上海市仙霞高級中學2021-2022學年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，平面四邊形中，，，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體的頂點在同一個球面上，則該球的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D考點：多面體與外接球，球的體積．【名師點睛】多面體與接球問題(1)一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系．(2)若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．(3)一般三棱錐的外接球的球心可通過其中一個面的外心作此平面的垂線，則球心必在此垂線上．如果三棱錐的面是直角三角形，注意直角三角形斜邊中點到三角形各頂點距離相等，本題利用這個結(jié)論可以很快得出圓心．2.若，則cos2α+2sin2α=（）A． B．1 C． D．（0，0，1）參考答案：A【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】原式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，將tanα的值代入計算即可求出值．【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=，所以cos2α+2sin2α====．故選A．3.若復數(shù)z=（其中a∈R，i是虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則a=（）A．3 B．6 C．9 D．12參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】化簡復數(shù)為a+bi的形式，利用復數(shù)的實部與虛部相等，求解a即可．【解答】解：復數(shù)z===．由條件復數(shù)z=（其中a∈R，i是虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3．故選：A．4.如圖，已知在ΔABC中,BC=2，以BC為直徑的圓分別交AB，AC于點M，N，MC與NB交于點G，若，則，的度數(shù)為A.135

B.120°

C.

150

D.

105°參考答案：D5.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，他在所著的《九章算術(shù)》中提出多項式求值的秦九韶算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，依次輸入a的值為2，2，5，則輸出的x=（

）A．7

B．12

C．17

D．34參考答案：C初始值，，程序運行過程如下：

，，，不滿足，執(zhí)行循環(huán)；

，，，不滿足，執(zhí)行循環(huán)；

，，，滿足，退出循環(huán)；輸出．故選C．6.已知直線和圓，點在直線上，為圓上兩點，在中，，過圓心，則點的橫坐標的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D設(shè)，則圓心到直線的距離，由直線與圓相交，得．解得.7.已知命題p：?x∈R，cosx≥a，下列的取值能使“￢p”命題是真命題的是（）A．a(chǎn)∈RB．a(chǎn)=2C．a(chǎn)=1D．a(chǎn)=0參考答案：C考點：命題的否定．專題：概率與統(tǒng)計．分析：寫出命題的否定形式，然后判斷選項即可．解答：解：命題p：?x∈R，cosx≥a，則￢p，?x∈R，cosx＜a，能使“￢p”命題是真命題，由余弦函數(shù)的值域可知，cosx≤1，故選項C成立．故選：C．點評：本題考查特稱命題的真假的判斷與應(yīng)用，三角函數(shù)的值域的應(yīng)用，基本知識的考查．8.如右圖是一正方體被過棱的中點M、N和頂點A、D、C1的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的正視圖為

（

）參考答案：B9.如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是

棱的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平面

則線段長度的取值范圍是A．

B.

C.

D.參考答案：B取的中點M,的中點N,連結(jié)，可以證明平面平面，所以點P位于線段上，把三角形拿到平面上，則有,所以當點P位于時，最大，當P位于中點O時，最小，此時，所以，即，所以線段長度的取值范圍是，選B.10.下列命題中，真命題是（

）A．

B．C．的充要條件是

D．是的充分條件參考答案：【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；全稱命題；特稱命題；命題的真假判斷與應(yīng)用.

A2

A3

【答案解析】D

解析：因為y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正確；因為x=﹣5時2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a(chǎn)=b=0時a+b=0，但是沒有意義，所以C不正確；a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，顯然正確．故選D．【思路點撥】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A的正誤；通過特例判斷，全稱命題判斷B的正誤；通過充要條件判斷C、D的正誤；二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當時，，則=

參考答案：1略12.對于定義在R上的函數(shù)圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對任意的實數(shù)x成立，則稱f(x)是階數(shù)為a的回旋函數(shù)，現(xiàn)有下列4個命題：①必定不是回旋函數(shù)；②若為回旋函數(shù)，則其最小正周期必不大于2；③若指數(shù)函數(shù)為回旋函數(shù)，則其階數(shù)必大于1；④若對任意一個階數(shù)為的回旋函數(shù)f(x)，方程均有實數(shù)根，其中為真命題的是________.參考答案：①②④13.已知函數(shù)，則的最小正周期為

在上的值域為

參考答案：π,

[0,1]14.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則__________．參考答案：10解：∵等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，∴，∴，∴故答案為．15.已知平面向量a，b，c不共線，且兩兩之間的夾角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，則a＋b＋c與a的夾角是________．參考答案：60°略16.設(shè)f（x）=，若f（a）=3，則a=．參考答案：4【考點】函數(shù)的值．【分析】利用分段函數(shù)求值，分類討論a的取值范圍，求得a的值．【解答】解：當a＞0，f（a）==3，∴a=4，當a≤0，f（a）=2a=3，∴a=＞1，不成立；故答案為：4．17.已知等差數(shù)列的前項和為,并且,數(shù)列滿足=,記集合=,若的子集個數(shù)為16,則實數(shù)的取值范圍為

.參考答案：本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,集合.因為等差數(shù)列中,聯(lián)立解得,即,,;而=,所以=;構(gòu)造函數(shù)=,當時單增,當時單減,且,,,;而的子集個數(shù)為16,所以中的元素個數(shù)為4,即;所以.【備注】等差數(shù)列:,.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax﹣3（a≠0）（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若對于任意的a∈[1，2]，若函數(shù)g（x）=x3+[m﹣2f′（x）]在區(qū)間（a，3）上有最值，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的定義域與f′（x），通過當a＜0時，當a＞0時，判斷導函數(shù)的符號，推出單調(diào)性與極值．（2）化簡g（x），求出g′（x），利用g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，說明g（x）在區(qū)間（a，3）上有極值，方程g'（x）=0在（a，3）上有一個或兩個不等實根，列出不等式組，轉(zhuǎn)化為對任意a∈[1，2]，g′（a）=3a2+（m+2a）a﹣1=5a2+ma﹣1＜0恒成立，得到m＜=，然后求解即可．【解答】解：（1）由已知得f（x）的定義域為（0，+∞），且f′（x）=﹣a，…當a＜0時，，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)增，f（x）無極值；…當a＞0時，由，由，∴．…∴，無極小值．…綜上：當a＜0時，f（x）無極值；當a＞0時，，無極小值．…（2）g（x）=x3+[m﹣2f′（x）]=x3+（+a）x2﹣x，∴g′（x）=3x2+（m+2a）x﹣1，∵g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，∴g（x）在區(qū)間（a，3）上有極值，即方程g'（x）=0在（a，3）上有一個或兩個不等實根，又g′（0）=﹣1，∴，…由題意知：對任意a∈[1，2]，g′（a）=3a2+（m+2a）a﹣1=5a2+ma﹣1＜0恒成立，∴m＜=，因為a∈[1，2]，∴m＜對任意a∈[1，2]，g′（3）=26+3m+6a＞0恒成立∴m＞=，∵a∈[1，2]，∴m＞﹣，∴﹣．…19.（本小題滿分13分）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）問是否存在過點的直線，使與橢圓交于兩點，且以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.參考答案：解：（Ⅰ）由，得，∵橢圓過點∴，解得，從而故橢圓的方程為-------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線，則，設(shè)，代入，得

--------------------------------------------------------7分設(shè)，則從而--------------------------------------9分∵，∴即∴-----------------------------------------------------------11分解得故存在滿足條件的直線，其方程為---------------------------------------------13分20.已知二次函數(shù)不等式的解集為（1，3）.(Ⅰ）若方程有兩個相等的實根，求的解析式；(Ⅱ）若（的最大值為正數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：Ⅰ）∵不等式的解集為（1，3）∴和是方程的兩根∴

∴又方程有兩個相等的實根∴△=∴

即∴或（舍）∴，(Ⅱ）由（Ⅰ）知∵，

∴的最大值為

∵的最大值為正數(shù)

∴

∴

解得或

∴所求實數(shù)a的取值范圍是21.（本小題滿分10分）【選修4—4：坐標系與參數(shù)方程】已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.（I）將圓的參數(shù)方程化為普通方程，將圓的極坐標方程化為直角坐標方程；（II）圓、是否相交，若相交，請求出公共弦的長；若不相交，請說明理由.參考答案：解：（I）由得x2＋y2＝1，·····································································又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ.∴x2＋y2－x＋y＝0，即······························································（II）圓心距，得兩圓相交·············································由得，A(1,0)，B，·························································∴

22.設(shè)函數(shù)(1)解不等式f(x)>0;(2)若，使得，求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：略【考點】絕對值不等式的求解，分類討論，以及含參不等式成立的問題首先轉(zhuǎn)換為分段函數(shù)（1）