24.3正多邊形和圓第2課時

學習目標1.進一步理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系2.掌握圓內(nèi)接正多邊形的兩種畫法：（1）用量角器等分圓周法作正多邊形；（2）用尺規(guī)作圖法作特殊的正多邊形01新課導入新課導入實際生活中，經(jīng)常遇到畫正多邊形的問題，比如畫一個六角螺帽的平面圖、畫一個五角星等，這些問題都與等分圓周有關，要制造下圖中的零件，也需要等分圓周.回顧舊識中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角邊心距：正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.回顧舊識正多邊形和圓有怎樣的關系？正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是

；中心角是

；中心角和外角的關系是

.正多邊形和圓的關系非常密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓.相等02探索新知問題1怎樣等分圓周？分析：因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以作相等的圓心角就可以等分圓，從而得到相應的正多邊形.利用你手中的工具，畫一個邊長為2cm的正六邊形.畫一畫第一種方法，如圖，以2cm為半徑作一個

，用量角器畫一個等于

的圓心角，它對著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，就得到圓的6個等分點，順次連接各分點，即可得出正六邊形．·60°O90018060120利用這種方法可以畫出任意的正n邊形.畫一個邊長為2cm的正六邊形及時練第二種方法，如圖，以2cm為半徑作一個⊙O，由于正六邊形的半徑等于邊長，所以在圓上依次截取等于2cm的弦，就可以將圓六等分，順次連接各分點即可．·O由此,你能畫出正三角形,正十二邊形嗎?問題小結：如何用等分圓周的方法畫正多邊形？一、度量法：依次畫出相等的圓心角來等分圓這種方法比較準確，但是麻煩二、尺規(guī)法：在半徑為R的圓中，先用量角器畫一個等于

的圓心角，這個角所對的弧就是圓中的

，然后在院上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點，順次連接各等分點從而作出半徑為R的正n邊形此方法可將圓任意n等分，所以用該方法可作出任意正多邊形，但邊數(shù)很大時，容易產(chǎn)生較大的誤差.畫一畫正四邊形：如下圖所示，在

中用直尺和圓規(guī)作兩條互相垂直的直徑，就可以把

四等分，從而作出正四邊形；正八邊形：再用直尺和圓規(guī)分別作與正四邊形相鄰兩邊垂直的直徑，就可以作出正八邊形，如上圖所示.正十六邊形：同理可以作出正十六邊形等邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.動手試一試畫一畫正六邊形：如下圖所以，先畫

的任意一條直徑AB，再分別以點A，B為圓心，以

的半徑R為半徑畫弧，與

相交于點C，D和E，F(xiàn)，順次連接點A，C，E，B，F(xiàn)，D，A，得正六邊形ACEBFD；正十二邊形：在正六邊形的基礎上可作正十二邊形，如右圖所示；畫一畫正三角形：連接BD，BC，CD，得正三角形，如下圖所示.我們不難發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫作圓

確定圓心角

所對的弧

截取等弧

順次連接各分點

正多邊形03練習練習練習04小結小結1.本節(jié)課我們主要學習了哪些內(nèi)容？2.用量角器等分圓3.尺規(guī)作圖等分圓第二十四章圓正多邊形和圓

1.理解并掌握正多邊形的半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系.（重點）2.會進行特殊的與正多邊形有關的計算，會畫某些正多邊形.

（難點）

學習目標新課導入知識回顧圓內(nèi)接四邊形的性質：1.對角互補；2.四個內(nèi)角的和是360°；3.任一外角與其相鄰的內(nèi)角的對角相等(即外角等于內(nèi)對角)．新課導入課時導入下面這些美麗的圖案，都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的.你能從這些圖案中找出類似的圖形嗎?新課講解知識點1圓內(nèi)接正多邊形三條邊相等，三個角相等（60度）.四條邊相等，四個角相等（900）.正三角形正方形新課講解什么叫做正多邊形？各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？不是，因為矩形不符合各邊相等；不是，因為菱形不符合各角相等；正多邊形各邊相等各角相等缺一不可新課講解知識點正n邊形與圓的關系1.把正n邊形的邊數(shù)無限增多,就接近于圓.2.怎樣由圓得到多邊形呢？ABCD思考1:把一個圓4等分,并依次連

接這些點,得到正多邊形嗎?弧相等弦相等（多邊形的邊相等）圓周角相等（多邊形的角相等）多邊形是正多邊形新課講解練一練下列說法中，不正確的是()A．正多邊形一定有一個外接圓和一個內(nèi)切圓B．各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形C．正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓D．正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D新課講解知識點2圓內(nèi)接正多邊形的有關概念EFCD.O中心角半徑R邊心距r正多邊形的中心:一個正多邊形的外接圓的圓心.正多邊形的半徑:

外接圓的半徑正多邊形的中心角:正多邊形的每一條邊所對的圓心角.正多邊形的邊心距：

中心到正多邊形的一邊的距離.新課講解1正多邊形和圓的關系非常密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓.請以圓內(nèi)接正五邊形為例進行證明.例新課講解知識點證明：如圖，把⊙O分成相等的5段弧，依次連接各分點得到五邊形ABCDE.∵AB=BC=CD=DE=EA,∴AB=BC=CD=DE=EA,

BCE=3AB=CDA.∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.又五邊形ABCDE的頂點都在⊙O上，∴五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，

⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒新課講解知識點2如圖，有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結果保留小數(shù)點后一位）.例新課講解知識點解：如圖，連接OB，OC.因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑.因此，亭子地基的周長l=6×4=24（m）.作OP⊥BC,垂足為P.

在Rt△OPC中，OC=4m，PC==2（m）,利用勾股定理，可得邊心距r=亭子地基的面積S=新課講解

正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是多少？中心角呢？正多邊形的中心角與外角的大小有什么關系？新課講解正多邊形的有關計算：名稱公式說明中心角α為中心角，n為邊數(shù)邊心距、邊長、半徑間的關系式R為半徑，r為邊心距，α為邊長周長P為正n邊形的周長，α為邊長面積S為正多邊形的面積，P為正多邊形的周長，r為邊心距新課講解練一練

一元錢硬幣的直徑約為24mm，則用它能完全覆蓋住的正六邊形的邊長最大不能超過()A．12mmB．12mmC．6mmD．6mmA新課講解知識點3正多邊形的作圖正多邊形和圓有什么關系？你能借助圓畫一個正多邊形嗎？新課講解已知⊙O

的半徑為2cm，畫圓的內(nèi)接正三角形．度量法①：用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．OBCA12新課講解知識點度量法②：用量角器度量，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．OBCA已知⊙O

的半徑為2cm，畫圓的內(nèi)接正三角形．新課講解度量法③：用圓規(guī)在⊙O上順次截取6條長度等于半徑(2cm)的弦，連接其中的AB，BC，CA

即可．OBCA已知⊙O

的半徑為2cm，畫圓的內(nèi)接正三角形．新課講解用量角器等分圓：由于同圓中相等的圓心角所對的弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓周，從而得到正多邊形．采用“先用量角器畫一個的圓心角，然后在圓上依次截取這個圓心角所對弧的等弧”.這種方法簡便，且可以畫任意正多邊形、誤差小．新課講解用尺規(guī)等分圓：用尺規(guī)作圖的方法等分圓周，然后依次連接圓上各分點得到正多邊形，這種方法有局限性，不是任意正多邊形都能用此法作圖，這種方法從理論上講是一種準確方法，但在作圖時較復雜，同樣存在作圖的誤差．課堂小結正多邊形的性質正多邊形的有關概念正多邊形的有關計算添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距中心半徑邊心距中心角正多邊形的對稱性課堂小結用量角器等分圓正多邊形的畫法此方法可將圓任意n等分，所以用該方法可作出任意正多邊形，但邊數(shù)很大時，容易產(chǎn)生較大的誤差.用尺規(guī)等分圓此方法是一種比較準確的等分圓的方法，但有局限性，不能將圓任意等分.當堂小練1.下列說法中正確的是()A.各邊都相等的多邊形是正多邊形B.正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C.各邊都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形D.各角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形C當堂小練2.如果一個正多邊形的每個外角都等于36°，則這個多邊形的中心角等于()A.36°B.18°C.72°D.54°3.如圖，點O是正六邊形的對稱中心，如果用一副三角板的角，借助點O(使直角的頂點落在點O處)，把這個正六邊形的面積n等分，那么n的所有可能取值的個數(shù)是()A.4B.5C.6D.7AB拓展與延伸