第4章線性方程組4.1齊次線性方程組4.2非齊次線性方程組一般的線性方程組

n個未知量，m個方程矩陣形式：第四章序向量形式：齊次線性方程組矩陣形式：向量形式：非齊次線性方程：4.1齊次線性方程組齊次線性方程組：推論設(shè)A為n階方陣,則齊次線性方程組Ax=0問題：何時有非零解，如何求出其全部非零解定理4.1設(shè)A為則齊次線性方程組有非零解的充分與必要條件是系數(shù)矩陣的秩證明

方程組有非零解向量組線性相關(guān)向量組的秩即有非零解的充要條件是定理3.7

向量組線性相關(guān)的充要條件是線性方程組有非零解.矩陣A的列定理4.2設(shè)均為齊次線性方程組的解,則也是齊次方程組的解.證明由于所以故是方程組的解.定理4.3設(shè)為齊次線性方程組的解,為任意常數(shù),則也是齊次方程組的解.證明由于所以故是方程組的解.推論若均為方程組的解,則也是方程組的解.齊次方程組的全體解向量所組成的集合，的解空間．方程組的一組解為基礎(chǔ)解系,只要滿足(1)線性無關(guān),(2)的任意解均可由線性表示.數(shù)乘運算是封閉的，此向量空間為齊次線性方程組解空間的基稱為該方程組的基礎(chǔ)解系.對于加法和因此構(gòu)成一個向量空間，我們稱基礎(chǔ)解系不惟一，但所含向量的個數(shù)惟一如果為方程組的一個基礎(chǔ)解系，則的通解為：為任意常數(shù).結(jié)論定理4.4設(shè)是矩陣，且則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系由n-r個向量構(gòu)成.證由于的前r行不妨設(shè)左上角的則矩陣A為行向量組對矩陣A做行的初等變換得r階子式非零，的一個極大線性無關(guān)組.于是原方程組與下列方程組同解當r=n時，由克萊姆法則知，只有零解．當r<n時，移項，方程組（1）變?yōu)椋海?）（2）方程組（2）右端的n-r個自由未知量依次取得方程組(2)的一組解為這組解線性無關(guān)設(shè)為方程組（2）的任一解，令則也是方程組（2）的解，且由克萊姆法則知即方程組（2）的任一解均可由線性表示，從而為方程組（2）也為原方程組的基礎(chǔ)解系.推論

若矩陣A的秩為r,則方程組的任意n-r個線性無關(guān)的解均為的基礎(chǔ)解系.小結(jié)對于方程組若方程組只有零解；若方程組有非零解，基礎(chǔ)解系由n-r向量構(gòu)成.特別當m=n時，系數(shù)矩陣為方陣，則若方程組只有零解；若方程組有非零解.例題1求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解解對方程組的系數(shù)矩陣A施以初等行變換矩陣A的秩基礎(chǔ)解系由2個向量構(gòu)成．取為自由未知量，得同解方程組令得令得從而方程組的通解為為任意常數(shù)基礎(chǔ)解系為求基礎(chǔ)解系的方法：1對系數(shù)矩陣施以初等行變換化成階梯形，行最簡形式．2r階非零子式對應(yīng)的未知量保留在左邊，其余的為自未知量（n-r個）移到等式的右端．3寫出同解方程組．4對自由未知量取值代入同解方程組中，得到基礎(chǔ)解系．例題2設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A,且有三階非零矩陣B使得AB=O，求a的值．解設(shè)為三維列向量，由于AB=O，即矩陣B的每一列均為方程組的解．又B為非零矩陣，故方程組有非零解．從而于是a=1.則例題3設(shè)是n階矩陣，且若A的某一元素的代數(shù)余子式證明（k為任意常數(shù)）是方程組的通解．證明由于故從而方程組的基礎(chǔ)解系由一個向量構(gòu)成．故的每一列均為方程組的解向量．于是的第i列是方程組的非零解．于是方程組得通解為為任意常數(shù)．又而是的n-1階子式，且例題4設(shè)A為矩陣，證明證明由于與均為n個未知量的齊次線性方程組，我們只需證明這兩個方程組同解．設(shè)是的解，則于是是的解．另一方面，設(shè)是的解，則左乘得即于是有是方程組的解．4.2非齊次線性方程組問題1非齊次線性方程組2有解時，如何求出其全部解？定理4.5

非其次線性方程組何時有解？有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即證明設(shè)方程組有解向量可由向量組線性表示向量組與向量組等價這兩個向量組的秩相等，即（注意這兩個向量組其中之一可由另一個線性表示）定理3.3向量可由向量組線性表示的充要條件是線性方程組有解．定理4.6若是方程組的解，則是導(dǎo)出組的解．證明所以所以是導(dǎo)出組的解．推論設(shè)A為矩陣，且則齊次線性方程組有惟一解．證明由于所以方程組有解．若是方程組的任意兩個解，則是的解．又故只有零解，有即所以方程組有惟一解．從而由假設(shè)定理4.7若是方程組的解，是導(dǎo)出組的解，則是的解．證明由于所以定理4.8設(shè)A為矩陣，A的秩若是方程組的特解，是的基礎(chǔ)解系，則方程組的通解為為任意常數(shù)證明由假設(shè)易知是方程組的解．對于的任一解由于是可由基礎(chǔ)解系線性表示，于是命題成立．的解，故結(jié)論

設(shè)A為矩陣，對于非其次方程組方程組無解．方程組有惟一解．方程組有無窮多解．當當當此時通解為例題4.5求解方程組解對增廣矩陣施以初等行變換方程組無解例題4.6求下列方程組的通解解對增廣矩陣施以初等行變換方程組有無窮多解，同解方程組令得方程組的特解導(dǎo)出組的同解方程組為基礎(chǔ)解系為通解為為任意常數(shù)例題4.7設(shè)線性方程組當a,b取何值時，方程組無解？有惟一解？有無窮多解？有無窮多解時求出通解．解對增廣矩陣施以初等行變換（1）當時，方程組有惟一解．b任意時，無解．（3）當b=3時，方程組無解（2）當方程組有無窮多解，這時同解方程組為通解為c為任意常數(shù)例題4.8已知下列方程組有無窮多解，求常數(shù)a.解由于非其次線性方程組有無窮多解，所以于是a=1，