函數(shù)、極限、連續(xù)（一）函數(shù)分段函數(shù)討論y=f（x）在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題時(shí)，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)，需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理。Eg：f(x)=|x|;和符號(hào)函數(shù)f(x)=sgnx;兩個(gè)都是分段函數(shù)。隱函數(shù)由方程F（x，y）=0確定y=y（x）稱(chēng)為隱函數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)，（不一定一個(gè)單值函數(shù)），有的不可以化。反函數(shù)只討論單值函數(shù)。區(qū)分基本初等函數(shù)和初等函數(shù)基本初等函數(shù)：常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；他們的概念、性質(zhì)、圖像意義深遠(yuǎn)，如利用圖像求極限初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)。Eg：分段函數(shù)不是初等函數(shù)。5、復(fù)合函數(shù)6、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù)(1)用極限表示的函數(shù)<1><2>(2)用變上、下限積分表示的函數(shù)<1><2>7、函數(shù)的幾種性質(zhì)有界性；（2）奇偶性；單調(diào)性：區(qū)分（嚴(yán)格）單調(diào)增加（），單調(diào)不減（…）；單調(diào)減少，單調(diào)不增。周期性;，一般把最小正周期稱(chēng)為周期。例題：1、函數(shù)的定義域（1）求的定義域定義域?yàn)椋?）設(shè)f（x）的定義域?yàn)閇-a，a]（a>0）,求f()的定義域。（重點(diǎn)是掌握這種方法及解題速度）2、函數(shù)的值域（1）有時(shí)直接不好求時(shí)，運(yùn)用反函數(shù)的定義域即是原函數(shù)的值域?。?）分段函數(shù)求值域和反函數(shù)時(shí)，要一段一段地考慮去求。3.求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式（第一、二種較多，第三種較少）（1）已知f（x）和g（x），求(2)已知g(x)和f[g(x)]，求f（x）---------------------------------------換元法（設(shè)中間變量t）(3)（4）有關(guān)復(fù)合函數(shù)方程---------------------------------換元法的靈活應(yīng)用4、有關(guān)四種性質(zhì)為奇函數(shù)（2）求定積分時(shí)，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用：（二）極限1、性質(zhì)：(1)唯一性：設(shè)lim(2)不等式性質(zhì)：(如1/n的極限)局部有界性：運(yùn)算法則：2、無(wú)窮小與大數(shù)列的極限，時(shí),為無(wú)窮??；函數(shù)的極限，只有當(dāng)自變量取某種極限狀態(tài)時(shí)，函數(shù)的極限等于0，它稱(chēng)為無(wú)窮小。（2）（3）無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系（4）無(wú)窮小與極限的關(guān)系：（5）兩個(gè)無(wú)窮小的比較：（6）常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮?。海?）無(wú)窮小的重要性質(zhì)：有界變量乘無(wú)窮小仍是無(wú)窮小。3、求極限的方法（1）利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則（見(jiàn)上面）（2）兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1、單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在<1><2>準(zhǔn)則2、（夾逼準(zhǔn)則）(3)兩個(gè)重要極限用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換(見(jiàn)上面)用泰勒公式（比等價(jià)無(wú)窮小更深刻）洛必達(dá)法則法則1、（型）設(shè)法則2、（型）設(shè)利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式：利用定積分定義求極限基本公式：函數(shù)連續(xù)的前提下其他綜合方法求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法例題：1、通過(guò)各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限提取相同因子，變成相似的分子與分母，再求。等差數(shù)列：等比數(shù)列：提取公因子，利用等比數(shù)列公式，然后利用因式分解，求極限Eg1：Eg2：分子、分母同除以一個(gè)公因子的n次方，主要利用當(dāng)。裂項(xiàng)法之后，再求和，得極限(5)利用平方差公式、立方差公式構(gòu)造后等價(jià)無(wú)窮小代換，洛必達(dá)法則2、用兩個(gè)重要公式(1)三角函數(shù)的倍角公式：<2>(2)“湊”公式的形式<1>分子、分母分別求指數(shù)，再求極限<2>換元湊：3、用夾逼準(zhǔn)則求極限4、用洛必達(dá)法則求極限：針對(duì)函數(shù)求為連續(xù)變量型。（1）“”型和“”型：（數(shù)列型不能直接應(yīng)用）離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故考慮收斂的極限（離散型）不能直接應(yīng)用，而用一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)求。有時(shí)直接求導(dǎo)麻煩，先用一個(gè)變量替換（注意自變量范圍的變化），再應(yīng)用。（2）“”型和“”型《1》“”型:先用通分后化簡(jiǎn)為“”型，再應(yīng)用?！?》“”型：把其中一項(xiàng)放在分母的位置，變成“”型，再應(yīng)用。（3）“”型，“”型和“”型5、用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換注：等價(jià)無(wú)窮小代換只能用在乘和除的因子里，不能用在和、差中。6、求分段函數(shù)的極限7、求極限的反問(wèn)題??????Eg1Eg2（三）連續(xù)1、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)設(shè)函數(shù)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果并且有，如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則在點(diǎn)處可以交換極限號(hào)和函數(shù)號(hào)的順序。2、函數(shù)的間斷點(diǎn)（三種情形）及分類(lèi)第一類(lèi)：函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左、右極限都存在，分為可去（左、右極限相等）、跳躍（不等）第二類(lèi)：除第一類(lèi)以外的其他間斷點(diǎn)，左、右極限至少有一個(gè)不存在，常見(jiàn)為無(wú)窮、振蕩3、初等函數(shù)的連續(xù)性（1）在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零），在區(qū)間I仍是連續(xù)的。（2）由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。（3）在區(qū)間I連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對(duì)應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。（4）初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的（就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間）。注：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。4、閉區(qū)間[]上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)有界定理：如果函數(shù)（2）最大值和最小值定理：如果函數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M和最小值。（3）例題：1、討論函數(shù)的連續(xù)性主要討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，需根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。（即按左、右兩側(cè)分別去討論）2、已知函數(shù)的連續(xù)性求未知參數(shù)根據(jù)極限值=函數(shù)值進(jìn)行求解。3、求函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定其類(lèi)型確定類(lèi)型時(shí)，主要看間斷點(diǎn)兩側(cè)的極限怎么樣；有時(shí)直接求該點(diǎn)的極限。Eg2：4、求連續(xù)函數(shù)的極限-----分兩種情形：（1）eg：(2)Eg：5、利用介值定理的推論（零點(diǎn)定理）判斷方程的根補(bǔ)充：1、奇偶函數(shù)的七個(gè)性質(zhì)兩個(gè)奇函