第三章教育統(tǒng)計基礎/學習評價第一節(jié)學習評價教育統(tǒng)計？教育統(tǒng)計在教育科研中有哪些作用？定義:教育統(tǒng)計學是把數(shù)理統(tǒng)計學的一般原理和方法應用于教育研究的一門應用學科，是教育科學研究的科學工具。作用：（一)探明教育現(xiàn)象的性質(zhì)在教育工作中，要從數(shù)量中探明教育現(xiàn)象的性質(zhì)，就必須對數(shù)量進行統(tǒng)計整理，計算出平均數(shù)、標準差等統(tǒng)計量，并用這些統(tǒng)計量說明教育現(xiàn)象的性質(zhì)。（二）探索教育現(xiàn)象間的關系各種教育現(xiàn)象之間都有相互聯(lián)系、相互制約的關系。如學生的數(shù)學成績與物理成績之間，人的身高與體重之間等等。教育統(tǒng)計學中的相關分析，能夠幫助我們從各種教育現(xiàn)象的數(shù)量方面去探索兩種或幾種現(xiàn)象間存在著什么關系，關系的密切程度.（三）由局部推斷總體在教育調(diào)查和實驗中，我們不可能把所研究的教育現(xiàn)象中的每一個體都加以研究。只能從總體中抽取一部分個體組成樣本作為研究對象。通過對樣本的特征的考察分析，去推斷和預測樣本所來自的總體的特征情況，這就需要根據(jù)抽樣理論來抽取樣本。同時也存在怎樣由局部估計和推斷全局，估計和推測的把握性有多大的問題,這就需要教育統(tǒng)計學中的統(tǒng)計估計和分析的方法，由此得出正確的結論。（四）比較兩種教育現(xiàn)象的差異在各種教育現(xiàn)象之間往往存在差異，如兩個平均數(shù)之間的差異，兩個百分比之間的差異，兩個相關系數(shù)之間的差異等。這些數(shù)量上的差異是否有意義、有價值，不能只靠直觀辨別，必須通過統(tǒng)計分析中的Z檢驗、t檢驗等統(tǒng)計檢驗才能查明。（五）分析和辨明影響教育現(xiàn)象變化的因素一種教育現(xiàn)象的變化，常常受多種因素的影響，這些因素中，哪一個或哪幾個因素的作用真正在起作用,是無法由觀察直接辨認的。想要從諸多因素中找出作用較大的因素，就必須用教育統(tǒng)計學中的方差分析、F檢驗、因素分析等方法來進行統(tǒng)計分析。比如,學生的學業(yè)成績的好壞與教師、教材、教法、學法、家庭環(huán)境和社會環(huán)境等因素有關.第二節(jié)學習評價數(shù)據(jù)的定義及特點定義:是指帶有單位的數(shù)，它是通過對具體事物進行計數(shù)或者測量所得到的描述事物特征的數(shù)量依據(jù)。特點：具有變異性，離散性和規(guī)律性三方面特點。數(shù)據(jù)的變異性是指對客觀事物觀察或測量所得到的一組數(shù)據(jù)，其數(shù)值大小總是在一定的范圍內(nèi)不斷變化，表現(xiàn)出不同程度上的差異，倘若觀測的結果都是某一固定的常數(shù),觀測的本身也就失去了意義.數(shù)據(jù)的離散性指的是數(shù)據(jù)通常以一個個分散的、有一定間隔的數(shù)字形式出現(xiàn)。事實上，無論是連續(xù)變量還是非連續(xù)性變量，由于事物在屬性上表現(xiàn)的數(shù)量差異性以及觀測結果取值精確度等因素的影響，觀測所得數(shù)據(jù)總是或大或小地表現(xiàn)出離散性。數(shù)據(jù)的規(guī)律性是指在一定的范圍內(nèi)，其數(shù)值呈現(xiàn)出差異的同時又存在著一定的規(guī)律性，即數(shù)據(jù)的分布具有規(guī)律性。正是由于數(shù)據(jù)在變化中具有這種規(guī)律性，才為我們探索事物的規(guī)律提供了可能.按照數(shù)據(jù)的來源劃分，數(shù)據(jù)的種類有哪些？可以將其分為觀測數(shù)據(jù)（observationaldata）和實驗數(shù)據(jù)（experimentaldata).觀測數(shù)據(jù)是通過調(diào)查或觀測而收集到的數(shù)據(jù)，它是在沒有對事物進行人為控制的條件下得到的，有關社會經(jīng)濟現(xiàn)象的統(tǒng)計數(shù)據(jù)幾乎都是觀測數(shù)據(jù)。在實驗中控制實驗對象而收集到的數(shù)據(jù)則稱為實驗數(shù)據(jù)。3。試判斷這些數(shù)據(jù)分別屬于哪種類型的數(shù)據(jù)，并說明理由。⑴。人的血型則可分為A型、B型、O型等名稱變量數(shù)據(jù)只說明某一事物與其他事物在名稱、類別或?qū)傩陨系牟煌?，并不說明事物與事物之間差異的大小、順序的先后及質(zhì)的優(yōu)劣。如：人的血型則可分為A型、B型、O型等。⑵.態(tài)度等級可劃分為“贊成、傾向贊成、中立、傾向反對、反對”這五個等級順序變量數(shù)據(jù)是指可以就事物的某一屬性的多少或大小按次序?qū)⒏魇挛锛右耘帕械淖兞浚哂械燃壭院痛涡蛐缘奶攸c。例如，對學生的閱讀能力可劃分為好、中、差三個等級；態(tài)度等級可劃分為“贊成、傾向贊成、中立、傾向反對、反對”這五個等級。⑶.星期一為20℃，星期二為22℃,星期三為24℃，等距變量數(shù)據(jù)除能表明量的相對大小外，還具有相等的單位.例如，星期一為20℃，星期二為22℃，星期三為24℃，則我們可以知道星期三氣溫高于星期二,星期二氣溫又高于星期一;而且還可以實質(zhì)地說明相鄰兩天氣溫之差是相等的。⑷。一位學生在20歲時身高160厘米，而他2歲時身高是80厘米。比率變量除了具有量的大小、相等單位外，還有絕對零點，可以進行加、減、乘、除運算.例如，對學生身高、體重的測量數(shù)據(jù)等,均可以看成是比率變量數(shù)據(jù)。按照數(shù)據(jù)所反映的變量的性質(zhì)，數(shù)據(jù)的種類有哪些？（與第五題相似）從數(shù)據(jù)所反映的變量的性質(zhì)來分，可分為名稱變量數(shù)據(jù)、順序變量數(shù)據(jù)、等距變量數(shù)據(jù)和比率變量數(shù)據(jù)。按照數(shù)據(jù)分布的形式,數(shù)據(jù)的種類有哪些？從數(shù)據(jù)分布的形式上分，可分為離散變量和連續(xù)變量。第三節(jié)學習評價簡述標準差,方差的定義及計算公式一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與該組平均數(shù)之差平方之和，再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，用σ2x表示，稱為方差,其計算公式為：（式3-3）標準差是方差的平方根:

(式3-4）概率的定義及基本性質(zhì)是什么？定義：一個試驗可以在相同的條件下反復進行，而且每次試驗的結果可以不同，那么這種試驗叫隨機試驗，這種隨機事件在多次重復中呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，概率論就是研究這種規(guī)律。概率的基本性質(zhì)：（1）、任意隨機事件A的概率取值范圍都在0與1之間，即：0≤P（A）≤1.(2）、必然事件(一定條件下必然發(fā)生的事件記作Ω)的概率為1，即P(Ω）=1。（3）、不可能事件(一定條件下必然不發(fā)生的事件記作?）的概率為0，即P（？）=0。3。簡述顯著性檢驗的步驟顯著性檢驗的一般步驟或格式，如下：(1）、提出假設H0:______H1:______同時，與備擇假設相應,指出所作檢驗為雙尾檢驗還是左單尾或右單尾檢驗。（2）、構造檢驗統(tǒng)計量，收集樣本數(shù)據(jù),計算檢驗統(tǒng)計量的樣本觀察值。（3）、根據(jù)所提出的顯著水平,確定臨界值和拒絕域。(4）、作出檢驗決策。把檢驗統(tǒng)計量的樣本觀察值和臨界值比較，或者把觀察到的顯著水平與顯著水平標準比較；最后按檢驗規(guī)則作出檢驗決策.當樣本值落入拒絕域時，表述成：“拒絕原假設”，“顯著表明真實的差異存在”;當樣本值落入接受域時，表述成:“沒有充足的理由拒絕原假設”，“沒有充足的理由表明真實的差異存在”。另外，在表述結論之后應當注明所用的顯著水平。正態(tài)曲線有哪些特征？首先,正態(tài)曲線是對稱曲線，對稱曲線是X＝μ，沿X＝μ將曲線折疊,左右兩邊完全重合,當X＝μ時,Y有最大值。因此，這條曲線從中央最高點逐漸向兩側(cè)降低,但曲線永遠不與X軸相交，即曲線以X軸為其漸近線。再者,正態(tài)曲線可以有不同的形態(tài)和位置，如果幾個正態(tài)分布有相同的標準差，不同的均值,曲線在X軸上所處的位置不同，形狀相同.如果幾個正態(tài)分布有相同的均值，不同的標準差，曲線在X軸上的位置相同，曲線的形狀不同，當標準差較大時,曲線平緩，當標準差較小時，曲線陡峭。均值為零,標準差為一的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布。第四節(jié)學習評價1.簡述顯著性檢驗的步驟顯著性檢驗的一般步驟或格式，如下:（1）、提出假設H0：______H1：______同時，與備擇假設相應,指出所作檢驗為雙尾檢驗還是左單尾或右單尾檢驗。（2）、構造檢驗統(tǒng)計量,收集樣本數(shù)據(jù),計算檢驗統(tǒng)計量的樣本觀察值。（3）、根據(jù)所提出的顯著水平，確定臨界值和拒絕域。（4）、作出檢驗決策。把檢驗統(tǒng)計量的樣本觀察值和臨界值比較,或者把觀察到的顯著水平與顯著水平標準比較；最后按檢驗規(guī)則作出檢驗決策.當樣本值落入拒絕域時，表述成：“拒絕原假設”，“顯著表明真實的差異存在";當樣本值落入接受域時，表述成:“沒有充足的理由拒絕原假設"，“沒有充足的理由表明真實的差異存在”。另外，在表述結論之后應當注明所用的顯著水平。2.試回答單總體平均數(shù)差異顯著性檢驗的檢驗方法有哪些，并說明各自使用范圍。單總體平均數(shù)差異顯著性檢驗依據(jù)總體分布、總體參數(shù)情況和樣本容量的不同，需要采取不同的檢驗方法.具體有如下三種情況.(一）總體分布未知，總體方差已知由抽樣分布的討論可知．當總體分布為正態(tài)，總體方差已知時．無論樣本容量的大小，其樣本平均數(shù)的分布均為正態(tài)分布,因此可用z檢驗方法進行檢驗。在檢驗中,計算統(tǒng)計量值的公式為:（式3—9）上式中,為樣本平均數(shù),為總體平均數(shù)；為樣本平均數(shù)的標準誤差。

（二）總體分布為正態(tài)，總體方差未知由對抽樣分布的討論可知，當總體分布服從正態(tài)分布，總體方差未知時,樣本平均數(shù)的抽樣分布服從自由度為n-1的t分布，此時可用t檢驗方法進行檢驗。在檢驗中，計算統(tǒng)計量值的公式為:（三）總體為非正態(tài)分布如前所述t進行平均數(shù)差異顯著性檢驗的前提條件之一就是總體應服從正態(tài)分布，若總體為非正態(tài)分布，因其樣本平均數(shù)的抽樣分布既不服從正態(tài)分布,也不服從t分布．因而原則上無法檢驗。但是根據(jù)中心極限定理知道,從平均數(shù),標準差的總體（無論正態(tài)與否)中隨機抽樣，樣本平均數(shù)的分布將隨著樣本容量的增大而趨于正態(tài)分布。因此對于大樣本(一般認為n~30)，即使其總體為非正態(tài)分布．在平均數(shù)差異顯著性檢驗中，也可近似地采用Z檢驗方法進行檢驗.在總體為非正態(tài)分布時，在計算統(tǒng)計量值時也有兩種情況：當總體方差已知時，統(tǒng)計量z′（因是近似Z檢驗．故用z′)可直接用公式求出。當總體方差未知時，上式中可用,它的無偏估計量代替，公式為:（式3-11）注意：這種采用近似z檢驗的方法只能適用n≥30時的情況，當n<30時不適用這種方法，也不能用t檢驗方法，只能采用非參數(shù)檢驗方法進行檢驗.3.試回答雙總體平均數(shù)差異顯著性檢驗的檢驗方法有哪些，并說明各自使用范圍。雙總體平均數(shù)差異顯著性檢驗是根據(jù)兩樣本平均數(shù)的差異來推斷它們各自所代表的總體之間的差異情況。其具體檢驗過程可以分為以下幾種情況。(一）兩總體分布為正態(tài),兩總體方差都已知由抽樣分布的討論知道，從兩個正態(tài)總體中抽出的兩個樣本,當兩總體方差已知時，兩樣本平均數(shù)之差也服從正態(tài)分布，故可用z檢驗方法進行檢驗。但由于涉及兩個樣本，兩個樣本的關系對計算標準誤差和統(tǒng)計量有很大的影響。因此應分別討論。1．兩樣本相互獨立當兩樣本相互獨立時,取r=0,公式就可以寫為：(式3-13)若兩樣本容量不等，標準誤公式還可以寫為（式3-14)則檢驗統(tǒng)計量公式為：（式3-15)2。兩樣本相關當兩樣本相關時，我們可以直接引用公式來計算兩樣本之差的標準誤，但應注意的是此時的相關,是指兩樣本之間必須存在一一對應的關系。（式3-15）4.簡述z檢驗和t檢驗的應用范圍(一）總體為非正態(tài)分布當兩總體中有任一總體為非正態(tài)分布時，兩樣本平均數(shù)之差的分布既不服從正態(tài)分布，也不服從t分布,因此在原則上是無法檢驗的。但是．正如單總體平均數(shù)差異顯著性檢驗一樣，雙總體平均數(shù)差異顯著性檢驗同樣可以根據(jù)中心極限定理推論出兩樣本平均數(shù)之差的分布在樣本容量大于30(或50）的情況下近似地服從正態(tài)分布，因此也可以近似地進行z檢驗。同時根據(jù)兩樣本的關系也可以分為兩種情況分別討論。1.獨立樣本根據(jù)總體方差已知與未知情況,可以有兩種計算檢驗統(tǒng)計量的方法。當總體方差已知時，可得該檢驗統(tǒng)計量z′為(式3-24）當總體方差未知時，可得該檢驗統(tǒng)計量z′為：（式3-25）2。相關樣本根據(jù)總體方差已知與未知情況，也有兩種計算檢驗統(tǒng)計量的方法.當總體方差已知時:（式3-26）

當總體方差未知時，可得（式3-27）第五節(jié)學習評價1.簡述顯著性檢驗的步驟方差差異顯著性檢驗的步驟與平均數(shù)差異顯著性檢驗類似，也遵循①建立假設②計算檢驗統(tǒng)計量③根據(jù)不同的抽樣分布查相應的理論分布值④判斷結果，這樣四個步驟。只是在方差的差異顯著性檢驗中，形成的分布較平均數(shù)差異顯著性檢驗要復雜，在不同的條件下。形成的分布不同，可以根據(jù)所形成的不同的分布形式，進行相應的檢驗.2.試回答單總體平均數(shù)差異顯著性檢驗的檢驗方法有哪些，并說明各自使用范圍。單總體方差的差異檢驗也稱為樣本方差與總體方差的差異顯著性檢驗.由對抽樣分布的討論知，從正態(tài)分布的總體中隨機抽取容量為n的樣本，其樣本方差與總體方差比值的分布為χ2分布，這是χ2分布的一個重要特征,在檢驗樣本方差與總體方差的差異情況時．可用公式計算出統(tǒng)計量χ2值，然后根據(jù)確定的顯著性水平α和自由度df=n—1分別從χ2值表中查理論χ2值和，若χ2＞或χ2

＜時,則P〈α，樣本方差與總體方差異顯著;若＞χ2＞，則P〉α．樣本方差與總體方差差異不顯著.其具體情況見圖圖3—14

χ2

分布示意圖若χ2值落在上圖陰影區(qū)內(nèi),則表明小概率事件發(fā)生，即樣本方差與總體方差差異顯著，若落在兩陰影區(qū)中間，則差異不顯著.3。試回答雙總體平均數(shù)差異顯著性檢驗的檢驗方法有哪些，并說明各自使用范圍.兩樣本方差的差異顯著性檢驗的目的是想了解樣本抽自的兩個總體的方差的一致情況，或兩個總體方差是否相等，因此也被稱做方差的齊性檢驗。根據(jù)兩樣本之間的關系．它又分為兩種情況:(一）獨立樣本設有兩個總體x和y，X～N（μ1，

）,y～N(μ1，

)?且x和y相互獨立．從x和y兩總體中抽取樣本容量分別為n1，n2的兩個樣本,計算其方差分別為和，假設,那么，當兩樣本的總體方差未知，則可用總體方差的無偏估計量和來代替和。由抽樣分布的討論知道，從兩個正態(tài)總體中隨機抽取兩個獨立樣本，并以兩樣本的方差作為總體方差的估計量，這兩個估計量的比值記做F.即(式3-28）F統(tǒng)計量的抽樣分布服從第一自由度為n1—1,第二自由度為n2-1的F分布。因此在方差的差異顯著性檢驗時，應采用F檢驗.檢驗時，先假設H0：，計算出F統(tǒng)計量后,根據(jù)顯著性然后根據(jù)確定的顯著性水平α和自由度df1=n1－1，df2=n2－1，查出和的理論F值，若F＞或F＜時，則P<α，樣本方差與總體方差異顯著；若＞F＞，則P〉α。說明兩方差差異顯著，拒絕H0。如圖所示圖3—15

F分布示意圖若F值落在上圖陰影區(qū)內(nèi)，則表明小概率事件發(fā)生，即樣本方差與總體方差差異顯著，若落在兩陰影區(qū)中間，則差異不顯著。根據(jù)對F分布的研究，我們知道，F(xiàn)分布呈正偏態(tài)分布,不是左右對稱，因而和不是數(shù)值相等、符號相反的兩個數(shù)值,但它們也有