十年高考真題分類匯編（2010—2019）數(shù)學(xué)專題11直線與圓一、選擇題1.(2019·全國(guó)2·理T11文T12)設(shè)F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓xA.2 B.3 C.2 D.5【答案】A【解析】如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知PQ⊥x軸.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A為圓心,∴|OA|=c2.∴Pc2,又點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,∴c24+c24=a∴e2=c2a2=2,∴2.(2018·北京·理T7)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)P(x,y),則x=cosθ,y=sinθ,x2+y2=1.即點(diǎn)P在單位圓上,點(diǎn)P到直線x-my-2=0的距離可轉(zhuǎn)化為圓心(0,0)到直線x-my-2=0的距離加上(或減去)半徑,所以距離最大為d=1+|-當(dāng)m=0時(shí),dmax=3.3.(2018·全國(guó)3·理T6文T8)直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32]【答案】A【解析】設(shè)圓心到直線AB的距離d=|2+0+2|2=2點(diǎn)P到直線AB的距離為d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2∴2≤S△ABP≤6.4.(2016·山東·文T7)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是22.則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】圓M的方程可化為x2+(y-a)2=a2,故其圓心為M(0,a),半徑R=a.所以圓心到直線x+y=0的距離d=|0+所以直線x+y=0被圓M所截弦長(zhǎng)為2R2-d2=2a2而|MN|=(1-0)2+5.(2016·全國(guó)2·理T4文T6)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43 B.-34 C.【答案】A【解析】圓的方程可化為(x-1)2+(y-4)2=4,圓心坐標(biāo)為(1,4).所以d=|a+4-16.(2015·全國(guó)2·理T7)過三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=()A.26 B.8 C.46 D.10【答案】C【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將點(diǎn)A,B,C代入,得D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0則圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,設(shè)M(0,y1),N(0,y2),則y1,y2是方程y2+4y-20=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=(y1+7.(2015·全國(guó)2·文T7)已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,3),C(2,3),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A.53 B.213 C.2【答案】B【解析】由題意知,△ABC外接圓的圓心是直線x=1與線段AB垂直平分線的交點(diǎn)為P,而線段AB垂直平分線的方程為y-32=33x8.(2015·北京·文T2)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2【答案】D【解析】圓的半徑r=2,標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=2.9.(2015·廣東·理T5)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0【答案】A【解析】設(shè)與直線2x+y+1=0平行的直線方程為2x+y+m=0(m≠1),因?yàn)橹本€2x+y+m=0與圓x2+y2=5相切,所以|m故所求直線的方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0.10.(2015·山東·理T9)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為()A.-53或-35 B.-3C.-54或-45 D.-4【答案】D【解析】如圖,作出點(diǎn)P(-2,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P0(2,-3).由題意知反射光線與圓相切,其反向延長(zhǎng)線過點(diǎn)P0.故設(shè)反射光線為y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圓心到直線的距離d=|-3k解得k=-43或k=-311.(2015·重慶·理T8)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱軸.過點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=()A.2 B.42 C.6 D.210【答案】C【解析】依題意,直線l經(jīng)過圓C的圓心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,-1).又圓C的半徑r=2,由△ABC為直角三角形可得|AB|=|AC又|AC|=210,所以|AB|=(212.(2014·全國(guó)2·文T12)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是()A.[-1,1] B.-C.[-2,2【答案】A【解析】建立三角不等式,利用兩點(diǎn)間距離公式找到x0的取值范圍.如圖,過點(diǎn)M作☉O的切線,切點(diǎn)為N,連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,MN與☉O相切于點(diǎn)N.設(shè)∠OMN=θ,則θ≥45°,即sinθ≥22,即ONOM≥22.而ON=1,∵M(jìn)為(x0,1),∴x02+1≤∴-1≤x0≤1,∴x0的取值范圍為[-1,1].13.(2014·浙江·文T5)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A.-2 B.-4 C.-6 D.-8【答案】B【解析】圓的方程可化為(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圓心為(-1,1),半徑r=2-圓心到直線x+y+2=0的距離d=|-1+1+2因此由勾股定理可得(2)2+422=(2-解得a=-4.故選B.14.(2014·安徽·文T6)過點(diǎn)P(-3,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是()A.0,πC.0,π【答案】D【解析】設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y=k(x+3)-1,則由直線和圓有公共點(diǎn)知|3k-故直線l的傾斜角的取值范圍是0,15.(2014·北京·文T7)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點(diǎn)A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則m的最大值為()A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】因?yàn)锳(-m,0),B(m,0)(m>0),所以使∠APB=90°的點(diǎn)P在以線段AB為直徑的圓上,該圓的圓心為O(0,0),半徑為m.而圓C的圓心為C(3,4),半徑為1.由題意知點(diǎn)P在圓C上,故兩圓有公共點(diǎn).所以兩圓的位置關(guān)系為外切、相交或內(nèi)切,故m-1≤|CO|≤m+1,即m-1≤5≤m+1,解得4≤m≤6.所以m的最大值為6.故選B.16.(2014·四川·文T9)設(shè)m∈R,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則|PA|+|PB|的取值范圍是()A.[5,25] B.[10,25]C.[10,45] D.[25,45]【答案】B【解析】由題意,得A(0,0),B(1,3),因?yàn)?×m+m×(-1)=0,所以兩直線垂直,所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上,所以PA⊥PB.所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,設(shè)∠ABP=θ,則|PA|+|PB|=10sinθ+10cosθ=25sinθ+π因?yàn)閨PA|≥0,|PB|≥0,所以0≤θ≤π2所以10≤|PA|+|PB|≤25,故選B.17.(2013·重慶·理T7)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為()A.52-4 B.17-1C.6-22 D.17【答案】A【解析】圓C1,C2的圓心分別為C1,C2,由題意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值為|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2|-4的最小值為|C3C2|-4=(2-318.(2013·湖南·理T8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P為邊AB上異于A,B的一點(diǎn),光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過△ABC的重心,則AP等于()A.2 B.1 C.83 D.【答案】D【解析】以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示.則A(0,0),B(4,0),C(0,4).設(shè)△ABC的重心為D,則D點(diǎn)坐標(biāo)為43設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),則P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1為(-m,0),因?yàn)橹本€BC方程為x+y-4=0,所以P點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P2為(4,4-m),根據(jù)光線反射原理,P1,P2均在QR所在直線上,∴kP1D=解得,m=43當(dāng)m=0時(shí),P點(diǎn)與A點(diǎn)重合,故舍去.∴m=4319.(2012·浙江·理T3)設(shè)a∈R,則“a=1”是“直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】l1與l2平行的充要條件為a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1∥l2的充分不必要條件.20.(2010·安徽·文T4)過點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0【答案】A【解析】設(shè)直線方程為x-2y+c=0,將點(diǎn)(1,0)代入,解得c=-1,故直線方程為x-2y-1=0.二、填空題1.(2019·江蘇·T10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是【答案】4【解析】當(dāng)直線x+y=0平移到與曲線y=x+4x相切位置時(shí),切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線x+y=0的最小距離的點(diǎn),有y'=x+4x'=1-4x2此時(shí)y=2+42=32,即切點(diǎn)Q(2則切點(diǎn)Q到直線x+y=0的距離為d=|22.(2019·天津·理T12)設(shè)a∈R,直線ax-y+2=0和圓x=2+2【答案】3【解析】由x=2+2得(x-2)2+(y-1)2=4,圓心為(2,1),r=2.由直線與圓相切,得|2解得a=343.(2019·浙江·T12)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長(zhǎng)是r.若直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A(-2,-1),則m=,r=

.

【答案】-25【解析】由題意知kAC=-12?AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此時(shí)r=|AC|=4.(2018·天津·文T12)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為.

【答案】x2+y2-2x=0【解析】畫出示意圖如圖所示,則△OAB為等腰直角三角形,故所求圓的圓心為(1,0),半徑為1,所以所求圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.5.(2018·全國(guó)1·文T15)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.

【答案】2【解析】圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,圓心到直線y=x+1的距離d=|0所以弦長(zhǎng)|AB|=2r2-d2=26.(2018·天津·理T12)已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C,直線x=-1+【答案】1【解析】圓C的方程可化為(x-1)2+y2=1,得圓心為C(1,0),半徑為1.由x=所以圓心C(1,0)到直線x+y-2=0的距離d=|1+0所以|AB|=21-所以S△ABC=12·|AB|·d=17.(2016·全國(guó)1·文T15)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=23,則圓C的面積為.

【答案】4π【解析】圓C的方程可化為x2+(y-a)2=2+a2,直線方程為x-y+2a=0,所以圓心坐標(biāo)為(0,a),半徑r2=a2+2,圓心到直線的距離d=|a|2.由已知(3)2+a22=a2+2,解得a2=2,故圓C的面積為π(2+a8.(2016·上?！だ鞹3)已知平行直線l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,則l1,l2的距離是

.

【答案】2【解析】d=|C9.(2016·浙江·文T10)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是,半徑是.

【答案】(-2,-4)5【解析】由題意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.當(dāng)a=-1時(shí),方程為x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圓心為(-2,-4),半徑為5;當(dāng)a=2時(shí),方程為4x2+4y2+4x+8y+10=0,x+122+(y+1)210.(2016·天津·文T12)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為【答案】(x-2)2+y2=9【解析】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,0)(a>0),則|2a|5=45故圓C的方程為(x-2)2+y2=9.11.(2016·全國(guó)3·理T16文T15)已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=23,則|CD|=.

【答案】4【解析】因?yàn)閨AB|=23,且圓的半徑R=23,所以圓心(0,0)到直線mx+y+3m-3=0的距離為R2由|3m-將其代入直線l的方程,得y=33x+23由平面幾何知識(shí)知在梯形ABDC中,|CD|=|AB12.(2015·江蘇·T10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x-1)2+y2=2【解析】(方法一)設(shè)A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,則直線過定點(diǎn)P(2,-1),即該方程表示所有過定點(diǎn)P的直線系方程.當(dāng)直線與AP垂直時(shí),所求圓的半徑最大.此時(shí),半徑為|AP|=(2故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2.(方法二)設(shè)圓的半徑為r,根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系得r=|m當(dāng)m<0時(shí),1+2mm2當(dāng)m=0時(shí),r=1;當(dāng)m>0時(shí),m2+1≥2m(當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)).所以r≤1+1=2,即rmax=故半徑最大的圓的方程為(x-1)2+y2=2.13.(2015·全國(guó)1·理T14)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓x216+【答案】x-322+y【解析】由條件知圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)分別為(4,0),(0,2),(0,-2),設(shè)圓心為(a,0)(a>0),所以(a-0)2+(0-2)2=4-a,解得a=14.(2014·重慶·理T13)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=.

【答案】4±15【解析】由△ABC為等邊三角形可得,C到AB的距離為3,即(1,a)到直線ax+y-2=0的距離d=|a+a-215.(2014·陜西·理T12)若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】x2+(y-1)2=1【解析】因?yàn)?1,0)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(0,1),所以圓C是以(0,1)為圓心,以1為半徑的圓,其方程為x2+(y-1)2=1.16.(2011·浙江·文T12)若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直,則實(shí)數(shù)m=.

【答案】1【解析】由題意知1×2+(-2)·m=0,即m=1.17.(2010·全國(guó)·理T15)過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于點(diǎn)B(2,1),則圓C的方程為.

【答案】(x-3)2+y2=2【解析】由題意知A,B兩點(diǎn)在圓C上,∴線段AB的垂直平分線x=3過圓心C.又圓C與直線y=x-1相切于點(diǎn)B(2,1),∴kBC=-1.∴直線BC的方程為y-1=-(x-2),即y=-x+3.y=-x+3與x=3聯(lián)立得圓心C的坐標(biāo)為(3,0),∴r=|BC|=(3∴圓C的方程為(x-3)2+y2=2.18.(2010·全國(guó)·文T13)圓心在原點(diǎn)且與直線x+y-2=0相切的圓的方程為.

【答案】x2+y2=2【解析】圓心(0,0)到直線x+y-2=0的距離R=|-2|12+12三、計(jì)算題1.(2015·全國(guó)1·文T20)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)若OM·ON=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),【解析】(1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn),所以|2k-3+1|所以k的取值范圍為4-(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2OM·ON=x1x2+y1=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k由題設(shè)可得4k所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.2.(2015·廣東·理T20)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,從而可知圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0).(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)M(x,y),由弦的性質(zhì)可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM.故點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)C1為直徑的圓,該圓的圓心為C32,0,半徑r=12|OC1|=12×3=32,其方程為即x2+y2-3x=0.又因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),所以點(diǎn)M在圓C1內(nèi),所以(x又x2+y2-3x=0,所以可得x>53易知x≤3,所以53<x≤3.所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2+y2-3x=05(3)存在實(shí)數(shù)k滿足題意.由(2)知點(diǎn)M的軌跡是以C32,0為圓心,32為半徑的圓弧EF(如圖所示,不包括兩個(gè)端點(diǎn)),且E5又直