§3拋物線3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能從幾何情境中認(rèn)識(shí)拋物線的幾何特征,給出拋物線的定義,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).2.能類比橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程,運(yùn)用坐標(biāo)法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,并能用它解決簡單的問題,進(jìn)一步體會(huì)建立曲線過程的方法,發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).知識(shí)梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識(shí)梳理·自主探究知識(shí)探究問題1:如圖,先將一把直尺固定在畫板上,再把一個(gè)直角三角板的一條直角邊緊靠在直尺的邊緣(記作直線l),然后取一根細(xì)繩,它的長度與另一條直角邊AB相等,細(xì)繩的一端固定在三角板頂點(diǎn)A處,另一端固定在畫板上的點(diǎn)F處.用鉛筆尖(記作點(diǎn)P)扣緊繩子,并靠住三角板,然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng),可以發(fā)現(xiàn)鉛筆尖就在畫板上描出了一段曲線,即點(diǎn)P的軌跡.你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P滿足的幾何條件嗎?它的軌跡是什么形狀?提示:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,始終有|PF|=|PB|,即點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于它到定直線l的距離,點(diǎn)P的軌跡形狀與二次函數(shù)的圖象相似.1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的

的點(diǎn)的集合(或軌跡)叫作拋物線.定點(diǎn)F叫作拋物線的

,定直線l叫作拋物線的

.思考:在拋物線的定義中,如果定直線l經(jīng)過定點(diǎn)F,則滿足到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么圖形?提示:過點(diǎn)F且與直線l垂直的直線.距離相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線問題2:比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程,你認(rèn)為如何建立平面直角坐標(biāo)系,可使所求拋物線的方程形式簡單?2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

.

.y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)

.

.x2=-2py(p>0)做一做:焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.解析:設(shè)方程為x2=2my(m≠0),由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知|m|=5,m=±5,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2=10y和x2=-10y.答案:x2=10y和x2=-10y拓展總結(jié)(1)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.(2)拋物線的開口方向取決于一次項(xiàng)變量(x或y)的系數(shù)及其符號(hào).師生互動(dòng)·合作探究探究點(diǎn)一拋物線的定義A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線解析:(1)由題意畫圖如圖所示.設(shè)切線l與圓B的一個(gè)公共點(diǎn)為M,過點(diǎn)A作直線AB的垂線m,過點(diǎn)M作MN⊥m,垂足為N,連接MB,則MB=r,MN=PA=r,所以MB=MN,即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)B的距離等于動(dòng)點(diǎn)M到定直線m的距離,且定點(diǎn)B不在定直線m上,根據(jù)拋物線的定義知,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以B為焦點(diǎn),m為準(zhǔn)線的拋物線.故選D.答案:(1)D(2)(2021·上海復(fù)旦附中高二期末)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A為拋物線C上一點(diǎn),若|AF|=3,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

.

答案:(2)2方法總結(jié)理解拋物線的定義是解決問題的關(guān)鍵,要抓住平面內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等這一重要特征,但要注意的是定點(diǎn)不在定直線上.[針對訓(xùn)練](1)在平面內(nèi),“點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直線的距離”是“點(diǎn)P的軌跡為拋物線”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:(1)若點(diǎn)P的軌跡為拋物線,則點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直線的距離,但若點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直線的距離,且該定點(diǎn)在該定直線上,則點(diǎn)P的軌跡就不是拋物線,故為必要不充分條件.故選B.答案:(1)B(2)若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F(1,1)的距離和動(dòng)點(diǎn)P到直線l:3x+y-4=0的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是

.

答案:(2)x-3y+2=0探究點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)(2022·陜西武功期中)已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為(

)A.x2=-12y B.x2=12yC.y2=12x D.y2=-12x解析:(2)設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為r,由題意可得點(diǎn)M到C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等.由拋物線的定義可知,動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0,-3)為焦點(diǎn),直線y=3為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為x2=-12y.故選A.方法總結(jié)根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為拋物線的定義,然后找到到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離,即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.[針對訓(xùn)練](1)(2021·浙江衢州高二期末)平面上動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(2,0)的距離等于M到直線l:x=-2的距離,則動(dòng)點(diǎn)M滿足的方程是(

)A.y2=4x B.y2=8xC.x2=4y D.x2=8y解析:(1)因?yàn)槠矫嫔蟿?dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)P(2,0)的距離等于點(diǎn)M到直線l:x=-2的距離,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線,且該拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線為直線l:x=-2,因此,動(dòng)點(diǎn)M滿足的方程是y2=8x.故選B.解析:(2)由題意得,直線l:x=-1,且圓C′:(x-3)2+y2=4,設(shè)點(diǎn)C到直線l的距離為r,則點(diǎn)C到l′:x=-3與點(diǎn)C到C′的距離相等,都是r+2,故點(diǎn)C的軌跡是以C′為焦點(diǎn),以l′為準(zhǔn)線的拋物線,故方程為y2=12x.故選A.角度2待定系數(shù)法求方程[例3]分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.[例3]分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)經(jīng)過點(diǎn)(-3,-1);[例3]分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)焦點(diǎn)為直線3x-4y-12=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).方法總結(jié)用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟[針對訓(xùn)練](多選題)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是y軸,且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是(

)A.x2=3y B.x2=-3yC.x2=12y D.x2=-12y探究點(diǎn)三[例4](1)(2021·天津?yàn)I海新區(qū)高二期末)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為15,到y(tǒng)軸的距離為12,則p的值為(

)A.3 B.6 C.9 D.12拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(2)已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,1)的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)方法總結(jié)(1)在拋物線方程中,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p稱為焦參數(shù),求拋物線方程只要確定p值即可.(3)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等,據(jù)此可以實(shí)現(xiàn)“距離”的轉(zhuǎn)化,常用于解決一些最值問題.[針對訓(xùn)練](1)(2022·廣西桂林期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(1,4),則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(

)解析:(1)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),代入P(1,4)得p=8,其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8.故選D.解析:(2)如圖,根據(jù)拋物線的定義可得|MN|=|MF|.因?yàn)椤螹FN=60°,故△MFN為等邊三角形,所以∠NMF=60°且|MN|=|MF|=|NF|=8.因?yàn)镸N平行于x軸,故直線MF的傾斜角為60°,故∠NFO=60°,點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為8cos60°=4,即p=4.故選B.(2)(2021·北京豐臺(tái)區(qū)高二期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)M在拋物線C上,點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上,且MN⊥l.若|MF|=8,∠MFN=60°,則p的值為(

)A.8 B.4 C.2 D.1當(dāng)堂檢測D解析:由題意,拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,所以該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.故選D.B2.(2021·江蘇江都高二期中)若拋物線y2=16x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為12,則它到y(tǒng)軸的距離是(

)A.6 B.8 C.9 D.10解析:拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F(4,0),準(zhǔn)線方程為x=-4,由點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為12,可知點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離也為12,故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是8.故選B.D答案:(-1,0