了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，會進(jìn)行簡單的隨機(jī)事件的運(yùn)算.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過相關(guān)概念的學(xué)習(xí)及對簡單隨機(jī)事件的運(yùn)算，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.事件的運(yùn)算

定義表示法圖示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致___________，即事件A中的每個(gè)樣本點(diǎn)都在B中，則稱A包含于B，或B包含A________(或______)

事件的交(或積)Ω∩A＝A如果某事件發(fā)生________________________________，則稱該事件為事件A與B的交(或積)(______)

(或______)

事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A?BB?AA∩BAB事件的并(或和)?∪A＝A如果某事件發(fā)生____________________________________，則稱該事件為事件A與B的并(或和)________(或A＋B)

相等事件對于事件A，B，如果______，且______，則稱A與B等價(jià)，或稱A與B相等A＝B

事件的差如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則稱該事件為事件A與B的差A(yù)\B

當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生A∪BA?BB?A注：上表中韋恩圖中陰影部分分別表示A∩B，A∪B，A\B.A\B由屬于事件A但不屬于事件B的樣本點(diǎn)組成.2.事件的關(guān)系(1)事件互斥(或互不相容)①定義：如果事件A∩B為____________，即A∩B＝____，則稱事件A，B互斥(或互不相容).②圖示推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An中任意兩個(gè)都______，則稱它們__________.不可能事件?互斥兩兩互斥3.概率論中事件的運(yùn)算性質(zhì)與集合論中的運(yùn)算性質(zhì)是一致的，主要包括： (1)A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A； (2)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； (3)(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)＝(C∩A)∪(C∩B)；1.思考辨析，判斷正誤×從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，判斷下列事件哪些是互斥而不對立的兩事件.(1)“至少有1個(gè)黑球”和“都是黑球”.(

)(2)“至少有1個(gè)黑球”和“至少有1個(gè)紅球”.(

)(3)“恰有1個(gè)黑球”和“恰有2個(gè)紅球”.()(4)“至少有1個(gè)黑球”和“都是紅球”(

)提示(1)(2)中兩事件能同時(shí)發(fā)生，(4)中兩事件既互斥又對立.×√×2.同時(shí)拋擲兩枚硬幣，向上都是正面為事件M，向上至少有一枚是正面為事件N，則有(

) A.M?N B.M?N C.M＝N D.M∩N＝?

A3.如果事件A，B互斥，那么(

)B4.已知袋內(nèi)紅、白、黑球分別為3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對立的兩個(gè)事件是(

) A.至少有一個(gè)白球；紅、黑球各1個(gè) B.至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球 C.恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球 D.至少有一個(gè)白球；都是白球

解析至少有一個(gè)白球與紅、黑球各1個(gè)是互斥事件但不是對立事件.A課堂互動(dòng)題型剖析2題型一事件關(guān)系的判斷【例1】

從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各4張)中，任取一張. (1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； (2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”.

判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.

解(1)是互斥事件，不是對立事件.

理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件.同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件. (2)既是互斥事件，又是對立事件.

理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件. (3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件.

理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件.互斥事件、對立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生；②對立事件首先是互斥事件，且必須有一個(gè)要發(fā)生.(2)利用集合的觀點(diǎn)來判斷設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B.①事件A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A與B對立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即A＝?ΩB或B＝?ΩA.思維升華【訓(xùn)練1】

從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出3件產(chǎn)品，設(shè)A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品不全是次品}，則下列結(jié)論正確的是________(填序號). ①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對立；⑤B與C對立.①②⑤解析

A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，指的是3件產(chǎn)品全是正品，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3個(gè)事件，由此知：A與B是互斥事件，但不對立；A與C是包含關(guān)系，不是互斥事件，更不是對立事件；B與C是互斥事件，也是對立事件.所以正確結(jié)論的序號為①②⑤.【例2】

盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}.

求：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？ (2)事件C與A的交事件是什么事件？

解(1)對于事件D，可能的結(jié)果為：1個(gè)紅球，2個(gè)白球或2個(gè)紅球，1個(gè)白球，故D＝A∪B. (2)對于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球，2個(gè)白球或2個(gè)紅球，1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A.題型二事件的運(yùn)算事件間的運(yùn)算方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義.列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.(2)利用Venn圖.借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算.思維升華【訓(xùn)練2】

在例2中，設(shè)事件E＝{3個(gè)紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有一個(gè)白球}，那么事件C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？

解由事件C包括的可能結(jié)果有1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，3個(gè)紅球三種情況，故B?C，E?C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個(gè)白球2個(gè)紅球，2個(gè)白球1個(gè)紅球，3個(gè)白球，所以C∩F＝{1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球}＝D.【例3】

在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}. (1)說明以上4個(gè)事件的關(guān)系；題型三事件運(yùn)算的綜合問題解在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6個(gè)樣本點(diǎn)，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1，2，…，6).則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A與事件B互斥，但不對立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對立事件.(2)求A∪B，A∪C，A∪D，C∪D，B∪C，B∪D，B\C，D\B.解A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或4或6}，B∪C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4或5}，B∪D＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2或3或4或6}，C∪D＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或3或4或5或6}，B\C＝A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}，D\B＝A2∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2或6}.事件運(yùn)算應(yīng)注意的兩個(gè)問題(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.(2)在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識來判斷.但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來推理.思維升華【訓(xùn)練3】

對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是(

) A.A?D B.B∩D＝? C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D

解析“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，∴A∪B≠B∪D.D互斥事件和對立事件都是針對兩個(gè)事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系.在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能兩個(gè)都發(fā)生；而兩個(gè)對立事件必有一個(gè)發(fā)生，但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，也不可能兩個(gè)事件都不發(fā)生.所以兩個(gè)事件互斥，它們未必對立；反之兩個(gè)事件對立，它們一定互斥.課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則與事件A互斥的事件為(

) A.恰有兩件次品 B.恰有一件次品 C.恰有兩件正品 D.至少有兩件正品

解析

事件“恰有一件次品”與事件A不會同時(shí)發(fā)生，故選B.B2.給出事件A與B的關(guān)系示意圖，如圖所示，則(

)CA.A?BB.A?BC.A與B互斥D.A與B互為對立事件解析由互斥事件的定義知C正確.3.一箱產(chǎn)品有正品4件、次品3件，從中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”.

其中互斥事件有(

) A.1組 B.2組 C.3組 D.4組B

解析對于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，與“2件都是次品”顯然是互斥事件；

對于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是次品”可能同時(shí)發(fā)生，因此這兩個(gè)事件不是互斥事件；

對于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，與“至少有1件次品”可能同時(shí)發(fā)生，因此這兩個(gè)事件不是互斥事件；

對于④“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是正品”顯然是互斥事件，故①④是互斥事件.4.把電影院的4張電影票隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”是(

) A.對立事件 B.不可能事件 C.互斥事件 D.以上答案都不對

解析“甲分得4排1號”與“乙分得4排1號”是互斥事件.C5.從1，2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù).則在上述事件中是對立事件的是(

) A.① B.②④

C.③ D.①③

解析從1，2，…，9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個(gè)奇數(shù)；(2)兩個(gè)偶數(shù)；(3)一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù).至少有一個(gè)奇數(shù)是(1)和(3)，其對立事件顯然是(2).故選C.C二、填空題6.某人打靶3次，事件Ai表示“擊中i次”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示_______________.至少有一次擊中解析A1∪A2∪A3所表示的含義是A1、A2、A3這三個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生，即可能擊中1次、2次或3次.7.拋擲一枚骰子，記事件A為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)”，事件D為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是2或4”，則上述事件是互斥事件但不是對立事件的兩個(gè)事件是________.A與D解析A與D互斥但不對立.8.某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對事件中是互斥事件的有______(填序號). ①恰有一名男生和全是男生； ②