（華東師大版）八年級(jí)數(shù)學(xué)因式分解——十字相乘法與分組分解法【學(xué)習(xí)規(guī)定】1.理解十字相乘法與分組分解法；2.會(huì)運(yùn)用十字相乘法與分組分解法分解因式。【知識(shí)內(nèi)容】1.十字相乘法分解因式：（1）首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的因式分解，我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，即將上式反過(guò)來(lái)，得到了因式分解的一種辦法——十字相乘法，用這種辦法來(lái)分解因式的核心在于擬定上式中的a和b，例如，為了分解因式，就需要找到滿足下列條件的a、b；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式的因式分解二次三項(xiàng)式中，當(dāng)時(shí)，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可歸納為“分兩頭，湊中間”，例如，分解因式，首先要把二次項(xiàng)系數(shù)2分成1×2，常數(shù)項(xiàng)6分成，寫(xiě)成十字相乘，左邊兩個(gè)數(shù)的積為二次項(xiàng)系數(shù)。右邊兩個(gè)數(shù)相乘為常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘的和為，正好是一次項(xiàng)系數(shù)，從而得。（3）含有兩個(gè)字母的二次三項(xiàng)式的因式分解如果是形如的形式，則把a(bǔ)b看作一種整體，相稱于x，如果是形如，則先寫(xiě)成，把y看作已知數(shù)，寫(xiě)成十字相乘的形式是因此，即右邊十字上都要帶上字母y，分解的成果也是含有兩個(gè)字母的兩個(gè)因式的積。2.分組分解法分解因式：我們把被分解的多項(xiàng)式分成若干組，分別按“基本辦法”即提取公因式法和運(yùn)用公式法進(jìn)行分解，然后，綜合起來(lái)，再?gòu)目傮w上按“基本辦法”繼續(xù)進(jìn)行分解，直到分解出最后成果。這種分解因式的辦法叫做分組分解法。如果一種多項(xiàng)式適宜分組，使分組后各組之間有公因式或可應(yīng)用公式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就能夠用分組的辦法分解因式。分組分解法合用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多項(xiàng)式。分組分解法并不是一種獨(dú)立的因式分解的辦法。通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行適宜的分組，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為能夠應(yīng)用基本辦法分解的構(gòu)造形式，使之含有公因式，或者符合公式的特點(diǎn)等，從而達(dá)成能夠運(yùn)用基本辦法進(jìn)行分解因式的目的。我們有目的地將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)構(gòu)成一組，從局部考慮，使每組能夠分解，從而達(dá)成整個(gè)多項(xiàng)式因式分解的目的，至于如何恰本地分組，需要具體問(wèn)題具體分析，但分組時(shí)要有預(yù)見(jiàn)性，要統(tǒng)籌思考，減少盲目性，分組的好壞直接影響到因式分解能否順利進(jìn)行。通過(guò)適宜的練習(xí)，不?？偨Y(jié)規(guī)律，便能掌握分組的技巧?！镜湫屠}】例1.分解因式：分析：當(dāng)系數(shù)有分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)先化為整數(shù)系數(shù)，便于下一步十字相乘。解：例2.分解因式：分析：含兩個(gè)字母的二次三項(xiàng)式，把其中一種字母如y當(dāng)作是常數(shù)。解：例3.分解因式：分析：首項(xiàng)系數(shù)為3應(yīng)分解為1×3，常數(shù)項(xiàng)為10是正數(shù)，分解成的兩個(gè)因式同號(hào)且應(yīng)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相似，用十字相乘法嘗試以下：其中符合對(duì)角兩數(shù)之積的和為的只有第三個(gè)。解：例4.因式分解：分析：這個(gè)二次三項(xiàng)不符合完全平方公式的特點(diǎn)，首先，二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)不同號(hào)，另首先，常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值不是一次項(xiàng)系數(shù)二分之一的平方，因此不能直接用公式分解，但通過(guò)適宜的變形后，便可用公式分解。另外，這樣的二次三項(xiàng)式可用十字相乘法分解。解：辦法一辦法二：小結(jié)：辦法一叫配辦法。用配辦法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，其前提是二次項(xiàng)系數(shù)為1（如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1，則提取這個(gè)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為1）；其核心是，加上緊接著減去一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值二分之一的平方，這樣便達(dá)成配方的目的。在用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，重要考慮的是十字相乘后的代數(shù)和應(yīng)是一次項(xiàng)。例5.分解因式：（1）（2）（3）（4）分析：首先注意到前兩項(xiàng)的公因式2x和后兩項(xiàng)的公因式，分別把它們提出來(lái)，剩余的是相似因式，能夠繼續(xù)用提公因式法分解。此題也能夠考慮含有y的項(xiàng)分在一組。以下面法（二）解法。解（一）：解（二）：闡明：解法1和解法2即使是不同的分組方式，但卻有著相似的內(nèi)在聯(lián)系，即兩組中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)成比例，分別為1：1和2：。這也是分組中必須遵照的規(guī)律之一。（2）分析：若將此題按上題中法（二）辦法分組將含有a的項(xiàng)分在一組即，含有b的項(xiàng)一組即，那與再?zèng)]有公因式可提，不可再分解下去?？上葘⒁唤M應(yīng)用平方差公式，再提出因式。解：（3）若將此題應(yīng)用（2）題辦法分組將一組應(yīng)用平方差公式，或者將一組應(yīng)用平方差公式后再?zèng)]有公因式可提，分組失敗。觀察題中特點(diǎn)，后三項(xiàng)符合完全平方公式，將此題一、三分組先用完全平方公式，再用平方差公式完畢分解。解：（4）分析：此題按照系數(shù)比為1或者為，能夠有不同的分組辦法。法（一）：法（二）：原式闡明：分組時(shí)，不僅要注意各項(xiàng)的系數(shù)，還要注意到各項(xiàng)系數(shù)間的關(guān)系，這樣能夠啟示我們對(duì)下一步分解的預(yù)測(cè)，以下一步是提公因式還是應(yīng)用公式等。普通對(duì)于四項(xiàng)式的多項(xiàng)式的分解，若分組后可直接提取公因式，普通將四項(xiàng)式兩項(xiàng)兩項(xiàng)分成兩組，并在各組提公因式后，它們的另一種因式正好相似，在組與組之間仍有公因式可提，如例5（1）題的兩種解法。兩項(xiàng)兩項(xiàng)分組后也可各自用平方差公式，再提取組之間的公因式。如例5的（2）題、（4）題。若分組后可應(yīng)用公式還可將四項(xiàng)式中進(jìn)行三項(xiàng)和一項(xiàng)分組先用完全平方公式再應(yīng)用平方差公式。如例5中的（3）題。例6.分解因式：分析：多項(xiàng)式帶有括號(hào)，不便于直接分組，先將括號(hào)去掉，整頓后再分組分解。解：例7.已知，求證：分析：要證明一種多項(xiàng)式的值為零，普通是將此多項(xiàng)式分解因式。若分解后的因式中有一種值為零，則原多項(xiàng)式的值為零。通過(guò)分組分解，可知，若或?yàn)榱悖瑒t原多項(xiàng)式的值為零。為達(dá)此目的，就要從條件入手。證明：由于，因此因此又由于而因此例8.已知能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，求m的值。并將此多項(xiàng)式分解因式。分析：根據(jù)因式分解的概念和乘法法則可知，原多項(xiàng)式所分解得的兩個(gè)因式必然都是三項(xiàng)式，而原多項(xiàng)式的前三項(xiàng)可分解為，于是可設(shè)原多項(xiàng)式分解為，再根據(jù)恒等式中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，便能使問(wèn)題得到解決。解：設(shè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，因此由<1><2>解得：將代入<3>，得：因此例9.已知，求x與y的值。分析：在普通狀況下，由一種方程求兩個(gè)未知數(shù)的值，條件是不夠的，但在特殊條件下又是可行的，這“特殊條件”涉及非負(fù)數(shù)的和等于零的性質(zhì)。本題已有一種明顯的非負(fù)數(shù)，即，而另一種非負(fù)數(shù)可由因式分解得到。于是問(wèn)題能夠解決。解：由于，因此即因此解這個(gè)方程組，得：【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一.選擇題。1.用分組分解法分解多項(xiàng)式分組對(duì)的的是（）A. B.C. D.2.用分組分解法分解多項(xiàng)式，分組對(duì)的的是（）A. B.C. D.3.將多項(xiàng)式分解因式，其中對(duì)的的是（）A.B.C.D.4.下列因式分解中，不對(duì)的的是（）A.B.C.D.5.把多項(xiàng)式分解因式的成果是（）A.B.C.D.二.填空題。1.2.3.4.5.6.____________。7.，則___________，___________。三.分解因式。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）四.解答題。1.已知，求整數(shù)x和y的值。2.已知（x為整數(shù)），求證：A為一種完全平方數(shù)?！驹囶}答案】一.選擇題。1.D 2.C 3.