2022年山東省臨沂市羅莊區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下表顯示出函數(shù)值隨自變量值變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是

(

)4567891015171921232527A．一次函數(shù)模型

B．二次函數(shù)模型

C．指數(shù)函數(shù)模型

D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型參考答案：A2.如果橢圓的焦點(diǎn)為和，離心率為，過點(diǎn)做直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，那么的周長是（

）A、3

B、6

C、12

D、24參考答案：B3.設(shè)z1＝2＋bi，z2＝a＋i，當(dāng)z1＋z2＝0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi為()A．1＋iB．2＋iC．3

D．－2－i參考答案：D略4.設(shè)函數(shù)

，若，則當(dāng)時(shí)，有（

）A

BC

D與的大小不確定參考答案：A5.已知a，b，c∈R，則下列推證中正確的是（）A．a(chǎn)＞b?am2＞bm2 B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【分析】根據(jù)不等式兩邊同乘以0、負(fù)數(shù)判斷出A、B不對(duì)，再由不等式兩邊同乘以正數(shù)不等號(hào)方向不變判斷C對(duì)、D不對(duì)．【解答】解：A、當(dāng)m=0時(shí)，有am2=bm2，故A不對(duì)；B、當(dāng)c＜0時(shí)，有a＜b，故B不對(duì)；C、∵a3＞b3，ab＞0，∴不等式兩邊同乘以（ab）3的倒數(shù)，得到，故C正確；D、∵a2＞b2，ab＞0，∴不等式兩邊同乘以（ab）2的倒數(shù)，得到，故D不對(duì)．故選C．6.若為全體正實(shí)數(shù)集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．

B． C．

D．參考答案：D7.下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝sin2x

B．y＝x3－xC．y＝xex

D．y＝－x＋ln(1＋x)參考答案：C對(duì)于C，有y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0.8.已知函數(shù).將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則單調(diào)遞增區(qū)間為A．

B．C．

D．參考答案：C略9.已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在△COD的內(nèi)部（不含邊界）．若=x+y，則實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）可以是（）A．（，） B．（，﹣） C．（，） D．（，）參考答案：D【分析】結(jié)合圖形，得出P點(diǎn)在OD上時(shí)，x+y取得最小值，P點(diǎn)在點(diǎn)C處時(shí)，x+y取得最大值．即可選取答案【解答】解：如圖所示，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P在△COD的內(nèi)部（不含邊界），當(dāng)P點(diǎn)在OD上時(shí)，x+y=1，是最小值；當(dāng)P點(diǎn)在點(diǎn)C處時(shí)，x+y=2，是最大值；∴x+y的取值范圍是（1，2）．故選：D．10.在中，已知，，則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x，y滿足，則的最大值為

．參考答案：5【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識(shí)，先畫出約束條件，的可行域，然后分析的幾何意義，結(jié)合圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想，即可求解．【解答】解：滿足約束條件的可行域：如下圖所示：又∵的表示的是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率當(dāng)x=1，y=5時(shí)，有最大值5．給答案為：5．12.設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P﹣ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P﹣ABC的體積為V，則r=

．參考答案：

【考點(diǎn)】類比推理．【分析】根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．【解答】解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．則四面體的體積為（S1+S2+S3+S4）r∴r=．故答案為：．13.展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）參考答案：90【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為2，可求得項(xiàng)是第幾項(xiàng)，從而求得系數(shù)．【詳解】展開式通項(xiàng)為，令，則，∴的系數(shù)為．故答案為90．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式．解題時(shí)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，然后令x的指數(shù)為所求項(xiàng)的指數(shù)，從而可求得，得出結(jié)論．14.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_________.參考答案：略15.已知變量滿足關(guān)系式，，則的最大值是

.參考答案：2516.在等差數(shù)列中，已知?jiǎng)t

.參考答案：17.等比數(shù)列中，，，且、、成等差數(shù)列，則=__________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點(diǎn)．（1）求證：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求證：平面BDE⊥平面PAB．參考答案：解答：證明：（1）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)OE．因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以O(shè)A=OC．…（2分）因?yàn)镋為側(cè)棱PA的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PC．…（4分）因?yàn)镻C?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因?yàn)镋為PA中點(diǎn)，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因?yàn)镻C⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．（9分）因?yàn)镺E?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（10分）因?yàn)镻A?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（12分）19.已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若在上存在一點(diǎn)x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得a的方程，解得a即可；（2）由題意可得即為＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0，分離參數(shù)a，由二次函數(shù)的最值，即可得到a的范圍；（3）原不等式等價(jià)于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，設(shè)m（x）=x﹣alnx+，求得它的導(dǎo)數(shù)m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三種情況加以討論，分別解關(guān)于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為x﹣，曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線斜率為k=1﹣a，由切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，即為＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，則a≥1，即a的取值范圍是上存在一點(diǎn)x0，使得m（x0）＜0．對(duì)m（x）求導(dǎo)數(shù)，得m′（x）=1﹣﹣==，因?yàn)閤＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0時(shí)，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1時(shí)，m（x）在1+a處取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因?yàn)?＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③當(dāng)1+a＞e，即a＞e﹣1時(shí)，m（x）在上單調(diào)遞減，只需m（e）＜0，得a＞，又因?yàn)閑﹣1﹣=＜0，則a＞．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題給出二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，求切線的方程和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，著重考查了導(dǎo)數(shù)的公式和運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)在最大最小值問題中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．20.以下莖葉圖記錄了甲組3名同學(xué)寒假假期中去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù)和乙組4名同學(xué)寒假假期中去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示.（Ⅰ）如果，求乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)的平均數(shù)和方差；（Ⅱ）如果，從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中選兩名同學(xué)，求選出的兩名同學(xué)恰好分別在兩個(gè)圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20的概率．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)x=7時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)是：7，8，9，12，所以平均數(shù)為

……………3分方差為

……………6分（Ⅱ）記甲組3名同學(xué)為A1，A2，A3，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，12，11；乙組4名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，8，9，12；從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中人選兩名學(xué)生，所有可能的結(jié)果有15個(gè)，它們是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，B1B3，B1B4，B3B4.

……………9分用C表示：“選出的兩名同學(xué)恰好在兩個(gè)圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20”這一事件，則C中的結(jié)果有5個(gè)，它們是：A1B4，A2B4，A2B3，A2B1，A3B4，

……………11分選出的兩名同學(xué)恰好分別在兩個(gè)圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20概率為

……………12分略21.（1）已知：，求證：；（2）已知：，求證：.參考答案：（1）不妨令，則，設(shè)，則故在上是單調(diào)增加的，因此，，故.即：.

……………………6分

（2）【方法一】由（1）知，即，

令，并相加得

即得：

…………12分【方法二——數(shù)學(xué)歸納法】證明：①當(dāng)時(shí)，，即左邊右邊，命題成立；

②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，命題成立，

即成立，

當(dāng)時(shí)

右邊=

由（1）知：令，有，即

因此有：左邊=

故，左邊右邊，

即，當(dāng)時(shí)，命題成立.

綜上①②，當(dāng)，成立.22.已知z∈C，z+2i和都是實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】（1）化簡等式，利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件求出a，b的值，即得復(fù)數(shù)z．（2）化簡式子，利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之