知識網絡建構與學科素養(yǎng)提升一、圓周運動及其研究方法1.描述圓周運動的幾個物理量之間的關系(1)v＝eq\f(2πr,T)＝rω，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(v,r)，T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(1,n)。(2)Fn＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mvω＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，an＝eq\f(v2,r)＝rω2＝vω＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r。注意：(1)上面各式有些僅適用于勻速圓周運動，有些適用于任何圓周運動。(2)要注意各個物理量之間的瞬時對應關系。2.分析圓周運動問題的關鍵及步驟分析清楚向心力的來源是解決圓周運動問題的關鍵，分析向心力來源的步驟是：(1)首先確定勻速圓周運動的圓周軌道所在的平面，其次找出軌道圓心的位置，然后分析做圓周運動物體所受的力，并作出受力示意圖，最后找出這些力指向圓心方向的合外力就是向心力，如火車轉彎、圓錐擺等問題。(2)如果物體做變速圓周運動，它所受的合外力一般不是向心力，一般不指向圓心，但沿著半徑方向的合力提供向心力，只有在某些特殊位置，合力才可能是向心力，如小球用繩拴著在豎直面內做圓周運動的最高點和最低點。注意：當分析向心力來源時采用正交分解法，坐標原點就是做圓周運動的物體，一定有一個坐標軸的正方向沿著半徑指向圓心。[例1]有一種雜技表演叫“飛車走壁”，由雜技演員駕駛摩托車沿光滑圓臺形表演臺的側壁高速行駛，在水平面內做勻速圓周運動。圖中粗線圓表示摩托車的行駛軌跡，軌跡離地面的高度為h。如果增大高度h，則下列關于摩托車的說法正確的是()A.對側壁的壓力FN增大B.做圓周運動的周期T不變C.做圓周運動的向心力Fn增大D.做圓周運動的線速度增大解析摩托車做勻速圓周運動，提供圓周運動向心力的是重力mg和支持力FN′的合力，如圖所示。設表演臺側壁與豎直方向的夾角為α，側壁對摩托車的支持力FN′＝eq\f(mg,sinα)不變，即摩托車對側壁的壓力不變，選項A錯誤；向心力Fn＝eq\f(mg,tanα)，m、α不變，向心力大小不變，選項C錯誤；根據牛頓第二定律得Fn＝meq\f(4π2,T2)r，h越高，r越大，F(xiàn)n不變，則T越大，選項B錯誤；根據勻速圓周運動向心力公式得Fn＝meq\f(v2,r)，h越高，r越大，F(xiàn)n不變，則v越大，選項D正確。答案D[針對訓練1]如圖，當汽車通過拱形橋頂點的速度為10m/s時，車對橋頂?shù)膲毫檐囍氐膃q\f(3,4)，如果要使汽車在橋面行駛至橋頂時，對橋面的壓力為零，則汽車通過橋頂?shù)乃俣葢獮?)A.15m/s B.20m/sC.25m/s D.30m/s解析當汽車通過拱形橋頂點的速度為10m/s時，根據牛頓第二定律mg－FN＝meq\f(v2,R)，其中FN＝eq\f(3mg,4)；要使汽車在橋面行駛至橋頂時，對橋面的壓力為零，則mg＝meq\f(v′2,R)，聯(lián)立解得v′＝20m/s，選項B正確。答案B二、水平面內圓周運動的臨界問題1.不滑動質量為m的物體在水平面上做圓周運動或隨圓盤一起轉動(如圖所示)時，靜摩擦力提供向心力，當靜摩擦力達到最大值Ffm時，物體運動的速度也達到最大，即Ffm＝meq\f(veq\o\al(2,m),r)，解得vm＝eq\r(\f(Ffmr,m))。2.與支持面或桿的彈力有關的臨界問題此問題要分析出恰好無支持力這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)等。3.繩子被拉斷質量為m的物體被長為l的輕繩拴著(如圖所示)，且繞繩的另一端O在水平面內做勻速圓周運動，當繩子的拉力達到最大值Fm時，物體的速度最大，即Fm＝meq\f(veq\o\al(2,m),l)，解得vm＝eq\r(\f(Fml,m))。這就是物體在半徑為l的圓周上運動的臨界速度。[例2]如圖所示，用一根長為l＝1m的細線，一端系一質量為m＝1kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為FT。求：eq\a\vs4\al(合力的方向？)(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，結果可用根式表示)(1)若要小球剛好離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？條件是什么？(2)若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？小球離開錐面了嗎？解析(1)若要小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細線的拉力，受力分析如圖所示。小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運用牛頓第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)lsinθ，解得ωeq\o\al(2,0)＝eq\f(g,lcosθ)，即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s。(2)當細線與豎直方向成60°角時，由牛頓第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα，解得ω′2＝eq\f(g,lcosα)，即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝2eq\r(5)rad/s。答案(1)eq\f(5\r(2),2)rad/s(2)2eq\r(5)rad/s方法總結(1)確定臨界條件：判斷題述的過程存在臨界狀態(tài)之后，要通過分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并以數(shù)學形式表達出來。(2)選擇物理規(guī)律：當確定了物體運動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，對于不同的運動過程或現(xiàn)象，要分別選擇相對應的物理規(guī)律，然后再列方程求解。[針對訓練2]如圖所示，水平轉盤上放有一質量為m的物體(可視為質點)，連接物體和轉軸上的繩子長為r，物體與轉盤間的最大靜摩擦力是其壓力的μ倍，g為重力加速度，轉盤的角速度由零逐漸增大，求：(1)繩子對物體的拉力為零時的最大角速度；(2)當角速度為eq\r(\f(3μg,2r))時，繩子對物體拉力的大小。解析(1)當恰由最大靜摩擦力提供向心力時，繩子拉力為零，此時轉速達到最大，如圖甲所示，設此時轉盤轉動的角速度為ω0，則μmg＝mωeq\o\al(2,0)r，得ω0＝eq\r(\f