試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2024屆江西省部分高中學(xué)校高三上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)命題，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式可得.【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以的否定為，.故選：B．2．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．13 B．16 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.3．已知是奇函數(shù)，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為．若的最小正周期為，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及圖象變換規(guī)律求出三角函數(shù)表達(dá)式，即可求出的值.【詳解】由題意，在中，函數(shù)是奇函數(shù)，∴，，，∵，∴，，．，解得：，∴，，故選：A.4．“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，不等式恒成立時(shí)，，所以選項(xiàng)中“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是.故選：D.5．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除AB，根據(jù)最值范圍可排除D.【詳解】由于，所以，所以為偶函數(shù)，故排除AB,由于，故當(dāng)時(shí)，，故排除D，故選：C6．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且曲線與曲線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)之和是（

）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】A【分析】判斷函數(shù)和的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷曲線與曲線有且只有的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)圖象交點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，可得函數(shù)的零點(diǎn)之和.【詳解】由題意定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，則的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移一個(gè)單位得到，故的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又曲線與曲線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，故這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2，而函數(shù)的零點(diǎn)即為曲線與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故函數(shù)的零點(diǎn)之和是2，故選：A7．已知不恒等于零的函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C． D．的最小正周期是6【答案】D【分析】利用賦值法求判斷AC；賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷B；利用賦值法求得，化簡(jiǎn)得，即可判斷D．【詳解】由，令，，有，可得,故A錯(cuò)；因?yàn)?，令，則，則，函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，令，則，故C錯(cuò)誤，令，則,所以，則，，所以，則周期為6，D正確．故選：D8．不等式對(duì)所有的正實(shí)數(shù),恒成立，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由題意可得，令，則有，，結(jié)合基本不等式求得，于是有，從而得答案.【詳解】解：因?yàn)?為正數(shù)，所以，所以，則有，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值為1，所以，即的最大值為1.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數(shù)(代數(shù)式)的最值即可得解.二、多選題9．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】或，，所以或或，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，所以，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．若銳角滿足，則【答案】ACD【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可判斷A；利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)等式即可判斷B；兩邊平方，結(jié)合二倍角公式可判斷C；利用基本關(guān)系式求，結(jié)合正切的兩角和公式可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，A正確．因?yàn)椋訠錯(cuò)誤．將方程兩邊平方，得，解得，C正確．因?yàn)?，所以，，則，D正確．故選：ACD11．設(shè)函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】CD【分析】設(shè)，利用極值點(diǎn)求出的取值范圍，即可得出的可能取值.【詳解】由題意，，在中，則，因?yàn)樵谏锨∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，所以，即．故的取值范圍是．故選：CD.12．已知函數(shù)的最小值為2，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷A是錯(cuò)誤，利用導(dǎo)數(shù)求最小值判斷CD，由不等式性質(zhì)得出B的真假．【詳解】選項(xiàng)A，若，則，是上的增函數(shù)，無最小值，A錯(cuò)；，由得，記，，，由選項(xiàng)A分析及已知得，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以時(shí)，取得極小值也是最小值，若，則，，，D正確，此時(shí)由于得，B也正確；若，則，，，從而，，不合題意（同理可證也是錯(cuò)誤的），C錯(cuò)．故選：BD．三、填空題13．已知函數(shù)，則.【答案】/0.4【分析】求導(dǎo)，代入即可求解.【詳解】由得，所以，故答案為：14．已知是第三象限角，且，則．【答案】2【分析】先解方程得，然后利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再弦化切可得.【詳解】由得，解得或，又是第三象限角，所以，故．故答案為：215．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率為.【答案】/【分析】求出和，繼而求出和，根據(jù)曲率的計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)?，故，，故，故，即曲線在點(diǎn)處的曲率為，故答案為：16．研究發(fā)現(xiàn)某人的行車速度v（km/h）與行駛地區(qū)的人口密度p（人/）有如下關(guān)系：，若此人在人口密度為a人/的地區(qū)的行車速度為70km/h，則他在人口密度為2a人/的地區(qū)的行車速度是km/h．【答案】65.5/【分析】由已知先求得，然后根據(jù)指數(shù)運(yùn)算可解.【詳解】由，得，所以當(dāng)人口密度為2a人/時(shí)，他的行車速度．故答案為：65.5四、解答題17．已知全集，集合，.(1)求；(2)若，且，求a的值；(3)設(shè)集合，若C的真子集共有3個(gè)，求m的值.【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）求出全集和集合A，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算即可求得答案；（2）根據(jù)元素和集合的關(guān)系即可求得答案；（3）判斷C中的元素個(gè)數(shù)，確定，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知，，故；（2）由，且，可得若，則，不合題意；若，則，又，故；（3）由于，集合，C的真子集共有3個(gè)，則C中必有2個(gè)元素，故.18．已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【分析】（1）求得，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求得函數(shù)的最值.（2）根據(jù)題意，得到，轉(zhuǎn)化為與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，解得，所以且，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）解：由函數(shù)和，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使得與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．如圖，已知兩質(zhì)點(diǎn)A，B同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，繞單位圓逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)的角速度分別為3rad/s和5rad/s，設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)這兩質(zhì)點(diǎn)間的距離為．(1)求的解析式；(2)求這兩質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)后第n次相遇的時(shí)間（單位：s）．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得解.（2）由（1）求出函數(shù)的零點(diǎn)即可.【詳解】（1）由質(zhì)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)的角速度分別為3rad/s和5rad/s，得時(shí)質(zhì)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，則，所以的解析式為.（2）因?yàn)閮少|(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)后每相遇一次即對(duì)應(yīng)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，因此為在區(qū)間上第n個(gè)零點(diǎn)，由，得，解得，所以兩質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)后第n次相遇的時(shí)間.20．某企業(yè)計(jì)劃對(duì)甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目共投資200萬元，且每個(gè)項(xiàng)目至少投資10萬元.依據(jù)前期市場(chǎng)調(diào)研可知，甲項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與投資金額t（單位：萬元）滿足關(guān)系式；乙項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與投資金額t（單位：萬元）滿足關(guān)系式.設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目投資x萬元，兩個(gè)項(xiàng)目的總收益為（單位：萬元），且當(dāng)對(duì)甲項(xiàng)目投資30萬元時(shí)，甲項(xiàng)目的收益為180萬元，乙項(xiàng)目的收益為120萬元.(1)求的解析式.(2)試問如何安排甲?乙這兩個(gè)項(xiàng)目的投資金額，才能使總收益最大？并求出的最大值.【答案】(1)(2)對(duì)甲項(xiàng)目投資18萬元，對(duì)乙項(xiàng)目投資182萬元，才能使總收益取得最大值453.6萬元【分析】（1）根據(jù)題意先求出a，b，由即可得出；（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】（1）由題意可得，解得.當(dāng)對(duì)甲項(xiàng)目投資30萬元時(shí)，對(duì)乙項(xiàng)目投資170萬元，則，解得.設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目的投資金額為x萬元，則對(duì)乙項(xiàng)目的投資金額為萬元，則解得.故.（2）設(shè)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.故，即對(duì)甲項(xiàng)目投資18萬元，對(duì)乙項(xiàng)目投資182萬元，才能使總收益取得最大值453.6萬元.21．已知函數(shù)，.(1)若的值域?yàn)?，求滿足條件的整數(shù)的值；(2)若非常數(shù)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)?，可得函?shù)的值域包含，再分，和三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)，，，則只要即可，求出函數(shù)的最小值，再?gòu)姆智闆r討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域包含，，當(dāng)時(shí)，，其值域?yàn)?，不滿足條件，當(dāng)時(shí)，令，則函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，即的值域?yàn)?，所以，解得，?dāng)時(shí)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋春瘮?shù)的值域?yàn)?，不滿足條件，綜上所述，，所以滿足條件的整數(shù)的值為；（2）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即，解得或，由函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，即，由，，，得，，，只要即可，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)，則，，令，因?yàn)?，所以，函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，，所以，不等式組無解；當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，.（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）由不等式性質(zhì)得，然后證明，求導(dǎo)（理想狀態(tài)是直接求得最小值），為確定的正負(fù)，需對(duì)再次求導(dǎo)，然后得出的極小值點(diǎn)，對(duì)適當(dāng)?shù)丶右苑秶拗疲员愕贸龅恼?fù)，從而得出的單調(diào)性．由于證明了是定義域內(nèi)的增函數(shù)，因此在證明時(shí)，可分段證明．【詳解】（1），，，，又，所以所求切線方程為，即；（2）的定義域是，所以時(shí)，，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，，，，，