第二章計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)描述第一節(jié)頻數(shù)分布第二節(jié)集中趨勢(shì)的描述第三節(jié)離散趨勢(shì)的描述第四節(jié)正態(tài)分布第五節(jié)醫(yī)學(xué)參考值范圍的制定第一節(jié)頻數(shù)分布

一、頻數(shù)分布表（frequencytable）

以表格的形式同時(shí)列出觀察指標(biāo)可能取值及其出現(xiàn)的頻數(shù)。

例2-1測(cè)得130名健康成年男子脈搏資料(次/分)如下，試編制頻數(shù)表和觀察頻數(shù)分布情況。75767269667257687172697273828082676973647458706460776677646776757571656276727160677575737966697978707270727872677280687061707372718170667571637774766865776977757964797376618064697073696865706966816364807478768466707360768273646573736380687670797764706669737876（1）求極差（range）：即最大值與最小值之差，又稱為全距。R＝84–57=27(次/分)（2）決定分組組數(shù)、組距：根據(jù)研究目的和樣本含量n確定分組組數(shù)，通常分為10～15個(gè)組。組距=極差/組數(shù)，為方便計(jì)，組距為極差的十分之一,再略加調(diào)整。27/10=2.7≈3

（3）列出組段：第一組段的下限略小于最小值，最后一個(gè)組段上限必須包含最大值。56~59~……80~83~85（4）劃記計(jì)數(shù)：用劃記法將所有數(shù)據(jù)歸納到各組段，得到各組段的頻數(shù)。頻數(shù)表的編制步驟表2-1130名健康成年男子脈搏(次/分)的頻數(shù)分布表N＝∑f

二、頻數(shù)分布圖三、頻數(shù)表和頻數(shù)分布圖用途1．描述頻數(shù)分布的類型（對(duì)稱分布、偏態(tài)分布）

（1）對(duì)稱分布：以頻數(shù)最多組段為中心左右兩側(cè)大體對(duì)稱。是否為對(duì)稱分布？（2）偏態(tài)分布：

1）正偏態(tài)分布（右偏態(tài)分布）：右側(cè)的組段數(shù)多于左側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向右側(cè)拖尾。

表2-2115名正常成年女子血清轉(zhuǎn)氨酶（mmol/L）含量分布

2）負(fù)偏態(tài)分布（左偏態(tài)分布）：

左側(cè)的組段數(shù)多于右側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向左側(cè)拖尾。表2-3101名正常人的血清肌紅蛋白含量分布2．描述頻數(shù)分布的特征表2-1數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布特征：①數(shù)據(jù)變異（離散）的范圍在57~84（次/分）②數(shù)據(jù)集中（平均）的組段在68~73（次/分）之間，尤以組段的人數(shù)71~（次/分）最多。且上下組段的頻數(shù)分布基本對(duì)稱。3．便于發(fā)現(xiàn)一些特大或特小的可疑值

4．便于進(jìn)一步做統(tǒng)計(jì)分析和處理第二節(jié)集中趨勢(shì)的描述

統(tǒng)計(jì)上使用平均數(shù)（average）這一指標(biāo)體系來(lái)描述一組變量值的集中位置或平均水平。常用的平均數(shù)有:

算術(shù)均數(shù)（均數(shù)）（mean）幾何均數(shù)（geometricmean）中位數(shù)（median）與百分位數(shù)（percentile）

一、算術(shù)均數(shù)算術(shù)均數(shù)：簡(jiǎn)稱均數(shù)（mean）

可用于反映一組呈對(duì)稱分布的變量值在數(shù)量上的平均水平或者說(shuō)是集中位置的特征值?？傮w均數(shù)用μ

表示，樣本均數(shù)用表示。1、計(jì)算方法（1）直接計(jì)算法

公式：舉例：試計(jì)算4，4，4，6，6，8，8，8，10的均數(shù)？例2-1測(cè)得130健康成年男子脈搏資料(次/分)如下，試編制頻數(shù)表和觀察頻數(shù)分布情況。75767269667257687172697273828082676973647458706460776677646776757571656276727160677575737966697978707270727872677280687061707372718170667571637774766865776977757964797376618064697073696865706966816364807478768466707360768273646573736380687670797764706669737876（2）加權(quán)法(利用頻數(shù)表）：公式：k：頻數(shù)表的組段數(shù)，f：頻數(shù)，X：組中值。表2-2130名健康成年男子脈搏(次/分)的頻數(shù)分布表N＝∑f∑fX∑fX22、應(yīng)用

均數(shù)適用于對(duì)稱分布，特別是正態(tài)分布資料。二、幾何均數(shù)（geometricmean）

可用于反映一組經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后呈對(duì)稱分布或正態(tài)分布的變量值在數(shù)量上的平均水平。在醫(yī)學(xué)中常用于免疫學(xué)的指標(biāo)。幾何均數(shù)（geometricmean）幾何均數(shù)：變量對(duì)數(shù)值的算術(shù)均數(shù)的反對(duì)數(shù)。

其他對(duì)數(shù)（如自然對(duì)數(shù)）變換獲得相同的幾何均數(shù)例2-2有8份血清的抗體效價(jià)分別為1:5,1:10,1:20,1:40,1:80,1:160,1:320,1:640,求平均抗體效價(jià)。平均抗體效價(jià)為：1：57（2）加權(quán)法公式：

例2-369例類風(fēng)濕關(guān)節(jié)炎（RA）患者血清EBV-VCA-lgG抗體滴度的分布見表2-4第(1)、(2)欄，求其平均抗體滴度。2、應(yīng)用：

適用于成等比數(shù)列的資料，特別是服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料。三、

中位數(shù)與百分位數(shù)11個(gè)大鼠存活天數(shù)：4，10，7，50，3，15，2，9，13，>60，>60平均存活天數(shù)?（一）中位數(shù)（median）是將每個(gè)變量值從小到大排列，位置居于中間的那個(gè)變量值。

計(jì)算公式:

n為奇數(shù)時(shí)

n為偶數(shù)時(shí)

例2-49名中學(xué)生甲型肝炎的潛伏期分別為12，13，14，14，15，16，16，17,19天，求其中位數(shù)。頻數(shù)表資料的中位數(shù)L為中位數(shù)所在組段的下限；i為頻數(shù)表中的組距；fm為中位數(shù)所在組段的頻數(shù)；ΣfL為中位數(shù)所在組段以前的累積頻數(shù)。例2-1頻數(shù)表中位數(shù)的計(jì)算N＝∑f中位數(shù)＝71+3x[(130x50%－59)/26]＝71.69應(yīng)用①明顯偏態(tài)分布；②總體分布型不明的資料；

③開放型數(shù)據(jù)。

百分位數(shù)示意圖（二）百分位數(shù)（percentile）百分位數(shù)：是一種位置指標(biāo)，將數(shù)據(jù)從小到大排序后，位于x百分位置的數(shù)值，記為Px。它將全部數(shù)據(jù)分成兩部分，在不包括Px的數(shù)據(jù)中，有x%的數(shù)據(jù)小于Px

，有（100-x）%的數(shù)據(jù)大于Px。頻數(shù)表法

公式：

當(dāng)時(shí)，公式（2-9）即為中位數(shù)的計(jì)算公式

例2-5試分別求例2-1頻數(shù)表的第25、第75百分位數(shù)。P25＝65+3x(130x25%－19)/15＝65.90P75＝74+3x(130x75%－85)/19＝74.66

例2-6某市大氣中SO2的日平均濃度（μg/m3）見表2.5第（1）、（2）欄，分別求第25、75、95百分位數(shù)和中位數(shù)。

表2.5某市大氣中SO2日平均濃度的百分位數(shù)和中位數(shù)計(jì)算計(jì)算累計(jì)頻數(shù)及累計(jì)頻率，見第（3）、（4）欄;P25=50+25×（361×25%-39）/67=69.12

P75=125+25×（361×75%-233)/45=145.97P95=250+25×（361×95%-341）/6=258.12

P50=M=100+25×（361/2–170）/63=104.17

設(shè)有甲、乙、丙三名醫(yī)生，分別對(duì)相同的5份血樣進(jìn)行紅細(xì)胞計(jì)數(shù)（萬(wàn)/mm3），甲得出了560、540、500、460、440，乙得出了520、510、500、490、480，丙得出了510、505、500、495、490，見下圖2，三名醫(yī)生的計(jì)數(shù)結(jié)果得到的均數(shù)均為500，5個(gè)數(shù)值之和均為2500。第三節(jié)離散趨勢(shì)的描述甲醫(yī)生得出的5個(gè)觀察值間的差異（離散程度）較大，而丙醫(yī)生得出的5個(gè)觀察值間的差異（離散程度）較小。常用統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：極差、四分位數(shù)間距、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)。一、極差（Range）

極差，用R表示：即一組變量值最大值與最小值之差。對(duì)于書中例2-1數(shù)據(jù)，有簡(jiǎn)單，但僅利用了兩端點(diǎn)值，穩(wěn)定性差。適用條件

該指標(biāo)適用于任何分布類型的資料。但因其只受兩側(cè)極端值的影響，故反映一組觀察值的變異程度時(shí)較粗糙。二、四分位數(shù)間距

（quartilerange）

四分位數(shù)間距，用Q或QR表示：

Q=下四分位數(shù)：上四分位數(shù)：例2-1數(shù)據(jù)P25＝65+3x[(130x25%－19)/15]＝65.90P75＝74+3x[(130x75%－85)/19]＝74.66適用條件

該指標(biāo)的適用條件同中位數(shù)，而且通常與中位數(shù)（亦稱第50百分位數(shù)）結(jié)合，全面描述偏態(tài)及不明分布資料的特征。應(yīng)用時(shí)需注意：當(dāng)樣本含量不夠大時(shí)，該指標(biāo)不夠穩(wěn)定，故不宜選用。三、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

1.方差（variance）也稱均方差（meansquaredeviation），反映一組數(shù)據(jù)的平均離散水平。

總體方差

樣本方差

離均差平方和SS

2.

公式：

樣本標(biāo)準(zhǔn)差用表示，其度量單位與均數(shù)一致，所以最常用。公式：ν：自由度

標(biāo)準(zhǔn)差的公式還可以寫成：利用頻數(shù)表計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的公式為適用于描述對(duì)稱分布資料的離散趨勢(shì)。例2-7對(duì)例2-1的前10個(gè)數(shù)據(jù):75,76,72,69,66,72,57,68,71,72,用直接法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。例2-8

利用表2-2中的數(shù)據(jù)和頻數(shù)表法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。N＝∑f∑fX∑fX2標(biāo)準(zhǔn)差的意義和用途說(shuō)明資料的離散趨勢(shì)(或變異程度)，標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，說(shuō)明變異程度越大，均數(shù)的代表性越差。標(biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)的單位一致，在科技論文報(bào)告中，均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差經(jīng)常被同時(shí)用來(lái)描述資料的集中趨勢(shì)與離散趨勢(shì)。用于計(jì)算變異系數(shù)。用于計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤。結(jié)合均值與正態(tài)分布的規(guī)律，估計(jì)參考值的范圍。四、變異系數(shù)

變異系數(shù)(coefficientofvariation，CV)常用于比較度量單位不同或均數(shù)相差懸殊的兩組(或多組)資料的變異程度。與其他四個(gè)指標(biāo)的不同之處描述的不是數(shù)據(jù)分布的絕對(duì)離散程度，而是相對(duì)離散程度無(wú)單位

某地7歲男孩身高的均數(shù)為123.10cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.71；體重均數(shù)為22.59kg，標(biāo)準(zhǔn)差為2.26kg,

比較其變異度？

第四節(jié)正態(tài)分布

一、正態(tài)分布的概念和特征

1．正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式(概率密度函數(shù)，proba