于是Li可根據(jù)分布函數(shù)的定義式Fi(Li)=αi直接求得.庫存上限Ui主要考慮運輸費用與存儲費用的關(guān)系.事實上,每當(dāng)發(fā)生一次運輸,其主要費用為車輛行駛來的行駛線路費用,因增加貨物而增加的運輸費用我們往往忽略不計.設(shè)pci為從配送中心運到零售商i單位貨物的平均運費(該參數(shù)值可由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到),若(hi-H)>pci,則即使本次配送沒有運費而提前運到零售商處存放也是不經(jīng)濟的,反之則可視情況決定Ui:4.2確定優(yōu)先順序并設(shè)定對所有零售商按(Iti-Li)/λi非降的次序進行重新排序、編號并按此順序確定初始可行解.4.3車載未裝填的總數(shù)量以下用TCt表示t時刻及其以后的總費用,Rn記n時刻補貨的零售商集合,TWn表示n時刻車輛已裝載的總數(shù)量.首先初始化,令TCt=0;Rn=Φ,TWn=0(n=t,t+1,…,M-1).fori=1toN令zwni=0(n=t,t+1,…,M-1.zwni表示零售商i在n時刻的裝載量)執(zhí)行指派零售商i一可行配送方案的配送指派子程序PSZP(i,Iti).4.4非循環(huán)網(wǎng)絡(luò)gtifori=1toNforj=Nto1(j≠i)令ˉΤCt=ΤCt;ˉRn=RnˉΤWn=ΤWn(n=t,t+1,\:,M-1).執(zhí)行刪除子程序DELETE(i)與DELETE(j)將訪問零售商i與j的任務(wù)去掉,然后先執(zhí)行配送指派子程序PSZP(j,Itj)再執(zhí)行PSZP(i,Iti),先后將j與i的任務(wù)添上,對由此得到的新總費用TCt,若ˉΤCt<ΤCt,則令ΤCt=ˉΤCt?Rn=ˉRn?ΤWn=ˉΤWn,zwni=ˉzwni(n=t,t+1,\:,M-1;i=1,2,\:,N).以上兩層循環(huán)結(jié)束,我們最后得到的TCt及相應(yīng)庫存及運輸策略即為由本算法所得到的解.特別地,Rt即為t時刻的車輛行駛線路,zwti為t時刻零售商i配送的產(chǎn)品數(shù)量.配送指派子程序PSZP(i,Iti)構(gòu)造以上定義的非循環(huán)網(wǎng)絡(luò)Gti(Vti,Ati,Wti,Pti).由確定的Iti,我們從t0開始到M-1,首先依次給出各點到后點可能存在的弧amn(amn∈Ati,m,n∈Vti,m<n)及其權(quán)重,下面以BI記弧amn對應(yīng)的起始庫存量,β記起始庫存量為BI時不用補貨可維持大約最多的周期數(shù).若m=t0,令BI=Iti,否則BI=Ui.令β=INT(BI/Li),若β=0,對應(yīng)m=t0且有Iti<Li,則在t時刻車輛必須訪問零售商i,故n只能取t,我們設(shè)t-t0=0.若β>0,則n可取m+1,m+2,…,m+β.首先弧amn對應(yīng)的庫存費用增量為:ΙCmn-((hi-Η)(∫BΙ0(BΙ-x)dF(n-m)i(x)+ri∫∞BΙ(x-BΙ)dF(n-m)i(x))(n-m).n≤Μ?其中F(n-m)i(x)為n-m個周期內(nèi)市場對零售商i隨機需求量的分布函數(shù).其次考慮運費增量TCmn.若n=M,則有wmn=0,否則令wmn=Ui-BI+(n-m)Eξi.令Rmn=Rn,TWmn=TWn+wmn.若TWmn>Q則TCmn=∞.若Rn=Φ則Rmn={0,i,0},TCmn=c0+2c1d0i.否則選擇k*,使得dk*i+di,next(k*)-dk*,next(k*)=mink∈Rn{dk,j}+di,next(k)-dk,next(k),在原Rn中的k*與next(k*)中間將i插入,得到Rmn={\:,k*,i,next(k*),\:},并令TCmn=(dk*i+di,next(k*)-dk*,next(k*))C.于是對上面構(gòu)造出的非循環(huán)網(wǎng)絡(luò)Gti(Vti,Ati,Wti,Pti),其每條弧amn的費用增量權(quán)重我們已可求出:pmn=ICmn+TCmn.于是我們可求得從t0到M的最短路pti(如采用Dijkstra算法)及其長度PTCti,并令TCt=TCt+PTCti,該最短路徑上的點集Tti(去掉0與M點)即為零售商i初步確定的補貨時刻,并對每一點n∈Tti,修改車輛訪問的零售商集合、車輛載重總量及對零售商的配送數(shù)量,即令Rn=Rmn,TWn=TWmn,zni=wmn(?amn∈pti).刪除子程序DELELE(k)令TCt=TCt-PTCtiforn=t,t+1,t+2,…,M-1若{k}∈Rn,則令Rn=Rn-{k}(特別地,若Rn={0,k,0},則令Rn=Φ);TWn=TWn-zwni.5運輸與庫存進入零售時代的可補貨量當(dāng)N個零售商的需求特點不同時,表述及計算要相對繁瑣一些.以下我們只就N個零售商的需求特點相同時分別就正態(tài)分布和泊松分布兩種情況來進行求解.首先我們將具體設(shè)定的各參數(shù)值列于表1的前十列,N個零售商的位置(橫、縱坐標(biāo))在區(qū)間[-200,200]上隨機產(chǎn)生,不妨設(shè)配送中心位于原點(0,0),并假設(shè)交通網(wǎng)絡(luò)是完全連通的,若兩零售商i與j已生成的的位置分別為(xi,yi)和(xj,yj),則兩零售商之間的距離d