知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)與學(xué)科素養(yǎng)提升一、圓周運(yùn)動及其研究方法1.描述圓周運(yùn)動的幾個物理量之間的關(guān)系(1)v＝eq\f(2πr,T)＝rω，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(v,r)，T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(1,n)。(2)Fn＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mvω＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，an＝eq\f(v2,r)＝rω2＝vω＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r。注意：(1)上面各式有些僅適用于勻速圓周運(yùn)動，有些適用于任何圓周運(yùn)動。(2)要注意各個物理量之間的瞬時對應(yīng)關(guān)系。2.分析圓周運(yùn)動問題的關(guān)鍵及步驟分析清楚向心力的來源是解決圓周運(yùn)動問題的關(guān)鍵，分析向心力來源的步驟是：(1)首先確定勻速圓周運(yùn)動的圓周軌道所在的平面，其次找出軌道圓心的位置，然后分析做圓周運(yùn)動物體所受的力，并作出受力示意圖，最后找出這些力指向圓心方向的合外力就是向心力，如火車轉(zhuǎn)彎、圓錐擺等問題。(2)如果物體做變速圓周運(yùn)動，它所受的合外力一般不是向心力，一般不指向圓心，但沿著半徑方向的合力提供向心力，只有在某些特殊位置，合力才可能是向心力，如小球用繩拴著在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。注意：當(dāng)分析向心力來源時采用正交分解法，坐標(biāo)原點(diǎn)就是做圓周運(yùn)動的物體，一定有一個坐標(biāo)軸的正方向沿著半徑指向圓心。[例1]有一種雜技表演叫“飛車走壁”，由雜技演員駕駛摩托車沿光滑圓臺形表演臺的側(cè)壁高速行駛，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動。圖中粗線圓表示摩托車的行駛軌跡，軌跡離地面的高度為h。如果增大高度h，則下列關(guān)于摩托車的說法正確的是()A.對側(cè)壁的壓力FN增大B.做圓周運(yùn)動的周期T不變C.做圓周運(yùn)動的向心力Fn增大D.做圓周運(yùn)動的線速度增大解析摩托車做勻速圓周運(yùn)動，提供圓周運(yùn)動向心力的是重力mg和支持力FN′的合力，如圖所示。設(shè)表演臺側(cè)壁與豎直方向的夾角為α，側(cè)壁對摩托車的支持力FN′＝eq\f(mg,sinα)不變，即摩托車對側(cè)壁的壓力不變，選項(xiàng)A錯誤；向心力Fn＝eq\f(mg,tanα)，m、α不變，向心力大小不變，選項(xiàng)C錯誤；根據(jù)牛頓第二定律得Fn＝meq\f(4π2,T2)r，h越高，r越大，F(xiàn)n不變，則T越大，選項(xiàng)B錯誤；根據(jù)勻速圓周運(yùn)動向心力公式得Fn＝meq\f(v2,r)，h越高，r越大，F(xiàn)n不變，則v越大，選項(xiàng)D正確。答案D[針對訓(xùn)練1]如圖，當(dāng)汽車通過拱形橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時，車對橋頂?shù)膲毫檐囍氐膃q\f(3,4)，如果要使汽車在橋面行駛至橋頂時，對橋面的壓力為零，則汽車通過橋頂?shù)乃俣葢?yīng)為()A.15m/s B.20m/sC.25m/s D.30m/s解析當(dāng)汽車通過拱形橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時，根據(jù)牛頓第二定律mg－FN＝meq\f(v2,R)，其中FN＝eq\f(3mg,4)；要使汽車在橋面行駛至橋頂時，對橋面的壓力為零，則mg＝meq\f(v′2,R)，聯(lián)立解得v′＝20m/s，選項(xiàng)B正確。答案B二、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題1.不滑動質(zhì)量為m的物體在水平面上做圓周運(yùn)動或隨圓盤一起轉(zhuǎn)動(如圖所示)時，靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值Ffm時，物體運(yùn)動的速度也達(dá)到最大，即Ffm＝meq\f(veq\o\al(2,m),r)，解得vm＝eq\r(\f(Ffmr,m))。2.與支持面或桿的彈力有關(guān)的臨界問題此問題要分析出恰好無支持力這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)等。3.繩子被拉斷質(zhì)量為m的物體被長為l的輕繩拴著(如圖所示)，且繞繩的另一端O在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)繩子的拉力達(dá)到最大值Fm時，物體的速度最大，即Fm＝meq\f(veq\o\al(2,m),l)，解得vm＝eq\r(\f(Fml,m))。這就是物體在半徑為l的圓周上運(yùn)動的臨界速度。[例2]如圖所示，用一根長為l＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω時，細(xì)線的張力為FT。求：eq\a\vs4\al(合力的方向？)(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，結(jié)果可用根式表示)(1)若要小球剛好離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？條件是什么？(2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？小球離開錐面了嗎？解析(1)若要小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細(xì)線的拉力，受力分析如圖所示。小球做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)lsinθ，解得ωeq\o\al(2,0)＝eq\f(g,lcosθ)，即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s。(2)當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時，由牛頓第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα，解得ω′2＝eq\f(g,lcosα)，即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝2eq\r(5)rad/s。答案(1)eq\f(5\r(2),2)rad/s(2)2eq\r(5)rad/s方法總結(jié)(1)確定臨界條件：判斷題述的過程存在臨界狀態(tài)之后，要通過分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并以數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來。(2)選擇物理規(guī)律：當(dāng)確定了物體運(yùn)動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，對于不同的運(yùn)動過程或現(xiàn)象，要分別選擇相對應(yīng)的物理規(guī)律，然后再列方程求解。[針對訓(xùn)練2]如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有一質(zhì)量為m的物體(可視為質(zhì)點(diǎn))，連接物體和轉(zhuǎn)軸上的繩子長為r，物體與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是其壓力的μ倍，g為重力加速度，轉(zhuǎn)盤的角速度由零逐漸增大，求：(1)繩子對物體的拉力為零時的最大角速度；(2)當(dāng)角速度為eq\r(\f(3μg,2r))時，繩子對物體拉力的大小。解析(1)當(dāng)恰由最大靜摩擦力提供向心力時，繩子拉力為零，此時轉(zhuǎn)速達(dá)到最大，如圖甲所示，設(shè)此時轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度為ω0，則μmg＝mωeq\o\al(2,0)r，得ω0＝eq\r(\f