2021屆高考數(shù)學(xué)考前熱身仿真模擬卷（新高考）（三）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40分）

1.已知集合4={%|》2-x—6<0},3={x|x-l<0},則從口=（）

A.（-00,3]B.（-oo,21C.（-oo,l）D.[-2,1）

2.復(fù)數(shù)與立=（）

l+l

A.1—zB.1+iC.—1—iD.-1+/

3.平行四邊形ABC。中，M為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足3=2祕，若通=4汨+切而，則;1+〃的值是（）

A.4B.2C.-D.-

42

4,2020年11月，中國國際進(jìn)口博覽會在上海舉行，本次進(jìn)博會設(shè)置了“云采訪”區(qū)域，通過視頻連線，幫助中

外記者采訪因疫情影響無法來滬參加進(jìn)博會的跨國企業(yè)CE。或海外負(fù)責(zé)人.某新聞機(jī)構(gòu)安排4名記者和3名攝

影師對本次進(jìn)博會進(jìn)行采訪，其中2名記者和1名攝影師負(fù)責(zé)“云采訪”區(qū)域的采訪，另外2名記者和2名攝

影師分兩組（每組記者和攝影師各1人），分別負(fù)責(zé)“汽車展區(qū)”和“技術(shù)裝備展區(qū)”的現(xiàn)場采訪.如果所有記

者、攝影師都能承擔(dān)三個(gè)采訪區(qū)域的相應(yīng)工作，則所有不同的安排方案有（）

A.36種B.48種C.72種D.144種

5.函數(shù)f（x）=x2-|sinx|在[-工馬上的圖象大致為（）

6.國防部新聞發(fā)言人在2020年9月24日舉行的例行記者會上指出：“臺灣是中

國不可分割的一部分，解放軍在臺海地區(qū)組織實(shí)兵演練，展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國家主

權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和能力”，如圖為我空軍戰(zhàn)機(jī)在海面上空繞臺巡航已知海

面上的大氣壓強(qiáng)是76bmmHg,大氣壓強(qiáng)p（單位：和高度/?（單位：m）之

間的關(guān)系為〃=760《似（6是自然對數(shù)的底數(shù)，攵是常數(shù)），根據(jù)實(shí)驗(yàn)知500m高

空處的大氣壓強(qiáng)是700m機(jī)Hg,則我戰(zhàn)機(jī)在1000根高空處的大氣壓強(qiáng)約是（結(jié)果保留整數(shù)）（）

A.645mmHgB.646m/nHgC.647mmHgD.648〃z〃2”g

7.已知雙曲線C：1一上=1（4>01>0）的右焦點(diǎn)為尸，兩漸近線分別為4：y=-x,/2：y=--x,過/作人的

arb~aa

垂線，垂足為M,該垂線交與于點(diǎn)M。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OF|=|7W|,則雙曲線C的離心率是（）

A.V2B.—C.0D.—

23

1

8.已知函數(shù)/（x）=a（x+l）e*-x,若存在唯一的正整數(shù)%,使得則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共20分）

9.習(xí)總書記講到：“廣大人民群眾堅(jiān)持愛國奉獻(xiàn)，無怨無悔，讓我感到千千萬萬普通人最偉大，同時(shí)讓我感到幸

福都是奮斗出來的”.某企業(yè)2019年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖：

已知：利潤=收入-支出，根據(jù)該折線圖，下列說法正確的是（）

A.該企業(yè)2019年1月至6月的總利潤低于2019年7月至12月的總利潤

B.該企業(yè)2019年第一季度的利潤約是60萬元

C.該企業(yè)2019年4月至7月的月利潤持續(xù)增長

D.該企業(yè)2019年11月份的月利潤最大

10.下列命題為真命題的是（）

A.若ac2>be：則B.若a>b,則

2

D.若a>A>0,則幽>1

C.若a>0,h>0,則N2。”-

a+bIgZ?

11.如圖，在正四棱柱ABCD-AMGR中，=248=2,點(diǎn)P為線段AR上一動點(diǎn)，則下

列說法正確的是（）

A.直線抽〃平面BCQ

B.三棱錐P-8CQ的體積為！

C.三棱錐A-8CQ外接球的表面積為包

D.直線產(chǎn)用與平面BCG四所成角的正弦值的最大值為4

2

12.已知數(shù)列｛a,J滿足：an^an=\+an,q=l,設(shè)〃,=lna"(〃wN"),數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和為S”,則下列選項(xiàng)正確

的是()(ln2?0.693,In3?1.099)

A.數(shù)列心,i｝單調(diào)遞增，數(shù)歹U｛%,｝單調(diào)遞減

B.bn+bn+i<In3

C.S2O2O>693

D.瓦"_、>b2n

三、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.已知(2+"ur)(l+x)3的展開式中V的系數(shù)為5,貝=.

14.已知sin(a--)=一3cos(a--),則tan2a=.

15.已知奇函數(shù)/(x)在(0,s)上單調(diào)遞減，且f(4)=0,則不等式_vf(x+l)>0的解集為.

16.已知直線/與拋物線C：V=8x相切于點(diǎn)尸，且與C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)T,F為C的焦點(diǎn)，連接PF交C于另一

點(diǎn)。，則APTQ面積的最小值為;若|TF|=5,則|PQ|的值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.在①+c?,(2)acosB=bsinA,③sin8+cos8=0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題

中，并解決該問題.

已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,A=-,b=-/2,

3

(1)求角B；

(2)求AABC的面積

18.已知數(shù)列｛a“｝滿足4+2a2+34+…+叫=(?-!)?2"+|+2(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛約｝的通項(xiàng)公式；

(2)若么=log”,2,則在數(shù)列｛2｝中是否存在連續(xù)的兩項(xiàng)，使得它們與后面的某一項(xiàng)依原來順序構(gòu)成等差數(shù)

歹U?若存在，請將這樣的兩項(xiàng)都探究出來；若不存在，請說明理由.

3

19.如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，且滿足A3〃CO,

BCLAB,49=9,BC=CD=SD=6,SB=12,平面SCOJ_平面SBC”

為線段SC的中點(diǎn)，N為線段上的動點(diǎn).

(1)求證：平面SCD_L平面4BCZ)；

(2)設(shè)4V=/lNS(/l>0),當(dāng)二面角C—ZW—N的大小為60。時(shí)，求；I的

值.

20.在學(xué)期末，為了解學(xué)生對食堂用餐滿意度情況，某興趣小組按性別采用分層抽樣的方法，從全校學(xué)生中抽取容

量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查.被抽中的同學(xué)分別對食堂進(jìn)行評分，滿分為100分.調(diào)查結(jié)果顯示：最低分為51分,

最高分為100分.隨后，興趣小組將男、女生的評分結(jié)果按照相同的分組方式分別整理成了頻數(shù)分布表和頻率分

布直方圖，圖表如下:

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)

150,60)3

160,70)3

[70,80)16

[80,90)38

[90,100]20

男生評分結(jié)果的頻數(shù)分布表為了便于研究，興趣小

組將學(xué)生對食堂的評分轉(zhuǎn)換成了“滿意度情況”，二者的對應(yīng)關(guān)系如下:

分?jǐn)?shù)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

滿意度情況不滿意一般比較滿意滿意非常滿意

⑴求“的值;

(II)為進(jìn)一步改善食堂狀況，從評分在150,70)的男生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中對食堂“不滿意”

的人數(shù)為X,求X的分布列；

(III)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求其對食堂“比較滿意”的概率.

4

21.己知橢圓C：與+￡=1(。＞匕＞0)的離心率為0，點(diǎn)(g,夜)在橢圓C上.A、B分別為橢圓C的上、下頂點(diǎn),

ab~3

動直線/交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，滿足AP_LAQ,AH1.PQ,垂足為凡

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求AAB”面積的最大值.

22.已知函數(shù)f(x)=-g+lnx.

X

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)若。=1,證明/(1)＞—e*.

X

5

2021屆高考數(shù)學(xué)考前熱身仿真模擬卷(新高考)(三)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：?.?集合人="|犬-x-6領(lǐng)0}={x|-2A?3},B={x|x-l<0)={x|x<l),=3}=(-OO,3].

故選：A.求出集合A,B,由此能求出Aljb

本題考查并集的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

(1-/)2_1-2z+i2_-2i_-2;(1-i)-2z+2r

【解析】解：復(fù)數(shù)--

1+z-1+iT+7(1+/)(1-/)I-/2

故選：C.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接求解.

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

___12-.

【解析】解：根據(jù)題意可得，DM=-DC,BN=-BC,

23

因?yàn)榈v=AAM+juAN,所以荏=4(而+DM)++BN)

=A(AD+^DC)+^(AB+^BC)=AAD+^DC+^AB+^-BC=AAD+^AB+^AB+=^-AD,

1----//=0A=-1

故(1一4—〃)通=(4+")而，由平面向量基本定理可得2,解得3,所以4+〃=L

232+^=0〃=52

I3Iz

故選：D.

利用〃為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足的=2NC，得到=一。己麗=一8。，再將等式AB=AAM+juAN轉(zhuǎn)化成AB,AD

23

的關(guān)系，從而得到4,〃的方程，求解即可.

本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及了平面向量的數(shù)乘和線性運(yùn)算，用平面向量基本定理解決問題的一般思

路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析:

①在4名記者中任選2人，在3名攝影師中選出1人，安排到“云采訪”區(qū)域采訪，有C；C；=18種情況,

②在剩下的外2名記者中選出1人，在2名攝影師中選出1人，安排到“汽車展區(qū)”采訪，有C；C；=4種情況,

③將最后的1名記者和1名攝影師，安排到“技術(shù)裝備展區(qū)”采訪，有1種情況，

則有18x4=72種不同的安排方案，

6

故選：c.

根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①在4名記者中任選2人，在3名攝影師中選出1人，安排到“云采訪”區(qū)域采訪，

②在剩下的外2名記者中選出1人，在2名攝影師中選出1人，安排到“汽車展區(qū)”采訪，③將最后的1名記者和

1名攝影師，安排到“技術(shù)裝備展區(qū)”采訪，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?(-x)=/(x),所以/(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故排除C與D

因?yàn)閒(三)=二-,<0,所以排除A,故選：B.

6362

利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)C和力；通過特殊值排除選項(xiàng)A,即可推出結(jié)果.

本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及特殊點(diǎn)的位置是常用方法，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：?.?500加高空處的大氣壓強(qiáng)是700〃?〃?Hg,./(X^GO產(chǎn)，即產(chǎn)=強(qiáng)

70

當(dāng)〃=1000m時(shí)，有v=76Oe-1000*=760.(1)2=760x(靜=645.

故選：A.

由題意知，700=760”5°°0求出100"的值，再代入"=760/°°板中，求得p的值，即可.

本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握指數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意,F(c,0),\-FMLlk則直線的方程為丫=-兇(》-0),

]fFMbb

ba~2c

y=——xx=-~

aa/r

聯(lián)立解得~,得N()，

abc,a2_b2

y=~(x-c)

b一亦

abc(c2-a2)c4

■.■b2=c2-a2,;.|FN|=J(c-)+(汴)2

cr-h2

?.1OFHFNI，；.c=J(c；a?c；,整理得4/=3。2,BPe=-=—,

\(2a2-c2)2a3

故選：D.

由已知求得FM所在直線方程，進(jìn)一步求得N點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合|OF|=|FN|列式求解雙曲線的離

心率.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

8.【答案】C

7

【解析】解：函數(shù)f(x)=a(x^l)ex-x,

因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)/，使得/(xJvO,

即存在唯一的正整數(shù)x,使得a(x+i)<2,

ex

令/i(x)=a(x+l),g(x)=/，問題即轉(zhuǎn)化為存在唯一的正整數(shù)x,使得h(x)<g(x),

ex

g'(x)=L~^，令g'(x)=O,解得x=l,

所以g(x)在(-oo,l)上為單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間(1,+oo)上為單調(diào)遞減函數(shù),

所以g(x)3=g6=,，〃(*)=。。+1)過定點(diǎn)。(一1,0)，

e

當(dāng)④()時(shí)，有無窮多個(gè)x的值使得/?(x)<g(x),當(dāng)”>0時(shí)，函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增,

由圖象可以分析得到只有正整數(shù)X=1使得/?(x)<g(x),

2

io)二一相=2

令41『(町)’則「不二，^AB

2-(-1)3/

山圖可知,實(shí)數(shù)”的取值范圍為之,,"-k

3/2e

故選：C.

構(gòu)造新函數(shù)〃(x)=a(x+l),g(x)=±，將問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的正整數(shù)x,使得〃(x)<g(x),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)

e

的單調(diào)性，進(jìn)而求出g(x)的最大值，然后利用版幻經(jīng)過定點(diǎn)“即為A(x)的斜率，利用圖象進(jìn)行分析求解,

即可得到答案.

本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，將問題

轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象進(jìn)行研究.

9.【答案】AC

【解析】解：由企業(yè)2019年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖，得：

在A中，該企業(yè)2019年1月至6月的總利潤約為：

用=(30+40+35+30+50+60)-(20+25+10+20+22+30)=118,

該企業(yè)2019年7月至12月的總利潤約為：

(80+75+75+80+90+80)-(28+22+30+40+45+50)=265,

.-.該企業(yè)2019年1月至6月的總利潤低于2019年7月至12月的總利潤，故A正確；

在B中，該企業(yè)2019年第一季度的利潤約約是：

(30+40+35)-(20+25+10)=50萬元，故B錯(cuò)誤；

在C中，該企業(yè)2019年4月至7月的月利潤分別為(單位：萬元)：10,28,30,52,

該企業(yè)2019年4月至7月的月利潤持續(xù)增長，故C正確；

在。中，該企業(yè)2019年7月和8月的月利潤比11月份的月利潤大，故。錯(cuò)誤.

8

故選：AC.

由企業(yè)2019年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖直接求解.

本題考查命題真假的判斷，考查折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：對于A：若ac2>bc"則故A正確：

對于C：若。>0,%>0,根據(jù)不等式中算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系，則/區(qū)成立，故C正確；

a+h

對于￡>：由于所以lga>lg〃，整理得畫>1,故。錯(cuò)誤.

lgb

直接利用不等式的性質(zhì)和對數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、8、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，對數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AB

【解析】解：作輔助線如圖.

對于A,因?yàn)锳R〃Bq,//AB,IIDC,II,所以平面//平面8CQ,u平面AQR從

而直線尸片〃平面BCQ,則A對；

對于B,由4知，平面4qR〃平面8G。，P點(diǎn)在平面所以

==

r-0BCC]￡Dz^A-OBVC|DU^CV]—ABD=3—2ll,2=—3；則B對；

對于C,三棱錐R-BG。外接球的半徑R=g.AG=g712+l2+22=g底,

所以三棱錐R-80。外接球的表面積為5=4萬爐=4萬§卡f=6萬，則C錯(cuò);

對于D,因?yàn)楫?dāng)J.AR時(shí)，耳尸最短，此時(shí)直線PBt與平面BCGg所成角的正弦值的最大，先用等面積法求BtP,

B,P.#77=護(hù)+22+(爭?&=Bf=欄n直線段與平面BCC內(nèi)所成角的正弦的最大值為金=招

則。錯(cuò)；

故選：AB.

根據(jù)平行平面判斷A,用等體積法判斷B,求外接球表面積判斷C,求線面成角判斷D

本題以命題的真假判斷為載體，考查了立體幾何中線面平行判定，考查了面積與體積計(jì)算，屬中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：因?yàn)?=1,a,l+la?=l+an,所以.=色立即限=出以，

4,a”+1

令g(x)=31±I,則g，(x)=_J_>o,所以g(x)單調(diào)遞增，

x+1(x+l)2

所以巴乜乜>0,所以｛%,),｛小一｝都單調(diào)，

n—a

n2

9

又因?yàn)?>4所以&,1｝單調(diào)遞增，｛%“｝單調(diào)遞減，故4正確;

欲證bn+b?+l=Ina?+Inan+t=ln(a?a?+l)?In3,即an-a?+l?3,即+L,3，即an?2，

由。的=48，上式可化為4工1,2,即％.」，

a?%

a+

顯然〃=2時(shí)，4=1,當(dāng)〃..3時(shí)，an,="~->1,故a-1成立,

an-2

所以原不等式成立，故8正確，

因?yàn)?e[1,2]，所以anall+i=an(1+—)=an+1e[2,3],

所以2+d+ie[ln2,ln3"S2020..10101n2>693,故C正確;

因?yàn)橐?lt;空，若“竽則"2-4<2-逅工6+1

2

2

因?yàn)樯?2>"，若%,>與1，則%“2=2-一—>2—目一=”

22a2n+1V5+12

2

由數(shù)學(xué)歸納法,/“.I<史;1<,則。2〃一1<。2“，b2n一]<b?”,故數(shù)不正確.

故選：ABC.

根據(jù)%+4=1+4,可得%”=4旦，從而可得〃“+2=也±1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2里，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性從而

4%+1x+1

可判定選項(xiàng)A,利用分析法欲證In3,即證為,,2,從而可判定B,根據(jù)氏的范圍可求出〃+。向的范圍,

從而可判定選項(xiàng)C,

由數(shù)學(xué)歸納法可判定選項(xiàng)D

本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及數(shù)學(xué)歸納的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，同時(shí)考

查了學(xué)生的運(yùn)算求解的能力.

13.【答案】1

【解析】根據(jù)多項(xiàng)式乘積的關(guān)系進(jìn)行討論求解即可.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，結(jié)合多項(xiàng)式乘法關(guān)系進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

【解答】

解：要得到V項(xiàng)，當(dāng)?shù)谝皇阶尤?時(shí)，第二個(gè)式子取V,

當(dāng)?shù)谝皇阶尤nx時(shí)，第二個(gè)式子取C^x2,

則/的系數(shù)為2xl+”C；=2+3/%

?.?3的系數(shù)為5,

...2+3m=5,得帆=1，

故答案為：1.

10

14.【答案】-4>/3

【解析】本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，屬于基礎(chǔ)題型.直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】

JrTT

解：由于sin(a——)=-3cos(?----),

36

63G3.

所以Lina-——cosa=-------cosa——sina

2222

整理得gcosa=-2sina,

所以tana=--,

2

則tan2a==-473,

1-tan^a

故答案為-46.

15.【答案】(-5,-l)(J(0,3)

【解析】解：???奇函數(shù)/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，且/(4)=0,

/./(%)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，且/(-4)=-/(4)=0,

.,.當(dāng)x<Y或0cx<4時(shí)，/(x)>0,當(dāng)Y<x<0或x>4時(shí)，/(%)<0,

x>0fx<0x>0Jx<0

?.W(x+l)>0等價(jià)于

f(x+l)>0或伍X+1)<0x+l<V?或0<x+l<4?[-4<尤+1(0或x+l)4

解得0<x<3或—5<x<—1不等式#(x+l)>0的解集為(-5,-l)|J(0,3).

故答案為：(-5,-l)|J(0,3).

先確定函數(shù)/(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，且/(-4)=0,再將不等式等價(jià)變形，即可得到結(jié)論.

本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】16—

2

【解析】解：設(shè)直線PQ的方程為x="y+2(恒過定點(diǎn)尸(2,0))與拋物線聯(lián)立卜+

[y=8x

可得y?-8利一16=0,所以△=64/+64>0恒成立，設(shè)尸(西,弘)，。(々，為)，則有凹+必=8〃，％必=一16,

設(shè)拋物線在點(diǎn)尸處的切線為》=陽+八與拋物線方程聯(lián)立可得犬-8沖-8r=0,

[y=8x

切線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以A=64>+32f=0,解得r=-2>，

2

方程可變?yōu)閥?-8"9+16〉=0,故y=4相，所以“=[■/=一十

拋物線在點(diǎn)P處的切線為x=&y-至，

48

11

2A=—y----------

同理拋物線在點(diǎn)。處的切線方程為x=&y-%,將兩條切線方程聯(lián)立可得48,,

48丫_必丫」

T

.”=-2

解得8,所以兩條切線的交點(diǎn)為(-2,4〃)，在準(zhǔn)線x=-2上，故該交點(diǎn)即為點(diǎn)T,

產(chǎn)入±&=4“

[2

設(shè)點(diǎn)7到直線P0的距離為d,將直線PQ寫成一般式即x-〃y-2=0,故d」[〃--4|=4行1,

Vn2+1

11i-----2

spQd=X22

所以.TPQ=-28(〃2+1)X4+1=16(n+1),所以當(dāng)〃=0時(shí)，S^TPQ有最小值16,

點(diǎn)T的坐標(biāo)為(一2,4〃)，F(xiàn)(2,0),所以蜂=，161+16=5,所以16/+16=25,即8/=2,

2

^PQ=PF+QF=(xt+2)+(%+2)=(〃乂+4)+(ny2+4)=〃(必+%)+8=8/+8,

所以*81+8=1.故答案為：16；y.

設(shè)出直線PQ的方程與拋物線聯(lián)立,設(shè)拋物線在點(diǎn)P處的切線方程與拋物線聯(lián)立，利用切線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

得到得f=-2射的關(guān)系，同理求出拋物線在點(diǎn)。處的切線方程，聯(lián)立兩條切線方程，兩條切線的交點(diǎn)為(-2,4〃)，

在準(zhǔn)線x=-2上，故該交點(diǎn)即為點(diǎn)T,然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，把三角形的面積表示出來求

解最值即可，然后將PQ表示出來即可得到答案.

本題考查了拋物線的綜合應(yīng)用，涉及了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用、拋物線定義的應(yīng)用、點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)

用以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，對學(xué)生有較高的要求，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)若選①，由余弦定理得，cosB=m=也吧力,

2ac2ac2

因?yàn)?c(0,))，所以B=工.

4

若選②，由正弦定理知，—=—=—=2/?,

sinAsinBsinC

因?yàn)?/cosB=>sinA,所以sinAcosB=sinBsinA，

又Aw(0㈤,所以sinA>0,所以cosZ?=sinB,

又8w(0,%),所以tanB=l,即3=軍.

4

若選③，由sin8+cosB=0得，V2sin(B+-)=>/2,

4

所以sin(5n——)=1,

4

又8€(0,1)，所以8+生€(△,色),

444

所以3+工=工，解得3=工.

424

12

b

(2)由正弦定理得,—,

sinAsinB

又A=工，b=\/2，B=J

34

百

X-------

fesinAC二I一噢

所以〃=-----

sinB

2

匚匚I、〕.「.5萬.,冗冗、.71n71.nV6+V2

所以sinC=sin——=sin(——F—)=sin—cos—+cos—sin—=-------，

124646464

所以SA8c=」absinC='x6x夜+

“8c2244

【解析】(1)若選①，由余弦定理即可得解；

若選②，利用正弦定理將將acos8=bsinA中的邊化為角，可求得tan8的值，從而得解；

若選③，結(jié)合輔助角公式可推出sin(B+^)=l,再由3€(0,萬)，即可得解：

4

(2)由正弦定理求出。的值，由正弦的兩角和公式求出sinC,根據(jù)S=IqbsinC,即可得解.

2

本題考查解三角形與三角恒等變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握正弦定理、余弦定理、正弦面積公式與正弦的兩角和公式

是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

/H1

18.【答案】解：(1)由題意，得q+24+3%:---Fiicin=(7?-1),2+2,

當(dāng)〃..2時(shí)，%+2%+3%4---F(九—I)。,1=(〃-2)?2"+2,

兩式相減，得也〃=5-1)-2向一(〃一2)-2"，即4=2".

當(dāng)刃=1時(shí),4=2,也滿足上式，所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式凡=2〃.

2=康1

(2)

=1"n

法一：4=1,%=g，顯然不適合；b2=~94=g適合,

即偽=1,b3=-,4,=,構(gòu)成公差為-，的等差數(shù)列；

2366

4=1,仇」適合，

-34

即a=1,b",d=1構(gòu)成公差為-，的等差數(shù)列；

346612

當(dāng)〃..4時(shí)，假設(shè)2，%,**伏..2)成等差數(shù)列,

bb

則超向=?+?+k-

口n?—,.21n—1

即bp=2%-b,=———=-y-=--------z—

n+1n〃+〃乙

〃+2+---

n-\

13

7

而當(dāng)〃..4時(shí)，上任N",所以么以不是數(shù)列｛2｝中的項(xiàng)，

n-\

所以當(dāng)〃..4時(shí)：不存在連續(xù)兩項(xiàng)，使之與數(shù)列后面某一項(xiàng)依原順序成等差數(shù)列.

綜上，仇,4和4，"適合條件.

法二：4=1,〃2=g顯然不適合;

當(dāng)兒.2時(shí),設(shè)3%,優(yōu)+人.（丘.2）成等差數(shù)列，則紇㈤=2+2+北，

2112

即==±+',解得％=2+」.

n+\nn+kn—1

當(dāng)〃=2時(shí)，k=4,則"=',h.=~,年=1構(gòu)成公差為的等差數(shù)列；

當(dāng)”=3時(shí)，k=3,則仇=Lh4=~,亳=工構(gòu)成公差為-上的等差數(shù)歹I；

3346612

當(dāng)兒.4時(shí),上任N*,則/N,所以4+卜不是數(shù)列｛"｝中的項(xiàng),

n-\

所以當(dāng)九.4時(shí)，不存在連續(xù)兩項(xiàng)，使之與數(shù)列后面某一項(xiàng)依原順序成等差數(shù)列.

綜上，b2,仇和打，打適合條件.

【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和已知條件建立等量關(guān)系，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）直接利用嘗試法進(jìn)行判斷.

本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，驗(yàn)證法在數(shù)列中的嘗試，主要考查學(xué)生

的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】證明：（1）?"。=8..1^5。。為等腰三角形.

又為SC的中點(diǎn)，:.DM±SC.

又?.?平面SCD±平面SBC,平面SC￡）n平面SBC=SC且DMu平面SCD,

由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，DMI平面SBC.

又-.?BCu平面SBC,由直線與平面垂直的性質(zhì)可知DMA.BC,

又TBCLCD,DMP\DC=D,DWU平面SC。，CDu平面SCD

\CDJL平面CDS,-.-BCu平面SCD,又-.?BCu平面ABCD,平面SCD±平面ABCD.

(2)(方法一)由⑴可知，8c，平面SDC,:.BC±SC.

在中，SC=y]SB2-BC2=7122-62=V108=6^3.

222

在AS/)C中，由余弦定理可知，cosNSDC=SD+DU-SC-6+6-(6^)_1

2SD-DC2x6x62

???NSDCG(0°,l80°),???ZSDC=120°.

過點(diǎn)N作NGJ_C。于點(diǎn)G,G為垂足，則NG〃3C,

14

???3C_L平面SCO,..NGJ_平面SCQ,

???DMu平面SCO,.?.。0_1可6.過點(diǎn)6作6度_1_00于點(diǎn)長，K為垂足,

-.-DMYGK,DMING,NGp|GK=G,:.DM1,^NGK.

又?：NKu平面NGK,;.DMLNK,

NGKN即為二面角C—DM-N的平面角，

在RtNGK中/NKG=&）°,tan60°=—=—,..GK=4==2后，

4GKGKC

在RiDKG.ZKDG=60°,sin60°=——=—,DG=^-=4,

△DGDGJi

T

AN7

■.GC=CD-DG=6-4=2,:.NB=GC=2,AN=AB-NB=9-2=7,:.A=——=-.

NB2

（方法二）由（1）可知，3cd.平面SCC,.?.3C_LSC

在RMSCB中，SC=ylSB2-BC2=x/122-62=^=6^,

在ASDC中，由余弦定理可知cosNSDC=SD'DC?-SC[=々+6-伊后=一!，

2SDDC2x6x62

NSDCe（0",l80°）,.-.ZSDC=120°,

過s點(diǎn)作線段CO的延長線的垂線，垂足為。，

-.?Z.SDC=120°ZSDO=60°,:.OD=-SD=3,，OC=9,

2

四邊形ABCO為矩形.

由平面S8_L平面4BCZ）可知，SO_L平面ABCO

以O(shè)A所在直線為x軸，0C所在直線為y軸，OS所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)

15

33萬

設(shè)A2V=a(a>3),則N(6,〃,0),而=(6,〃一3,0),DM=(0-,—)，

22

f勺.DN=6x+(a-3)y=0

設(shè)平面￡>MN的法向量4=(x,y,z),由_a%、八,令z=6，得>=一3,%=^，

DM=—y+—^—z=02

.?同=(@丁,一3,百)，又?.?平面CZW的法向量1=(1,0又),

.?.|cos〈n,,n2)|="""=[2-------=cos60。=—,-----------=—,

6卜1%13(尸+9+32(",)2+124

4(=)2=(一)2+12.-.3(二)2=12,??.(一)2=4,

2222

-.-a>3,二巴巨=2,.-.a=7,即4V=7,NB=AB-AN=9-1=2,.-.2=—=-.

2NB2

【解析】(1)證明DW_LSC.推出DW_L平面SBC.DW_LBC,結(jié)合8C_LC￡),推出CD_L平面CZ)S,然后證明平

面S8_L平面ABCD

(2)(方法一)求出NS￡>C=120。.過點(diǎn)N作NG_L8于點(diǎn)G,G為垂足，則NG〃BC,點(diǎn)G作GK_LDM于點(diǎn)K,

K為垂足，連接NK.說明NGKN即為二面角C-DM-N的平面角，通過求解三角形推出結(jié)果即可.

(方法二)以。4所在直線為x軸，0C所在直線為)，軸，OS所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面。MN

的法向量，平面C￡?M的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解”，然后轉(zhuǎn)化求解4即可.

本題考查直線與平面垂直的判斷定理以及平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想

象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

20.【答案】解:(I)因?yàn)?0.005+4+0.020+0.040+0.020)x10=1,所以a=0.015.

(H)依題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

尸—。)=等*，=等*，P(X=2)=等*-3)=等得

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

1991

P

20202020

(IH)設(shè)事件A="隨機(jī)抽取一名學(xué)生，對食堂'比較滿意'”.

因?yàn)闃颖救藬?shù)200人，其中男生共有80人，

所以樣本中女生共有120人