具有機(jī)電耦合性能的壓電材料的力學(xué)分析

1壓電材料的力學(xué)分析近年來，壓迫材料在智能結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用越來越受到重視。壓電材料具有壓電效應(yīng),即當(dāng)它受到外力時(shí)不僅產(chǎn)生機(jī)械變形,還能產(chǎn)生電勢(shì);對(duì)它施加電壓時(shí),又能改變材料尺寸。因此,壓電元件既能當(dāng)智能結(jié)構(gòu)的傳感元件,又能作為驅(qū)動(dòng)元件。目前,對(duì)具有機(jī)電耦合性能的壓電材料的力學(xué)分析是壓電材料研究的一個(gè)重要內(nèi)容,其研究途徑主要有三種:(1)尋求三維精確解;(2)簡化后求理論解析解;(3)用有限元、邊界元等方法計(jì)算數(shù)值解。本文按第二種方法從壓電彈性介質(zhì)三維本構(gòu)方程及平面應(yīng)力條件下的簡化物理方程出發(fā),求出了懸臂壓電梁在沒有外加電場(chǎng)情況下自由端承受集中力時(shí)位移、電勢(shì)的解析表達(dá)式,并且與有限元的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。2彈性壓電介質(zhì)結(jié)構(gòu)材料特性當(dāng)不計(jì)體力和不存在自由電荷時(shí),三維壓電理論的控制方程為σij,j=0Di,i=0σij=cijklεkl-ekijEkDi=eiklεkl+gikEkεij=(uj,i+ui,j)Ei=-?,i其中,i,j,k,l=1,2,3,而σij,Di,εij,uj,Ei和Φ分別是應(yīng)力、電位移、應(yīng)變、位移、電場(chǎng)強(qiáng)度分量和電勢(shì),Cijkl,gik和ekij分別為彈性、介電和壓電常數(shù)。在極端各向異性下壓電介質(zhì)獨(dú)立的性能常數(shù)為21+16+18=45個(gè)。本文僅考慮應(yīng)用較為廣泛的PVDF薄膜或PZT陶瓷這一類常用材料,若沿z軸正向極化,則x-y平面成為各向同性平面,壓電介質(zhì)呈現(xiàn)橫觀各向同性性質(zhì),其性能常數(shù)變?yōu)?+2+3=10個(gè)。在工程應(yīng)用中,彈性壓電介質(zhì)一般并不用作結(jié)構(gòu)的承載部件,而只是作為附著在結(jié)構(gòu)上的感測(cè)與驅(qū)動(dòng)元件,通常制成薄膜層粘貼在結(jié)構(gòu)上。因此往往可以簡化為x-z或y-z平面內(nèi)的平面問題。以x-z平面內(nèi)的平面應(yīng)力問題為例,基本方程變?yōu)?無體力影響靜力平衡方程無體力影響?σx?x+?τxz?z=0??σz?z+?τzx?x=0(1)22變換協(xié)調(diào)方程?2εx?z2+?2εz?x2-?2γzx?x?z=0(2)3物理方程(εxεzγzx)=(s11s130s13s33000s44)(σxσzτzx)+(0d310d33d150)(ExEz)(3)(DxDz)=00d15d31d330)(σxσzτzx)+(g1100g33)(ExEz)(4)(ExEz)=(-?Φ?x-?Φ?z)(5)4方程1(εxεzγzx)=(??x00??z??z??x)(uw)(6)5壓電材料參數(shù)?Dx?x+?Dz?z=0(7)其中s11=c33c11-c213c13c211-c33c212-2c213c11+2c213c12?s13=-c13c33c12-2c213+c33c11?s33=c11+c12c33c12-2c213+c33c11?s44=1c44,d31=-e33c13+e31c33c33c12-2c213+c33c11,d33=e33c12-2e31c13+e33c11c33c12-2c213+c33c11,d15=e15c44,g11=gp11+e215c44,g33=c12c33gp33+c12e233-2c213gp33+2c33e231-4c13e31e33+c11c33gp33+c11e233c33c12-2c213+c33c11上面式中σ、ε、D、E分別表示應(yīng)力、應(yīng)變、電位移、電場(chǎng)強(qiáng)度,u、w、φ表示位移和電勢(shì),Sij、dij、eij分別表示壓電材料的短路柔度系數(shù)、壓電應(yīng)變常數(shù)和壓電應(yīng)力常數(shù),cij、gij、gpij分別表示短路剛度系數(shù)、自由介電常數(shù)與夾持介電常數(shù)。3相關(guān)定理圖1為沿z軸極化的壓電梁。如前所述,在x-y平面內(nèi)呈各向同性,在x-z平面內(nèi)呈正交異性。假定厚度t遠(yuǎn)小于長度L及高度H,那么可以作為x-z平面內(nèi)的平面應(yīng)力問題進(jìn)行討論。由于沒有外加電場(chǎng),物理方程中的場(chǎng)強(qiáng)E僅是束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度,該電場(chǎng)對(duì)應(yīng)力的影響是很小的,故可以考慮用非壓電材料的彈性應(yīng)力解作為此壓電梁的應(yīng)力來作試探:Jy=112tΗ3?σx=FJy?xz?σz=0?τxz=F2Jy(z2-Η24)(8)將(8)代入(3)得εx=s11?FJyxz-d31?Φ?z?εz=s13?FJyxz-d33?Φ?z?γzx=s44?F2Jy(z2-Η24)-d15?Φ?x(9)將(9)代入(2)得d31?3Φ?z3+(d33-d15)?3Φ?x2?z=0(10)再將(8)代入(4)有Dx=d15?F2Jy(z2-Η24)-g11?Φ?x?Dz=d31?FJyxz-g33?Φ?z(11)將(11)代入(7)得g11?2Φ?x2+g33?2Φ?z2-d31?FJyx=0(12)由(12)解得:?3Φ?x2?z=-g33g31??3Φ?z3,代入(10)得:?3Φ?z3=0,再積分可得>=12f1(x)z2+f2(x)z+f3(x)(13)聯(lián)系(13)與(12)有?2>?x2=12?f1″(x)z2+f2″(x)z+f3″(x)=d31g11?FJyx-g33g11f1(x)要使上式恒成立,不難解得f1(x)=a1x+a2?f2(x)=a3x+a4?f3(x)=1ΜΜx3-g332g11a2x2+a5x+a6式中:Μ=d31g11?FJy-g33g11?a1,a2,a3,a4,a5,a6是待定常系數(shù)。將上式代入(13)有:>=12(a1x+a2)z2+(a3x+a4)z+16Μx3-g332g11a2x2+a5x+a6根據(jù)電學(xué)邊界條件:>|z=-Η2=0?Dz|z=±Η2=0,代入上式及(11)可確定>表達(dá)式中六個(gè)待定常數(shù):a1=d31g33?FJy?a2=a3=a4=a6=0?a5=-Η2d318g33?FJy從而Φ=d312g33?FJy?xz2-Η2d318g33?FJy?x(14)將(14)與幾何方程(6)代入物理方程展開式(9)并積分得:u=-Ν2x2z+13Ν1z3-p1z+p2?w=F2Jy(s13-d31d33g33)xz2+13Ν2x3-(s44FΗ28Jy+d15a5-p1)x+p3式中,Ν1=(s44-s13+d31d33g33-d15d31g33)F2Jy?Ν2=(d312g33-s11)F2Jy,待定系數(shù)p1、p2、p3可由位移邊界條件來確定。本問題的位移邊界條件為:u|x=Lz=0=w|x=Lz=0=0??w?x|x=Lz=0=0將u、w表達(dá)式代入上述邊界條件可求得p1、p2、p3,從而u=(s11-d312g33)F2Jy?x2z+(s44-s13+d33d31g33-d15d31g33)F6Jy?z3-[(s44-d31d15g33)FΗ28Jy+(s11-d312g33)FL23Jy]?z(15)w=(s13-d31d33g33)F2Jy?xz2+(d312g33-s11)F6Jy?x3+(s11-d312g33)FL23Jy?x+(d312g33-S11)FL36Jy(16)這樣,位移和電勢(shì)的表達(dá)式就全部得到了,分別是式(14)、(15)、(16)。4懸臂梁有限元模型為檢驗(yàn)以上表達(dá)式,作者用ANSYS軟件對(duì)材料為PZT-4壓電陶瓷的懸臂梁作有限元計(jì)算,圖2～4分別給出x=L/2處位移u、w和電勢(shì)>隨z坐標(biāo)的變化規(guī)律(圖中——表示解析解,·點(diǎn)表示有限元解),由圖可見,本文所導(dǎo)出位移和電勢(shì)的表達(dá)式具有足夠的精確度。5壓電材料解析解的研究