“十層相似”———相似十大技巧線段比的認(rèn)識(shí)2類型一：線段比與面積比1．如圖，△ABC中，D、E兩點(diǎn)分別在BC、AD上，且AD為∠BAC的角平分線，若∠ABE＝∠C，＝．（1）求證：△AEB∽△ADC．（2）求△BDE與△ABC的面積比．2．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，DE∥AC，若S△DOE：S△COA＝1：25，則S△BDE：S△CDE＝．類型二：“三點(diǎn)一線”線段比注意：1“三點(diǎn)一線”線段比的轉(zhuǎn)換（其他線段比也可部分轉(zhuǎn)換或全部轉(zhuǎn)換）；2“三點(diǎn)一線”線段比往往涉及“A”、“X”型相似三角形及其構(gòu)造。1．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，連接CE、DE．AC與DE相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ADF∽△CEF；（2）若AD=4，AB=6，求的值．2．已知，如圖1，點(diǎn)D、E分別在AB，AC上，且=．（1）求證：DE∥BC．（2）已知，如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上任意一點(diǎn)，連結(jié)BD，取BD中點(diǎn)E，連結(jié)CE并延長(zhǎng)CE交邊AB于點(diǎn)F，求證：=．（3）在（2）的條件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．3．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC邊上的中線，點(diǎn)D在射線BC上．猜想：如圖①，點(diǎn)D在BC邊上，BD：BC=2：3，AD與BE相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AF∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的值為．探究：如圖②，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，AD與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，CD：BC=1：2，求的值．應(yīng)用：在探究的條件下，若CD=2，AC=6，則BP=．類型三：特殊比值注意：所求線段比值為特殊比值時(shí)，往往題中沒有（明顯的）比值出現(xiàn)，題中會(huì)出現(xiàn)一些全等，中點(diǎn)，特殊角等暗示。1．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，點(diǎn)D是腰AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過C作CE垂直于BD的延長(zhǎng)線，垂足為E．（1）若BD是AC邊上的中線，如圖1，求的值；（2）若BD是∠ABC的角平分線，如圖2，求的值．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到在Rt△BDE，連接CD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F．（1）求證：∠CBD＝2∠EDF；（2）若CD＝EF，求的值．3．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，點(diǎn)D在AB邊上，∠EDF＝60°．（1）當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí)，且∠EDF的兩邊分別交線段AC、BC于點(diǎn)E、F，連接CD，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，DH⊥BC于點(diǎn)H，如圖（1），求證：DE＝DF；（2）過C作BC的垂線交AB恰好為D，若∠EDF的兩邊分別交線段AC、BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖（2），求的值．4．如圖1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)AB到G，使BG＝AB．AH⊥BC，垂足為D，且AH＝GH，點(diǎn)F在線段AG上（不與點(diǎn)A，G重合），點(diǎn)K在射線AC上（不與點(diǎn)A，C重合），滿足GF＝AK，連接FK，與BC交于點(diǎn)E，連接EH．（1）如圖1，猜想線段EF與EH的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明；（2）如果∠BAC＝120°，AB＝3BF，求的值，請(qǐng)直接寫出結(jié)果．5．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E是OC上任意一點(diǎn)，AG⊥BE于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)F．（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，求的值．6．如圖1，在△ABC中，BM是中線，AH是高，HD⊥BM于D，BH＝CM．（1）求證：D為BM的中點(diǎn)；（2）如圖2，連接AD并延長(zhǎng)交BC于E，若AB＝BM，EA＝EC．①求證：△BDE∽△ABE；②求的值．7．在正方形ABCD中，P為AB邊上一點(diǎn)，將△BCP沿CP折疊，得到△FCP．（1）如圖1，延長(zhǎng)PF交AD于E，求證：EF＝ED；（2）如圖2，DF，CP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，求的值．8．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），連接PD，將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE，DF．（1）求∠PBE的度數(shù)；（2）若△PFD∽△BFP，求的值．類型四：黃金分割比1．已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，∠ABC的平分線BE分別交CD，AC于點(diǎn)F，E．（1）求證：△CBF∽△ABE；（2）若