2024屆新高考數(shù)學一輪復習配套練習專題9.6直線與圓錐曲線練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知點是拋物線的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰在以、為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．2．（2022·全國高三專題練習）直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A、B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于（）A． B． C． D．3.（2020·浙江高三月考）如圖，已知拋物線和圓，直線經(jīng)過的焦點，自上而下依次交和于A，B，C，D四點，則的值為A． B． C．1 D．24.（2019·天津高考真題（理））已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線x2a2?y2bA.2 B.3 C.2 D.55.【多選題】（2021·河北滄州市·高三月考）已知直線與拋物線交于兩點，若線段的中點是，則（）A． B．C． D．點在以為直徑的圓內(nèi)6．（2021·江蘇揚州·高三月考）直線過拋物線的焦點F，且與C交于A，B兩點，則___________.7．（2022·全國高三專題練習）在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點F，且與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．8．（2022·全國高三專題練習）拋物線的焦點F是圓x2＋y2－4x＝0的圓心．（1）求該拋物線的標準方程；（2）直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點，若l與拋物線、圓依次交于A、B、C、D，求|AB|＋|CD|．9.（2020·廣西欽州·高二期末（文））已知拋物線的頂點為，焦點坐標為．（1）求拋物線方程；（2）過點且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點，求線段的值．10.（2021·江蘇揚州·高三月考）在平面直角坐標系中，已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點F的直線l交C于A，B兩點，線段的中點為M，分別過A，B作C的切線，，且與交于點P，證明：O，P，M三點共線.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.【多選題】（2021·山東濟南·高三月考）已知直線過拋物線的焦點，且直線與拋物線交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設(shè)，，.則下列選項正確的是（）A．B．以線段為直徑的圓與直線相離C．當時，D．面積的取值范圍為2.（2019·全國高三月考（文））已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于M，N兩點，且以線段MN為直徑的圓過點F，則p=（）A.1 B.2 C.4 D.63．（2020·山西運城·高三月考（理））已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準線上的一動點，則的最小值為（）.A． B． C． D．4．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學附中高三月考）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓、的面積為、，則的取值范圍是__________．5．（2020·山東青島·高三開學考試）已知直線：與拋物線：在第一象限的交點為，過的焦點，，則拋物線的準線方程為_______；_______.6．（2020·江蘇如皋·高二月考）已知是拋物線的焦點，，為拋物線上任意一點，的最小值為，則________；若過的直線交拋物線于、兩點，有，則________.7．（2021·天津南開區(qū)·南開中學高三月考）設(shè)橢圓：的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于點，兩點，且，求的值．8．（2021·北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的焦點在y軸上，且拋物線上的點P(x0,4)到焦點F的距離為5.斜率為2的直線l與拋物線C交于A，B兩點.（1）求拋物線C的標準方程，及拋物線在P點處的切線方程；（2）若AB的垂直平分線分別交y軸和拋物線于M，N兩點（M，N位于直線l兩側(cè)），當四邊形AMBN為菱形時，求直線l的方程.9.（2019·天津高考真題（文））設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.10．（2019·全國高三月考（理））如圖，己知拋物線，直線交拋物線于兩點，是拋物線外一點，連接分別交地物線于點，且.（1）若，求點的軌跡方程.（2）若，且平行x軸，求面積.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2021·天津高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．32.（2020·全國高考真題（理））已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.3.（2019·浙江高考真題）已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.4.（2020·全國高考真題（文））已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．5．（2019·江蘇高考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．6．（2021·山東高考真題）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸的正半軸上，是拋物線上的點，點到焦點的距離為1，且到軸的距離是．（1）求拋物線的標準方程；（2）假設(shè)直線通過點，與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程．專題9.6直線與圓錐曲線練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知點是拋物線的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰在以、為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)切線方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由可求得的值，設(shè)點，利用韋達定理求出的值，利用雙曲線的定義求出的值，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】拋物線的焦點為，易知點，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，即，則，解得，設(shè)點，由韋達定理可得，以、為焦點的雙曲線的實軸長為，則，則，因此，該雙曲線的離心率為，故選：B.2．（2022·全國高三專題練習）直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A、B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可得直線恒過拋物線的焦點，根據(jù)拋物線焦點弦的性質(zhì)|AB|＝x1＋x2，可得弦AB的中點的橫坐標是，即得解【詳解】直線4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2，故x1＋x2＝，則弦AB的中點的橫坐標是，所以弦AB的中點到直線x＋＝0的距離是．故選：D3.（2020·浙江高三月考）如圖，已知拋物線和圓，直線經(jīng)過的焦點，自上而下依次交和于A，B，C，D四點，則的值為A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因為拋物線的焦點為，又直線經(jīng)過的焦點，設(shè)直線，由得，設(shè)，則由題意可得：，同理，所以.故選C4.（2019·天津高考真題（理））已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線x2a2?y2bA.2 B.3 C.2 D.5【答案】D【解析】拋物線y2=4x的準線l的方程為雙曲線的漸近線方程為y=±b則有A(?1,∴AB=2ba，2b∴e=c故選D.5.【多選題】（2021·河北滄州市·高三月考）已知直線與拋物線交于兩點，若線段的中點是，則（）A． B．C． D．點在以為直徑的圓內(nèi)【答案】AB【分析】直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和中點坐標可構(gòu)造方程求得，知A正確；將中點坐標代入直線方程即可求得，知B正確；根據(jù)直線過拋物線焦點，根據(jù)拋物線焦點弦長公式可知C錯誤；根據(jù)長度關(guān)系可確定，由此可確定D錯誤.【詳解】對于A，設(shè)，，由得：，，又線段的中點為，，解得：，A正確；對于B，在直線上，，B正確；對于C，過點，為拋物線的焦點，，C錯誤；對于D，設(shè)，則，又，，，在以為直徑的圓上，D錯誤.故選：AB.6．（2021·江蘇揚州·高三月考）直線過拋物線的焦點F，且與C交于A，B兩點，則___________.【答案】8【分析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及即可求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點坐標為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.7．（2022·全國高三專題練習）在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點F，且與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．【答案】【分析】根據(jù)焦點坐標和直線的傾斜角得出直線的點斜式方程，然后利用直線和拋物線相交可得出A點坐標.繼而可求出.【詳解】解：由題意得：拋物線交點，直線l的傾斜角為60°，直線l的方程為，即代入拋物線方程，得解得（舍去）所以，于是可得故答案為：8．（2022·全國高三專題練習）拋物線的焦點F是圓x2＋y2－4x＝0的圓心．（1）求該拋物線的標準方程；（2）直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點，若l與拋物線、圓依次交于A、B、C、D，求|AB|＋|CD|．【答案】（1）y2＝8x；（2）6.【分析】（1）由圓的方程寫出圓心坐標，進而可得拋物線方程.（2）由題意知|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，寫出直線l的方程，設(shè)A(x1,y1)、D(x2,y2)，聯(lián)立拋物線求x1＋x2、x1x2，即可求|AD|，進而求|AB|＋|CD|．【詳解】（1）由圓的方程知：圓心坐標為(2,0)．故所求的拋物線焦點為(2,0)，∴拋物線的標準方程為y2＝8x．（2）如圖，|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，又|BC|＝4，只需求出|AD|即可．由題意，AD所在直線方程為y＝2(x－2)，與拋物線方程y2＝8x聯(lián)立得：x2－6x＋4＝0，設(shè)A(x1,y1)，D(x2,y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝4，∴|AD|＝|AF|＋|DF|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝6＋4＝10，∴|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝6．9.（2020·廣西欽州·高二期末（文））已知拋物線的頂點為，焦點坐標為．（1）求拋物線方程；（2）過點且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點，求線段的值．【答案】（1）．（2）【解析】（1）∵焦點坐標為∴，，∴拋物線的方程為．（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立消元得，∴，，，∴．∴線段的值為．10.（2021·江蘇揚州·高三月考）在平面直角坐標系中，已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點F的直線l交C于A，B兩點，線段的中點為M，分別過A，B作C的切線，，且與交于點P，證明：O，P，M三點共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)離心率及焦點求出即可得橢圓標準方程；（2）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系計算即可證明三點共線.【詳解】（1），橢圓方程為.（2）由題意知斜率不為0，設(shè)直線l的方程為：，，，，，由，即.，，.直線的方程為：①，直線的方程為②，，，，，即O，P，M三點共線.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.【多選題】（2021·山東濟南·高三月考）已知直線過拋物線的焦點，且直線與拋物線交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設(shè)，，.則下列選項正確的是（）A．B．以線段為直徑的圓與直線相離C．當時，D．面積的取值范圍為【答案】BCD【分析】求出拋物線的焦點及準線，設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，計算可判斷A；利用定義及直線與圓的位置可判斷B；由向量共線求出弦長判斷C；求出點G的坐標及面積的函數(shù)式即可判斷作答.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，設(shè)直線l的方程為，由消去y得：，于是得，，A不正確；以線段AB為直線的圓的圓心，則，點到直線距離，由拋物線定義得，顯然，即以線段為直徑的圓與直線相離，B正確；當時，有，即，而，于是得，，C正確；由求導得，于是得拋物線C在A處切線方程為：，即，同理，拋物線C在B處切線方程為：，聯(lián)立兩切線方程解得，，點到直線l：的距離，于是得面積，當且僅當時取“=”，面積的取值范圍為，D正確.故選：BCD2.（2019·全國高三月考（文））已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于M，N兩點，且以線段MN為直徑的圓過點F，則p=（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】設(shè)，聯(lián)立，消去x得，由韋達定理可得：，，以線段MN為直徑的圓的方程為，又其過點F，，，，，故選：B3．（2020·山西運城·高三月考（理））已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準線上的一動點，則的最小值為（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的準線方程為，，到準線的距離為2，故點縱坐標為1，把代入拋物線方程可得．不妨設(shè)在第一象限，則，點關(guān)于準線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為．故選：A．4．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學附中高三月考）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓、的面積為、，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】首先根據(jù)雙曲線以及切線性質(zhì)證明軸，然后根據(jù)三角形相似關(guān)系求出與之間的關(guān)系，再根據(jù)已知條件求出的取值范圍，進而求出的取值范圍，最后利用函數(shù)思想求出的取值范圍即可求解.【詳解】由雙曲線的方程可知，實半軸長，虛半軸長，且，設(shè)圓與分別切于，，，連接，如下圖所示：由圓的切線性質(zhì)可知，，，，有雙曲線定義可知，，即，設(shè)，故，解得，，由切線性質(zhì)可知，與點坐標都為，同理可知，圓也與軸也切于點，故軸，且、、三點共線，又由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，、分別為和的角平分線，易得，，從而可得，，故，因為，所以，，因為雙曲線的漸近線：，所以其傾斜角分別為和，又因為直線與雙曲線的右支交于，兩點，所以直線的傾斜角范圍為，易得所以，由，不妨令，，易知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為，又因為，從而在上的值域為，所以的取值范圍為，又因為，所以的取值范圍為.故答案為：.5．（2020·山東青島·高三開學考試）已知直線：與拋物線：在第一象限的交點為，過的焦點，，則拋物線的準線方程為_______；_______.【答案】【解析】易知直線與軸的交點為，即拋物線的焦點為，∴準線方程為，設(shè)，則，，作軸于點，如圖，則，，∴，∴直線的斜率為．故答案為：；．6．（2020·江蘇如皋·高二月考）已知是拋物線的焦點，，為拋物線上任意一點，的最小值為，則________；若過的直線交拋物線于、兩點，有，則________.【答案】【解析】過點作垂直于拋物線的準線，垂足為點，由拋物線的定義可得，，則，則點在拋物線內(nèi)，如下圖所示：，當點、、共線時，取得最小值，解得，所以，拋物線的標準方程為，該拋物線的焦點為，設(shè)點、，可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，恒成立，由韋達定理得，，，則，，所以，，可得，，可得，因此，.故答案為：；.7．（2021·天津南開區(qū)·南開中學高三月考）設(shè)橢圓：的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于點，兩點，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用橢圓的離心率，和過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，列出方程求解，可得橢圓的方程；(2)聯(lián)立直線CD和橢圓方程，利用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標公式代入解出k的值．【詳解】（1）設(shè)F(－c，0)，由，知．過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有，解得，于是，解得，又，從而，c＝1，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．求解可得x1＋x2＝，x1x2＝．因為A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝．由已知得，解得k＝．8．（2021·北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的焦點在y軸上，且拋物線上的點P(x0,4)到焦點F的距離為5.斜率為2的直線l與拋物線C交于A，B兩點.（1）求拋物線C的標準方程，及拋物線在P點處的切線方程；（2）若AB的垂直平分線分別交y軸和拋物線于M，N兩點（M，N位于直線l兩側(cè)），當四邊形AMBN為菱形時，求直線l的方程.【答案】（1）；切線方程為或；（2）.【分析】（1）利用拋物線定義，結(jié)合已知即可求參數(shù)，寫出拋物線標準方程，即可得P點坐標，利用導數(shù)的幾何意義求P點處切線的斜率，即可寫出切線方程.（2）設(shè)直線為，，，聯(lián)立拋物線并整理，應用韋達定理求，，再根據(jù)中點公式求的中點，并寫出的垂直平分線方程，利用菱形的對稱性求N點坐標，由點在直線上求參數(shù)m，即可得直線l的方程.【詳解】（1）依題意,設(shè)拋物線C：，由P到焦點F的距離為5，∴P到準線的距離為5，又P(x0,4)，∴由拋物線準線方程得：，即，則拋物線的標準方程為.∴，則，點P(±4,4)，∴，.∴(4,4)處拋物線切線方程為，即；(4,4)處拋物線切線方程為，即.綜上，點處拋物線切線方程為或.（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線得：，消y得，.∴，，則，，即的中點為.∴的垂直平分線方程為.∵四邊形AMBN為菱形，∴，，關(guān)于對稱，則，又在拋物線上，∴，即，故直線的方程為.9.（2019·天津高考真題（文））設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得，所以，橢圓的離心率為.（II）解：由（I）知，，故橢圓方程為，由題意，，則直線的方程為，點的坐標滿足，消去并化簡，得到，解得，代入到的方程，解得，因為點在軸的上方，所以，由圓心在直線上，可設(shè)，因為，且由（I）知，故，解得，因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，解得，所以橢圓的方程為：.10．（2019·全國高三月考（理））如圖，己知拋物線，直線交拋物線于兩點，是拋物線外一點，連接分別交地物線于點，且.（1）若，求點的軌跡方程.（2）若，且平行x軸，求面積.【答案】（1）（2）【解析】（1）解法1：，設(shè)，則，由可得，故，同理，故，代入拋物線得：，化簡得：，同理得：，所以為方程的兩根，又由，將代入且①，將代入①，得，故.故點P的軌跡方程為.解法2：同解法1知，設(shè)線段的中點分別為，易知三點共線，（為實數(shù)），所以.以下同解法1.（2）由為方程的兩根，可得：.由（1）得，因為，所以，故.軸且在拋物線上，∴關(guān)于軸對稱.，及，且.∵在拋物線上,，解得.設(shè)的中點為，則，所以，而.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2021·天津高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)公共焦點為，進而可得準線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.2.（2020·全國高考真題（理））已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：．3.（2019·浙江高考真題）已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.【答案】【解析】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.4.（2020·全國高考真題（文））已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設(shè),在x軸上方點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設(shè)與軸交點為根據(jù)題意畫出圖形，如圖，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點為，可得點縱坐標為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，①當點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：；②當點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.5．（2019·江蘇高考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.因為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因為F1(-1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.6．（2021·山東高考真題）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸的正半軸上，是拋物線上的點，點到焦點的距離為1，且到軸的距離是．（1）求拋物線的標準方程；（2）假設(shè)直線通過點，與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合到焦點、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，應用韋達定理求，，進而求，由題設(shè)向量垂直的坐標表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設(shè)拋物線的方程為，又到焦點的距離是1，∴點到準線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是．（2）假設(shè)直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯(lián)立可得交點、的坐標分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設(shè)不成立，∴直線的斜率存在．設(shè)直線為，整理得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或．當時，直線的方程是，不滿足，舍去．當時，直線的方程是，即，∴直線的方程是．專題9.7圓錐曲線綜合問題練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·河南高三開學考試（文））已知過的直線與拋物線交于，兩點，為弦的中點，為坐標原點，直線與拋物線的另一個交點為，則兩點、縱坐標的比值范圍是（）A． B．C． D．2．（2021·全國高三專題練習）已知直線與橢圓相交于兩點，為坐標原點.當?shù)拿娣e取得最大值時，（）A． B．C． D．3．（2021·全國高三專題練習）已知A、B是拋物線y2＝4x上異于原點O的兩點，則“＝0”是“直線AB恒過定點（4，0）”的（）A．充分非必要條件 B．充要條件C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件4.（2021·全國高三專題練習）已知A、B是拋物線的兩點，為坐標原點，若且的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點，則直線的方程是（）A． B．C． D．5．（2022·江蘇高三專題練習）設(shè)拋物線：的焦點為，點是拋物線上一點，且．設(shè)直線與拋物線交于、兩點，若（為坐標原點）．則直線過定點（）．A． B． C． D．6．（2022·北京石景山區(qū)·）過橢圓的右焦點并垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，橢圓上不同的兩點，滿足條件：成等差數(shù)列，則弦的中垂線在軸上的截距的范圍是（）A． B． C． D．7．【多選題】（2021·重慶實驗外國語學校高三開學考試）如圖，為橢圓：上的動點，過作橢圓的切線交圓：于，，過，作切線交于，則（）A．的最大值為B．的最大值為C．的軌跡方程是D．的軌跡方程是8．【多選題】（2021·江蘇南京市第二十九中學高三開學考試）已知F為拋物線C：（）的焦點，下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的的焦點到其準線的距離為．B．已知拋物線C與直線l：在第一、四象限分別交于A，B兩點，若，則．C．過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則四邊形面積的最小值為．D．若過焦點F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點，過點M，N分別作拋物線C的切線，，切線與相交于點P，則點P在定直線上．9．（2021·全國高三專題練習）設(shè)橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于、兩點，則周長的取值范圍是_________10．（2021·全國高三專題練習）已知橢圓的左頂點為A，過A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點，直線AM、AN的斜率記為，滿足，則直線MN經(jīng)過的定點為___________．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高二課時練習）過橢圓的焦點的弦中最短弦長是（）A． B． C． D．2．（2019·北京高考真題（理））數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是A．① B．② C．①② D．①②③3．（2020·四川武侯·成都七中高二月考（理））已知點是橢圓上的動點，、為橢圓的左、右焦點，為坐標原點，若是的角平分線上的一點，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．【多選題】（2021·濟寧市育才中學）已知雙曲線：（）的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則（）A．雙曲線的離心率B．當點異于頂點時，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上C．為定值D．的最小值為5．【多選題】（2021·全國高二期中）橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標原點，則以下說法正確的是（）A．過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B．橢圓上存在點，使得C．橢圓的離心率為D．為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為36．（2021·山東）已知圓，，動圓與圓?都相切，則動圓的圓心軌跡的方程為___________；直線與曲線僅有三個公共點，依次為??，則的最大值為___________.7．（2021·深圳實驗學校高中部高二期末）如圖，已知拋物線直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點.（1）證明：；（2）設(shè)拋物線C在點A處的切線為，在點B處的切線為，證明：與的交點M在一定直線上.8.（2021·浙江溫州·高二期末）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線交拋物線于，兩點.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點，分別作拋物線的切線，，點為直線，的交點.（i）求證：點在一條定直線上；（ii）求面積的取值范圍.9.（2021·四川南充·（文））設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率k的直線與交于A，D兩點，.（1）求；（2）若在上，過點作的弦，，若，證明：直線過定點，并求出定點的坐標.10．（山東高考真題（理））已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為時，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（文））已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.2.（2020·山東高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點，橢圓的頂點分別為，，，，其中點為拋物線的焦點，如圖所示.（1）求拋物線的標準方程；（2）若過點的直線與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程.3．（2020·江蘇省高考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；（3）設(shè)點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標．4．（2020·山東海南省高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．5.（2021·全國高考真題（理））已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．6.（2019·全國高考真題（理））已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.專題9.7圓錐曲線綜合問題練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·河南高三開學考試（文））已知過的直線與拋物線交于，兩點，為弦的中點，為坐標原點，直線與拋物線的另一個交點為，則兩點、縱坐標的比值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先設(shè)出直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得中點的坐標，并求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求得點的縱坐標，即可求得的范圍.【詳解】設(shè)直線，代入得，，，，直線，代入得，.故選：A2．（2021·全國高三專題練習）已知直線與橢圓相交于兩點，為坐標原點.當?shù)拿娣e取得最大值時，（）A． B．C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化簡，得到韋達定理，由弦長公式求得，由O到直線的距離，表示出的面積，利用基本不等關(guān)系求得最大值，從而求得此時的.【詳解】由，得.設(shè)，，則，，.又O到直線的距離，則的面積，當且僅當，即時，的面積取得最大值.此時，.故選：A.3．（2021·全國高三專題練習）已知A、B是拋物線y2＝4x上異于原點O的兩點，則“＝0”是“直線AB恒過定點（4，0）”的（）A．充分非必要條件 B．充要條件C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件【答案】B【分析】設(shè)出A、B的坐標和直線AB的方程，將直線方程代入拋物線方程并化解，進而求出，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系將化簡，最后根據(jù)邏輯關(guān)系得到答案.【詳解】根據(jù)題意，A、B是拋物線y2＝4x上異于原點O的兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB方程為x＝my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，則＝x1x2+y1y2＝.若，則b=4，則直線AB的方程為x＝my+4，直線AB恒過定點（4，0）；若直線AB恒過定點（4，0），則b=4，于是.所以是“直線AB恒過定點（4，0）”的充要條件.故選：B．4.（2021·全國高三專題練習）已知A、B是拋物線的兩點，為坐標原點，若且的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知A、B兩點關(guān)于軸對稱，若令點A在軸上方，坐標為（），則，由于的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點，所以由三角形角平分線的性質(zhì)得,即,從而可求得答案【詳解】因為A、B是拋物線的兩點，為坐標原點，，所以A、B兩點關(guān)于軸對稱，設(shè)點A在軸上方，坐標為（），則，所以,設(shè)交軸于點,則,因為,所以,因為的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點，所以平分，所以由三角形角平分線的性質(zhì)得,即，化簡得,,解得,因為,所以,所以直線的方程為故選：C.5．（2022·江蘇高三專題練習）設(shè)拋物線：的焦點為，點是拋物線上一點，且．設(shè)直線與拋物線交于、兩點，若（為坐標原點）．則直線過定點（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先結(jié)合拋物線的定義求得拋物線方程，設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由列方程，化簡求得，由此求得直線過定點.【詳解】∵是拋物線上一點，且．∴，解得，即拋物線的方程為．依題意可知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，，由消去得，則，．因為，所以，即．化簡得．由得，所以直線的方程為，所以直線經(jīng)過定點．故選：C6．（2022·北京石景山區(qū)·）過橢圓的右焦點并垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，橢圓上不同的兩點，滿足條件：成等差數(shù)列，則弦的中垂線在軸上的截距的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用焦半徑公式得，設(shè)中點，利用點差法可求得，進而求得弦的中垂線方程，求得其在軸上的截距，利用在橢圓“內(nèi)”，可求得結(jié)果.【詳解】因為成等差數(shù)列，，利用焦半徑公式得：，，代入可得設(shè)中點，橢圓上不同的兩點，，兩式作差可得，，所以弦的中垂線的方程為：，當時，，此即的中垂線在軸上的截距，在橢圓“內(nèi)”，，得，．故選：C．7．【多選題】（2021·重慶實驗外國語學校高三開學考試）如圖，為橢圓：上的動點，過作橢圓的切線交圓：于，，過，作切線交于，則（）A．的最大值為B．的最大值為C．的軌跡方程是D．的軌跡方程是【答案】AD【分析】設(shè)出，根據(jù)橢圓和圓的方程分別寫出所在的直線方程，從而求出，代入橢圓方程即可求出的軌跡方程是；根據(jù)到直線的距離求出的面積，從而利用基本不等式求最值.【詳解】設(shè)，則切點弦所在的直線方程為，又因為為橢圓上的一點，所以切線所在的直線方程為，所以，即，所以，因為在橢圓上，所以，即，所以的軌跡方程是.因為直線的方程為，所以到直線的距離為，所以的面積為，當且僅當且時，即時等號成立，所以的最大值為.故選：AD.8．【多選題】（2021·江蘇南京市第二十九中學高三開學考試）已知F為拋物線C：（）的焦點，下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的的焦點到其準線的距離為．B．已知拋物線C與直線l：在第一、四象限分別交于A，B兩點，若，則．C．過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則四邊形面積的最小值為．D．若過焦點F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點，過點M，N分別作拋物線C的切線，，切線與相交于點P，則點P在定直線上．【答案】BCD【分析】A：根據(jù)焦點到準線的距離等于即可判斷A選項；B：聯(lián)立，得，進而結(jié)合焦半徑公式得到與進而可以求出的值，從而判斷B選項；C：由題意可知直線，的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示出弦長，同理，進而得到的面積，結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果，進而判斷C選項；D：設(shè)，不妨設(shè)，利用導數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程和在處的切線方程進而求出交點的坐標，即可判斷D選項.【詳解】A：拋物線的的焦點到其準線的距離為，故A錯誤；B：聯(lián)立，則，解得，由題意可知，，故，所以，故B正確；C：由題意可知直線，的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，則，設(shè)兩交點為，結(jié)合韋達定理，所以；同理,所以，當且僅當時，等號成立；所以四邊形面積的最小值為，故C正確；D：設(shè)，不妨設(shè)因為（），若，則，所以，所以在點處的切線的斜率為，因此在處的切線方程為，即，同理在處的切線方程為，則，解得，因為直線過點，所以，即，所以，故點P在定直線上，故D正確；故選：BCD.9．（2021·全國高三專題練習）設(shè)橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于、兩點，則周長的取值范圍是_________【答案】【分析】求出的取值范圍，結(jié)合橢圓的定義可求得周長的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為，連接、，

因為、的中點為坐標原點，故四邊形為平行四邊形，所以，，由橢圓的定義可得，因為直線與橢圓關(guān)于原點對稱，則點、也關(guān)于原點對稱，設(shè)點，則，所以，，所以，的周長為.故答案為：.10．（2021·全國高三專題練習）已知橢圓的左頂點為A，過A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點，直線AM、AN的斜率記為，滿足，則直線MN經(jīng)過的定點為___________．【答案】【分析】設(shè)出直線OM,ON的方程，代入到橢圓方程解出M,N的坐標結(jié)合進行化簡，進而求出直線MN的方程，最后得到答案.【詳解】由題意，橢圓的左頂點為（-4,0），設(shè)，由，則，由,因為，所以，則，所以，于是，化簡得：，令，所以直線MN經(jīng)過軸上的定點.故答案為：.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高二課時練習）過橢圓的焦點的弦中最短弦長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由過橢圓焦點的最短弦所在直線不垂直y軸，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立求出直線被橢圓所截弦長即可推理作答.【詳解】顯然過橢圓焦點的最短弦所在直線l不垂直y軸，設(shè)l的方程為：x=my+c，由消去x并整理得：，設(shè)直線l與橢圓交于點，則有，則有，當且僅當時取“=”，于是，當，即直線l垂直于x軸時，，所以過橢圓的焦點的最短弦是與焦點所在坐標軸垂直的弦，最短弦長是.故選：A2．（2019·北京高考真題（理））數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【解析】由得,,,所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個整點,結(jié)論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯誤.故選C.3．（2020·四川武侯·成都七中高二月考（理））已知點是橢圓上的動點，、為橢圓的左、右焦點，為坐標原點，若是的角平分線上的一點，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，延長與交于點，則是的角平分線，由可得與垂直，可得為等腰三角形，故為的中點，由于為的中點，則為的中位線，故，由于，所以，所以，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，而的最小值為，的最大值為，即的值域為，故當或時，取得最大值為，當時，在軸上，此時與重合，取得最小值為0，又由題意，最值取不到，所以的取值范圍是，故選：A.4．【多選題】（2021·濟寧市育才中學）已知雙曲線：（）的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則（）A．雙曲線的離心率B．當點異于頂點時，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上C．為定值D．的最小值為【答案】ACD【分析】由圓心到漸近線的距離等于半徑求得，從而可得，得離心率，判斷A；設(shè)出的內(nèi)切圓與其三邊的切點，利用切線的性質(zhì)得出點橫坐標，從而判斷B；，求出，代入點在雙曲線上的條件可判斷C；利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判斷D．【詳解】由題意雙曲線的漸近線方程是，圓的圓心是，半徑是1，則，（舍去），又，所以，離心率為，A正確；設(shè)的內(nèi)切圓與三邊切點分別為，如圖，由圓的切線性質(zhì)知，所以，因此內(nèi)心在直線，即直線上，B錯；設(shè)，則，，漸近線方程是，則，，為常數(shù)，C正確；由已知的方程是，傾斜角為，所以，，，當且僅當時等號成立，D正確．故選：ACD．5．【多選題】（2021·全國高二期中）橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標原點，則以下說法正確的是（）A．過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B．橢圓上存在點，使得C．橢圓的離心率為D．為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為3【答案】ABD【分析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算判斷B選項的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項的正確性，結(jié)合兩點間距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】對于選項：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項正確；對于選項：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項正確；對于選項：因為，，所以，即，所以離心率，所以選項錯誤；對于選項：設(shè)，，則點到圓的圓心的距離為，因為，所以，所以選項正確，故選：ABD．6．（2021·山東）已知圓，，動圓與圓?都相切，則動圓的圓心軌跡的方程為___________；直線與曲線僅有三個公共點，依次為??，則的最大值為___________.【答案】或【分析】①分析兩個圓的位置，圓內(nèi)含于圓，則圓有與圓外切，與圓內(nèi)切，以及與圓?都內(nèi)切兩種情況，分別列出關(guān)系化簡即可.②由①的結(jié)果可知，若有三個公共點，則與內(nèi)部的橢圓相切，與外部的橢圓相交，設(shè)直線通過相切解出，通過相交寫出弦長公式，代入化簡，求出弦長的最大值.【詳解】①已知圓，，則圓內(nèi)含于圓，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.設(shè)動圓的半徑為，分以下兩種情況討論：（1）圓與圓外切，與圓內(nèi)切，由題意可得，∴，此時，圓的圓心軌跡是以?分別為左?右焦點，長軸長為的橢圓，∴，，則，此時，軌跡的方程為；（2）圓與圓?都內(nèi)切，且，由題意可得，∴，此時，圓的圓心軌跡是以?分別為左?右焦點，長軸長為的橢圓，∴，，則，此時，軌跡的方程為；綜上所述，軌跡的方程為或.②由于直線與曲線僅有三個公共點，則直線與橢圓相切.若直線的斜率不存在時，直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，此時；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，可得，設(shè)點?，聯(lián)立，消去并整理得，，由韋達定理得，，∴，∴，當且僅當時，取得最大值.故答案為：或；.7．（2021·深圳實驗學校高中部高二期末）如圖，已知拋物線直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點.（1）證明：；（2）設(shè)拋物線C在點A處的切線為，在點B處的切線為，證明：與的交點M在一定直線上.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，即可得到，從而得證；（2）對函數(shù)求導，利用導數(shù)的幾何意義求出過點、的切線、的方程，即可得到，即可得證；【詳解】解：（1）設(shè)，，把代入，得.由韋達定理得，..所以（2），，故經(jīng)過點的切線的方程為：，即，①同理，經(jīng)過點的切線的方程為：，②，得.即點M在直線上.8.（2021·浙江溫州·高二期末）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線交拋物線于，兩點.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點，分別作拋物線的切線，，點為直線，的交點.（i）求證：點在一條定直線上；（ii）求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）由題意可得，代入拋物線方程即可求解.（2）（i）聯(lián)立方程組消去，求出兩根之和、兩根之積，再求出切線方程以及切線方程，求出兩直線的交點即可求解.（ii）利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，再利用弦長公式求出，由即可求解.【詳解】解：（1）拋物線的焦點到準線的距離為2，可得，所以拋物線的標準方程為.（2）聯(lián)立方程組消去得，，∴，由得，，所以切線方程為切線方程為聯(lián)立直線?方程可解得，.（i）所以點的坐標為.所以點在定直線上（ii）點到直線的距離為.所以的面積為所以當時，有最小值.面積的取值范圍是.9.（2021·四川南充·（文））設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率k的直線與交于A，D兩點，.（1）求；（2）若在上，過點作的弦，，若，證明：直線過定點，并求出定點的坐標.【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.【分析】（1）設(shè)出的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組，表示出弦長，求出斜率k；（2）設(shè)直線:，聯(lián)立把表示為，找出m、n的關(guān)系，把直線用點斜式表示，得到直線過定點.【詳解】解：（1）由題意得，的方程為，，設(shè)，，由，得，，故，所以，解得(舍)，.（2）因為在上，所以，設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立，得，由得，，.因為，所以.所以，又因為，，所以，所以或，所以或.因為恒成立，所以，所以直線的方程，所以直線過定點.10．（山東高考真題（理））已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為時，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（?。┳C明直線過定點，并求出定點坐標；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（I）.（II）（ⅰ）直線AE過定點.（ⅱ）的面積的最小值為16.【解析】（I）由題意知設(shè)，則FD的中點為，因為，由拋物線的定義知：，解得或（舍去）.由，解得.所以拋物線C的方程為.（II）（?。┯桑↖）知，設(shè)，因為，則，由得，故，故直線AB的斜率為，因為直線和直線AB平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意，得.設(shè)，則，.當時，，可得直線AE的方程為，由，整理可得，直線AE恒過點.當時，直線AE的方程為，過點，所以直線AE過定點.（ⅱ）由（?。┲?，直線AE過焦點，所以，設(shè)直線AE的方程為，因為點在直線AE上，故，設(shè)，直線AB的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得，所以，可求得，，所以點B到直線AE的距離為.則的面積，當且僅當即時等號成立.所以的面積的最小值為16.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（文））已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求