（備戰(zhàn)中考）江蘇省2012年中考數(shù)學(xué)深度復(fù)習(xí)講義（教案+中考真題+模擬試題+單元測(cè)試）全等三角形◆考點(diǎn)聚焦1．探索并掌握兩個(gè)三角形全等的特征和識(shí)別．2．了解定義、命題、逆命題和定理的含義，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論．3．完成基本作圖（等線段、等角、角的平分線、線段的垂直平分線）；會(huì)利基本作圖作三角形及過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓．◆備考兵法1．證邊角相等可轉(zhuǎn)化為證三角形全等，即“要證邊相等，轉(zhuǎn)化證全等．”全等三角形是證明線段、角的數(shù)量關(guān)系的有力工具，若它們所在的三角形不全等，可找中間量或作輔助線構(gòu)造全等三角形證明．在選用ASA或SAS時(shí)，一定要看清是否有夾角和夾邊；要結(jié)合圖形挖掘其中相等的邊和角（如公共邊、公共角和對(duì)頂角等），若題目中出現(xiàn)線段的和差問(wèn)題，往往選擇截長(zhǎng)或補(bǔ)短法．2．本節(jié)內(nèi)容的試題一改以往“由已知條件尋求結(jié)論”的模式，而是在運(yùn)動(dòng)變化中（如平移、旋轉(zhuǎn)、折疊等）尋求全等．對(duì)全等三角形的考查一般不單純證明兩個(gè)三角形全等，命題時(shí)往往把需要證明的全等三角形置于其他圖形（如特殊平行四邊形）中，或與其他圖形變換相結(jié)合，有時(shí)也還與作圖題相結(jié)合；解題時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形，尋找全等的條件．◆識(shí)記鞏固1．三角形全等的識(shí)別方法：兩個(gè)三角形中對(duì)應(yīng)相等的邊或角全等識(shí)別法一般三角形三條邊兩邊及其夾角兩角及其夾邊兩角及一角的對(duì)邊直角三角形斜邊及一條直角邊注意：要證全等必須滿足至少一組邊對(duì)應(yīng)相等．2．三角形全等的證題思路：3．全等三角形的特征：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊_______，對(duì)應(yīng)角______；圖形經(jīng)過(guò)_______，_______，_______等幾何變換后與原圖形全等．4．________________叫做命題．正確的命題稱為_______，錯(cuò)誤的命題稱為_______．5．在幾何中，限定用________和_______來(lái)畫圖，稱為尺規(guī)作圖，新課標(biāo)要求掌握四種基本作圖（畫線段、畫角、畫角平分線、畫垂直平分線）．6．全等三角形中常見(jiàn)的基本圖形：識(shí)記鞏固參考答案:1．SSSSASASAAASHL3．相等相等對(duì)稱平移旋轉(zhuǎn)4．可以判斷正確與錯(cuò)誤的語(yǔ)句真命題假命題5．直尺圓規(guī)◆典例解析例1（2011重慶江津，22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF.(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度數(shù).AABCEF第22題圖【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.例2在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出下圖，并寫下了四個(gè)等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．要求同學(xué)從這四個(gè)等式中選出兩個(gè)作為條件，推出△AED是等腰三角形．請(qǐng)你試著完成王老師提出的要求，并說(shuō)明理由．（寫出一種即可）已知： 求證：△AED是等腰三角形．證明：解析本例是一道開放性問(wèn)題，考查全等三角形的識(shí)別，填法多樣，一般先看從題中已知的四個(gè)條件中取出兩個(gè)共有六種取法，再看有幾種正確．正確的填法可以是已知：①③（或①④，或②③，或②④）（任選一個(gè)即可）．若選①③，證明如下：證明：在△ABE和△DCE中，∵∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE，即△AED是等腰三角形．點(diǎn)評(píng)幾何演繹推理論證該如何考？一直是大家所關(guān)注的．本題頗有新意，提供了一種較新的考查方式，讓學(xué)生自主構(gòu)造問(wèn)題，自行設(shè)計(jì)命題并加以論證，給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自主探究的機(jī)會(huì)，具有一定的挑戰(zhàn)性．這種考查的形式在近幾種的中考試題中頻繁出現(xiàn)，復(fù)習(xí)時(shí)值得重視．例3已知Rt△ABC中，∠C=90°．（1）根據(jù)要求作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）．①作∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D；②作線段AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，垂足為H；③連結(jié)ED．（2）在（1）的基礎(chǔ)上寫出一對(duì)全等三角形：△_____≌△______，并加以證明．解析（1）按照要求用尺規(guī)作∠BAC的平分線AD，作線段AD的垂直平分線，并連結(jié)相關(guān)線段．（2）由AD平分∠BAC，可以得到∠BAD=∠DAC．由EF垂直平分線段AD，可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，從而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共邊，從而有△AEH≌△AFH≌△DEH．以上三組中任選一組即可．點(diǎn)撥本題的最大特點(diǎn)是將基本作圖與證明結(jié)合起來(lái)，就目前的情況來(lái)看，“作圖→證明”“作圖→計(jì)算”“作圖→變換”是考查基本作圖的常見(jiàn)命題模式．作角平分線和線段的垂直平分線是新課標(biāo)中明確提出的基本作圖之一，作圖的圖形中含有很多相等的線段和角，蘊(yùn)含著全等三角形．例4在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，求證：△DEF為等腰直角三角形；（2）如圖2，若E，F(xiàn)分別是AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有BE=AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．圖1圖2解析（1）連結(jié)AD．∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=AD，∴∠B=∠DAC=45°．又BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．∴△DEF為等腰直角三角形．（2）連結(jié)AD．∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，∴AD=BD，AD⊥BC．∴∠DAC=∠ABD=45°，∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．∴△DEF仍為等腰直角三角形．例5在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（1）在圖中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到如圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E．此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量DE，DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在（2）在基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到如圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說(shuō)明理由）圖1圖2圖3解析（1）BF=CG．證明：在△ABF和△ACG中，∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴BF=CG．（2）DE+DF=CG．證明：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H（如圖2）．∵DE⊥BA于點(diǎn)E，∠G=90°，DH⊥CG．∴四邊形EDHG為矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC．∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH．∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．（3）仍然成立．點(diǎn)評(píng)本題從直接證明三角形全等，到探究新的情況下如何構(gòu)建新的全等三角形證明待定的數(shù)量關(guān)系，再到不同位置關(guān)系下的歸納猜想，三個(gè)問(wèn)題由淺入深考查學(xué)生的不同層次的數(shù)學(xué)能力．本題還可以利用面積來(lái)進(jìn)行證明，比如（2）中連結(jié)AD．全等三角形一、選擇題1.（2011安徽蕪湖，6，4分）如圖，已知中，，是高和的交點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為（）.A． B．4 C． D．【答案】B2.（2011山東威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，連接DE,DF,EF.則添加下列哪一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△BFD與△EDF全等（）．A．EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE 【答案】C3.（2011浙江衢州，1,3分）如圖，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.1B.2C.3D.4（第6題）（第6題）【答案】B4.（2011江西，7，3分）如圖下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是（）.A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC第7題圖【答案】D5.（2011江蘇宿遷,7,3分）如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（▲）A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA【答案】B6.（2011江西南昌，7，3分）如圖下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是（）.A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC第7題圖【答案】D7.（2011上海，5，4分）下列命題中，真命題是（）．(A)周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等；(B)周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等；(C)周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等；(D)周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等．【答案】D8.（2011安徽蕪湖，6,4分）如圖，已知中，，是高和的交點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為（）.A． B．4 C． D．【答案】B9.10．二、填空題1.（2011江西，16，3分）如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且∠DAB=30°。有以下四個(gè)結(jié)論：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O為BC的中點(diǎn)；④AG：DE=：4，其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（錯(cuò)填得0分，少填酌情給分）【答案】①②③2.（2011廣東湛江19,4分）如圖，點(diǎn)在同一直線上,,,（填“是”或“不是”）的對(duì)頂角，要使，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（只需寫出一個(gè)）．【答案】3.4.5.三、解答題1.（2011廣東東莞，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.求證：AE=CF.【答案】∵AD∥CB∴∠A=∠C又∵AD=CB，∠D=∠B∴△ADF≌△CBE∴AF=CE∴AF+EF=CE+EF即AE=CF2.（2011山東菏澤，15（2），6分）已知：如圖，∠ABC=∠DCB，BD、CA分別是∠ABC、∠DCB的平分線．求證：AB=DC證明：在△ABC與△DCB中（∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC）∴△ABC≌△DCB∴AB=DC3.（2011浙江省，19，8分）如圖，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上．(1)已知，BD=CE，CD=BE，求證：AB=AC；(2)分別將“BD=CE”記為①，“CD=BE”記為②，“AB=AC”記為③．添加條件①、③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1，添加條件②、③以①為結(jié)論構(gòu)成命題2．命題1是命題2的命題，命題2是命題．（選擇“真”或“假”填入空格）．【答案】(1)連結(jié)BC，∵BD=CE，CD=BE，BC=CB．∴△DBC≌△ECB（SSS）∴∠DBC=∠ECB∴AB=AC(2)逆，假；4.（2011浙江臺(tái)州，19,8分）如圖，在□ABCD中，分別延長(zhǎng)BA，DC到點(diǎn)E，使得AE=AB，CH=CD，連接EH，分別交AD，BC于點(diǎn)F,G。求證：△AEF≌△CHG.【答案】證明：∵□ABCD∴AB=CD,∠BAD=∠BCDAB∥CD∴∠EAF=∠HCG∠E=∠H∵AE=AB，CH=CD∴AE=CH∴△AEF≌△CHG.5.（2011四川重慶，19，6分）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求證：BC∥EF．【證明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．6.（2011江蘇連云港，20，6分）兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn).不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？【答案】解：全等.理由如下：∵兩三角形紙板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.7.（2011廣東汕頭，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.求證：AE=CF.【答案】∵AD∥CB∴∠A=∠C又∵AD=CB，∠D=∠B∴△ADF≌△CBE∴AF=CE∴AF+EF=CE+EF即AE=CF8.（2011重慶江津，22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF.(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度數(shù).AABCEF第22題圖【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.9.（2011福建福州，17（1），8分）如圖6,于點(diǎn),于點(diǎn),交于點(diǎn),且.求證.圖圖6【答案】(1)證明:∵,∴在和中∴≌∴10．（2011四川內(nèi)江，18，9分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC．試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．AABCDE【答案】BE=EC，BE⊥EC∵AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)∴AB=AD=CD∵∠EAD=∠EDA=45°∴∠EAB=∠EDC=135°∵EA=ED∴△EAB≌△EDC∴∠AEB=∠DEC，EB=EC∴∠BEC=∠AED=90°∴BE=EC，BE⊥EC11.（2011廣東省，13，6分）已知：如圖，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.求證：AE=CF.【答案】∵AD∥CB∴∠A=∠C又∵AD=CB，∠D=∠B∴△ADF≌△CBE∴AF=CE∴AF+EF=CE+EF即AE=CF12.（2011湖北武漢市，19，6分）（本題滿分6分）如圖，D，E，分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AB=AC，AD=AE．求證∠B=∠C．【答案】證明：在△ABE和△ACD中，AB＝AC∠A＝∠AAE＝AD∴△ABE≌△ACD∴∠B=∠C13.（2011湖南衡陽(yáng)，21，6分）如圖，在△ABC中，AD是中線，分別過(guò)點(diǎn)B、C作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BE、CF，垂足分別為點(diǎn)E、F．求證：BE=CF．【證明】∵在△ABC中，AD是中線，∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90°，在△BED與△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．14.(20011江蘇鎮(zhèn)江,22,5分)已知:如圖,在△ABC中,D為BC上的一點(diǎn),AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.求證:AB=AC【答案】證明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,∴△ADE≌△ADC,∴∠E=∠C,又∠E=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.15.（2011湖北宜昌，18，7分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)證明：∠DFA=∠FAB；(2)證明:△ABE≌△FCE.（第18題圖）【答案】證明：（1）∵AB與CD是平行四邊形ABCD的對(duì)邊，∴AB∥CD，（1分）∴∠F=∠FAB．（3分）（2）在△ABE和△FCE中，∠FAB=∠F（4分）∵∠AEB=∠FEC（5分）BE=CE（6分）∴△ABE≌△FCE．（7分）2011年中考真題選擇題1.（2011深圳市全真中考模擬一）如圖，將兩根鋼條、的中點(diǎn)O連在一起，使、可以繞著點(diǎn)0自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件，則的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△AOB△的理由是(A)邊角邊(B)角邊角(C)邊邊邊(D)角角邊答案;A二、填空題第1題DCBA1、（2011北京四中模擬8）如圖，∠ACB=∠ADB，要使△ACB第1題DCBA答案∠CAB=∠DBA或∠CBA=DAB2、（2011年北京四中模擬28）如圖，某人把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，最省事的辦法是帶編號(hào)為的碎片去．答案：③ADFCBE（第3題）圖）3．（2011年海寧市鹽官片一模）如圖，有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形塑料摸板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．則四邊形的面積是．ADFCBE（第3題）圖）答案：16三、解答題A組1、（浙江省杭州市2011年中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與B，C重合），F(xiàn)，E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CF∥BE．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它線段，不再標(biāo)注或使用其他字母），并給出證明．【根據(jù)習(xí)題改編】（1）你添加的條件是：；（2）證明：AACBDFE(第1題)圖)答案： 解：（1）(或點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn))，，中任選一個(gè)即可﹒（2）以為例進(jìn)行證明：∵CF∥BE，∴∠FCD﹦∠EBD．又∵，∠FDC﹦∠EDB，∴△BDE≌△CDF．2、（2011年北京四中三模）如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點(diǎn)，已知CE⊥BF，垂足為M，請(qǐng)找出和BE相等的線段，并證明你的結(jié)論。答案：和BE相等的線段是：AF通過(guò)證明△ABF≌△BCE得證BE=AF3、（2011年如皋市九年級(jí)期末考）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個(gè)條件是：，并給予證明．答案：答案不惟一．添加條件為AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．以添加條件AE＝AF為例證明．證明：在△AED與△AFD中，∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS）．4、（北京四中模擬）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．答案：略2、（2011杭州模擬26）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=10cm，OC=6cm。P是線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿OA方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AB上。已知A、Q兩點(diǎn)間的距離是O、P兩點(diǎn)間距離的a倍。若用（a，t）表示經(jīng)過(guò)時(shí)間t(s)時(shí)，△OCP、△PAQ、△CBQ中有兩個(gè)三角形全等。請(qǐng)寫出（a，t）的所有可能情況.答案：（0，10），（1，4），（，5）3、（北京四中模擬）如圖，已知．求證：．證明：．．又，．4、（2011年北京四中模擬26）已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，BE∥AC，BE=AD，AE分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，∠1=∠2。（1）圖中哪個(gè)三角形與△FAD全等？證明你的結(jié)論；答案：解：（1）△。證明：。ABCABCDEF5、（2011年北京四中模擬28）如圖，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．（1）求證：AB=AE；（2）連接BE，請(qǐng)指出BE與AF、BE與CD分別有怎樣的關(guān)系？（只需寫出結(jié)論，不必證明）．答案：證明：聯(lián)結(jié)AC、AD----------------------------------------------------------------1分∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且AF⊥CD，∴AC=AD---------------1分∴∠ACD=∠ADC------------------------------------------------------1分∵∠BCD＝∠EDC,∴∠ACB＝∠ADE-------------------------1分∵BC=DE，AC=AD∴△ABC≌△AED,-------------------------------------------------------1分∴AB=AE-------------------------------------------------------------------1分BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE--------------------------------------1分，1分，2分（注：寫出一個(gè)得1分，寫出兩個(gè)得2分，寫出三個(gè)得4分）6、（2011年北京四中中考模擬20）(本題8分)如圖，AB∥CD(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線CP，CP交AB于點(diǎn)E(保留作圖痕跡，不寫作法)ABCDACABCDACDB解：(1)作圖略；(2)取點(diǎn)F和畫AF正確(如圖)；添加的條件可以是：F是CE的中點(diǎn)；AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(選一個(gè)即可)7.（2011年黃岡市浠水縣中考調(diào)研試題）已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)BD.求證：(1)△BAD≌△CAE；(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明.答案：（1）AB＝AC，易證∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS）（2）BD⊥CE，證明略.8.（2011年北京四中中考全真模擬17）已知：如圖，已知：D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CN∥AB，DN交AC于，若MA=MC.求證：CD=AN.答案：證明：如圖，因?yàn)锳B∥CN，所以在和中≌是平行四邊形B組1．（2011天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？AQCDBP（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)AQCDBP答案：⑴①全等。理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)BP=3,CP=5,CQ=3∵D為AB中點(diǎn)，AB=10，∴BD=5.∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP②若Q與P的運(yùn)動(dòng)速度不等，則BP≠CQ,若△BPD與△CQP全等，則BP=CP=4CQ=5,Q的運(yùn)動(dòng)速度為5×cm/s⑵設(shè)經(jīng)過(guò)t秒兩點(diǎn)第一次相遇則（-3）t=20t=3t=80,80÷28=2×28=24,所以在AB邊上。即經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)第一次相遇，相遇點(diǎn)在AB上。2．（2011年安徽省巢湖市七中模擬）如圖，是平行四邊形的對(duì)角線上的點(diǎn)，．ABCDEF(第2題)請(qǐng)你猜想：與有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？ABCDEF(第2題)并對(duì)你的猜想加以證明．猜想：證明：答案：猜想：BE∥DFBE=DF證明：在平行四邊形ABCD中，AB=CD、AB∥CD∴∠BAC=∠DCA又∵AF=CE∴AE=CF∴△ABE≌△CDF(SAS)∴BE=DF∠AEB=∠CFD∴∠BEF=∠DFE∴BE∥DF3．（2011北京四中一模）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△ABD≌△ACD，并說(shuō)明全等的理由．你添加的條件是證明：答案：本題答案不唯一，添加的條件可以是①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中點(diǎn)），④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等．4.（2011）(本小題滿分10分)圖1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交AD于F.（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形；（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊,使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值.答案：（1）求證：①△AEF≌△BEC；∠ABC=90°，E是AB的中點(diǎn)，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC所以△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形；可得DF∥BC,FC∥DB,或DF∥BC，且DF=BC均可（2）設(shè)BC=1，則AC=,AD=AB=2設(shè)DH=x,由折疊得DH=CH=x,(2-x)+3=xX=所以Sin∠ACH=5.（2011深圳市全真中考模擬一）如圖l，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，過(guò)點(diǎn)A作AMBE，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)F．(1)求證：OE=OF；(2)如圖2，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AMBE于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形．∴BOE=AOF＝90．OB＝OA………………(1分)又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE∴MEA＝AFO………………（2分）∴Rt△BOE≌Rt△AOF………………(3分)∴OE=OF………………(4分)(2)OE＝OF成立………………(5分)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BOE=AOF＝90．OB＝OA………………(6分)又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE又∵M(jìn)BF＝OBE∴F＝E………………（7分）∴Rt△BOE≌Rt△AOF………………(8分)∴OE=OF………………(9分)6.（河南新鄉(xiāng)2011模擬）（10分）.如圖，在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)邊長(zhǎng)OC為9的矩形紙片ABCO．將紙片翻折后，點(diǎn)B恰好落在x軸上，記為B′，折痕為CE，已知tan∠OB′C＝．（1）求B′點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求折痕CE所在直線的解析式．答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，∴．………………………３分解得OB′＝12，即點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（12，0）．………４分（2）將紙片翻折后，點(diǎn)B恰好落在x軸上的B′點(diǎn)，CE為折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．由勾股定理，得CB′＝＝15．……５分設(shè)AE＝a，則EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．由勾股定理，得a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（15，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，9）． ５分設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，根據(jù)題意，得……………８分解得∴CE所在直線的解析式為y＝－x+9．……7、（2011年黃岡市浠水縣）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，AE=EC，CF∥AB．ABCDEFABCDEF答案：證明：，．…………（2分）又，，．………（5分）．…………………（6分）8.（2011年浙江省杭州市模2）（本小題滿分10分）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊?ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)?PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；答案：（1）不變。又由條件得AP=BQ，∴≌(SAS)∴∴（2）設(shè)時(shí)間為t，則AB=BQ=t，PB=4-t當(dāng)當(dāng)∴當(dāng)?shù)诿牖虻?秒時(shí)，?PBQ為直角三角形（3）不變?！嘤钟蓷l件得BP=CQ，∴≌(SAS)∴又∴單元測(cè)試一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)訓(xùn)練1．下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A．有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等2．如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E，其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)3．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連結(jié)EF．下列結(jié)論：①AED≌△AEF；②ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正確的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③4．如圖，已知AE=CF，∠A=∠C，要使△ADF≌△CBE，還需添加一個(gè)條件__________（只需寫一個(gè)）．5．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE=CF．（1）圖中有幾對(duì)全等的三角形？請(qǐng)一一列出；（2）選擇一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明．6．兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC．（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）．（2）證明：DC⊥BE．7．如圖，把一張矩形的紙ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABF≌△EDF；（2）若將折疊的圖形恢復(fù)原狀，點(diǎn)F與BC邊上的點(diǎn)M正好重合，連結(jié)DM，試判斷四邊形BMDF的形狀，并說(shuō)明理由．8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．9．如圖，延長(zhǎng)△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連結(jié)點(diǎn)D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形．求證：（1）△AEF△CDE；（2）△ABC為等邊三角形．10．如圖，AB是⊙O的弦，矩形ABCD的邊CD與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AF和BE相交于點(diǎn)G，連結(jié)AE，BF．（1）寫出圖中每一對(duì)全等的三角形（不再添加輔助線）．（2）選擇你在（1）中寫出的全等三角形中的任意一對(duì)進(jìn)行證明．二、能力提升訓(xùn)練11．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF，解答下列問(wèn)題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為_____，數(shù)量關(guān)系為_______；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D