二次互反律是最經(jīng)典的證明2002年菲爾茲獎(jiǎng)和奈凡林那獎(jiǎng)得主及成就介紹

2002年，2005年和2006年，2005年3月，五經(jīng)在北京發(fā)表了2002年國際數(shù)學(xué)大會(huì)的開幕式。菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的世界最高成就獎(jiǎng),奈凡林那獎(jiǎng)則是對(duì)理論計(jì)算機(jī)科學(xué)方面成就的國際最高獎(jiǎng).二者均由國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)(IMU)主持評(píng)定.國際數(shù)學(xué)家大會(huì)每四年舉行一次,是最重要的全球數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議.而菲爾茲獎(jiǎng)和奈凡林那獎(jiǎng)的頒發(fā),則是世界數(shù)學(xué)界最翹首以待的事件.國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)主席帕力斯(JacobPalis)指出:“菲爾茲獎(jiǎng)和奈凡林那獎(jiǎng)獲得者們的成就顯示出高度的創(chuàng)造性和深刻性,他們所選擇的問題、使用的方法和獲得的結(jié)果互不相同,各有千秋,說明整個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)充滿了活力.全世界數(shù)學(xué)界都為他們的卓越貢獻(xiàn)鼓掌喝彩”.朗蘭茲綱領(lǐng)提出的嚴(yán)格意義勞倫·拉福格在朗蘭茲綱領(lǐng)研究方面取得了巨大的進(jìn)展,他證明了與函數(shù)域情形相應(yīng)的整體朗蘭茲綱領(lǐng).他的工作的特點(diǎn)是:令人驚嘆的技巧,深刻的洞察力和系統(tǒng)有力的方法.朗蘭茲綱領(lǐng)最先是由羅伯特·朗蘭茲(RobertP.Langlands)在1967年給安德雷·韋依(AndreWeil)的一封著名的信中提出的.它是一組意義深遠(yuǎn)的猜想,這些猜想精確地預(yù)言了數(shù)學(xué)中某些表面上毫不相干的領(lǐng)域之間可能存在的聯(lián)系.朗蘭茲綱領(lǐng)的影響近年來與日俱增,與它有關(guān)的每一個(gè)新的進(jìn)展都被看作是重要的成果.對(duì)朗蘭茲綱領(lǐng)最強(qiáng)有力的支持之一,是1990年代安德魯.維爾斯(AndrewWiles)證明費(fèi)馬大定理.維爾斯的證明與其他人的工作一起導(dǎo)致了谷山—志村—韋依猜想的解決.該猜想揭示了橢圓曲線與模型式之間的關(guān)系,前者是具有深刻算術(shù)性質(zhì)的幾何對(duì)象,后者是來源于截然不同的數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的高度周期性的函數(shù).朗蘭茲綱領(lǐng)則提出了數(shù)論中的伽羅瓦表示與分析中的自守型之間的一個(gè)關(guān)系網(wǎng).朗蘭茲綱領(lǐng)的根源,可以追溯到數(shù)論中最深刻的結(jié)果之一——二次互反律.二次互反律最早產(chǎn)生于17世紀(jì)費(fèi)馬的時(shí)代,1801年高斯給出了其第一個(gè)證明.數(shù)論中經(jīng)常提到的一個(gè)問題是:當(dāng)兩個(gè)素?cái)?shù)相除時(shí),余數(shù)是否是完全平方?二次互反律揭示了關(guān)于素?cái)?shù)p和q的兩個(gè)貌似無關(guān)的問題之間存在的奇妙聯(lián)系,這兩個(gè)問題是:“p除以q的余數(shù)是否為完全平方?”與“q除以p的余數(shù)是否為完全平方?”盡管關(guān)于這一定律已經(jīng)有許多證明(高斯本人就給出了六個(gè)不同的證明),二次互反律仍然是數(shù)論中最神奇的事實(shí)之一.1920年代高木貞治和埃米·阿廷又發(fā)現(xiàn)了其它的較一般的互反律.朗蘭茲綱領(lǐng)的一個(gè)最初動(dòng)機(jī),就是要對(duì)更一般情形的互反律提供完全的理解.拉福格所證明的相應(yīng)的整體朗蘭茲綱領(lǐng),對(duì)更抽象的所謂函數(shù)域而非通常的數(shù)域情形提供了這樣一種完全的理解.我們可以將函數(shù)域設(shè)想為由多項(xiàng)式的商組成的集合,對(duì)這些多項(xiàng)式商可以像有理數(shù)那樣進(jìn)行加、減、乘、除.拉福格對(duì)于任意給定的函數(shù)域建立了伽羅瓦群表示和與該域相伴的自守型之間的精確聯(lián)系.拉福格的研究是以1990年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者弗拉基米爾·德里菲爾德的工作為基礎(chǔ),后者在1970年代證明了相應(yīng)的朗蘭茲綱領(lǐng)的特殊情形.拉福格首先認(rèn)識(shí)到德里菲爾德的工作可以被推廣而為函數(shù)域情形的相應(yīng)的朗蘭茲綱領(lǐng)提供一幅完全整的圖象.在這一工作的過程中,拉福格還發(fā)現(xiàn)了一種將來可能被證明是十分重要的新的幾何構(gòu)造.所有這些發(fā)展的影響正在波及整個(gè)數(shù)學(xué).勞倫·拉福格1966年11月6日生于法國安東尼,1986年畢業(yè)于巴黎高等師范學(xué)校,1990年成為法國國家科學(xué)研究中心的助理研究員,同時(shí)參加巴黎南大學(xué)的算術(shù)與代數(shù)幾何小組的工作并于1994年獲博士學(xué)位.2000年他成為位于法國伊沃特布雷的高等科學(xué)研究院的終身數(shù)學(xué)教授.關(guān)于拉福格研究工作的參考獻(xiàn):達(dá)娜—麥肯齊:“費(fèi)馬大定理的第一個(gè)表弟”,ScienceVol.287,No.5454,pp.792-793.2002年2月4日拓?fù)鋵?duì)象的變異上同調(diào)和實(shí)際拓?fù)鋵?duì)象符拉基米爾·弗沃特斯基發(fā)展了新的代數(shù)簇上同調(diào)理論,他這方面的成果是過去幾十年間代數(shù)幾何領(lǐng)域取得的最卓越的進(jìn)展之一.他的工作的特點(diǎn)是:能簡(jiǎn)易靈活地處理高度抽象的概念,并將這些概念用于解決相當(dāng)具體的數(shù)學(xué)問題.弗沃特斯基的工作來源于1996年菲爾茲獎(jiǎng)得主亞歷克山德羅·格羅騰迪克的工作,后者是一位深刻而富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家,善于洞察在數(shù)學(xué)中起統(tǒng)一作用的抽象結(jié)果.格羅騰迪克認(rèn)為應(yīng)該有這樣一些對(duì)象,他稱之為“主對(duì)象”(motive),它們是數(shù)學(xué)中兩大分支——數(shù)論與幾何統(tǒng)一的根基.格羅騰迪克的思想在數(shù)學(xué)上影響廣泛,并激發(fā)了弗沃特斯基的工作.上同調(diào)概念最初來源于拓?fù)鋵W(xué),而拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地說成是“形狀的科學(xué)”,其中研究的形狀的例子如球面、環(huán)面以及它們的高維類似物.拓?fù)鋵W(xué)研究這些對(duì)象在連續(xù)變形(不允許撕裂)下保持不變的基本性質(zhì).通俗地說,上同調(diào)論提供了一種方法將拓?fù)鋵?duì)象分割成一些比較容易研究的片,上同調(diào)群則包含了如何將這些基本片裝配成原來對(duì)象的信息.有多種方法使這一過程精確化,其中之一稱為奇異上同調(diào).廣義的上同調(diào)論提取關(guān)于拓?fù)鋵?duì)象的性質(zhì)的信息,并將這些信息翻譯成群論語言.一種最重要的廣義上同調(diào)論——拓?fù)銴理論,主要是由另一位菲爾茲獎(jiǎng)獲得者(1966)米歇爾·阿蒂亞發(fā)展起來的.一個(gè)引人注目的結(jié)果揭示了奇異上同調(diào)與拓?fù)銴理論之間的緊密聯(lián)系.代數(shù)幾何中研究的主要對(duì)象是代數(shù)簇,它們是多項(xiàng)式方程的公共解集.代數(shù)簇可以用諸如曲線或曲面之類的幾何對(duì)象來表示,但它們比那些可變形的拓?fù)鋵?duì)象更具“剛性”.因而在拓?fù)鋵W(xué)背景下發(fā)展起來的上同調(diào)論在這里并不適用.大約四十年來數(shù)學(xué)家們一直在努力發(fā)展能夠適用于代數(shù)簇的上同調(diào)論;這方面最好的理解是K理論的代數(shù)翻版.關(guān)鍵的一步正是由弗沃特斯基邁出的,他在安德烈·蘇斯林提出的一個(gè)很少被人理解的概念基礎(chǔ)上,創(chuàng)立了一種“主上同調(diào)”(motiviccohomology)理論.與拓?fù)鋵W(xué)情況相類似,在主上同調(diào)與代數(shù)K理論之間也存在著緊密的聯(lián)系.此外,弗沃特斯基還提出了一個(gè)描述各種適用于代數(shù)簇的新的上同調(diào)理論的框架.他的工作構(gòu)成了實(shí)現(xiàn)格羅騰迪克數(shù)學(xué)統(tǒng)一觀的重大進(jìn)展.弗沃特斯基的工作的一個(gè)主要結(jié)果,也是他最值得稱道的成就之一,就是米爾諾猜想的解決,三十多年來這一猜想一直是K理論中最著名的問題.這一結(jié)果引出了包括伽羅瓦上同調(diào)、二次型和復(fù)代數(shù)簇的上同調(diào)論等一系列領(lǐng)域的重要成就.由于弗沃特斯基的工作使得在拓?fù)鋵W(xué)中發(fā)展起來的強(qiáng)有力的工具能夠應(yīng)用于代數(shù)簇研究,這些工作對(duì)數(shù)學(xué)的未來可能會(huì)產(chǎn)生巨大的影響.符拉基