變截面梁的扭轉(zhuǎn)剛度和等效節(jié)點(diǎn)載荷

在空間剛架結(jié)構(gòu)中，一些梁和一些機(jī)械零件軸不僅應(yīng)承受彎曲矩陣的作用，還應(yīng)承受彎曲矩陣的作用。在對(duì)這些扭轉(zhuǎn)梁進(jìn)行有限分析并建立梁?jiǎn)卧木植縿傂跃仃嚂r(shí)，應(yīng)將旋轉(zhuǎn)角矩陣的基本角矩陣中包括葉片。對(duì)于等截面梁,在所有的有限元著作中對(duì)包括扭轉(zhuǎn)作用的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚩歼M(jìn)行了詳盡的推導(dǎo)。但在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)以及機(jī)械設(shè)備中變截面構(gòu)件得到廣泛應(yīng)用。例如,空間剛架的水平梁部分等,為了適應(yīng)結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化的需要,均將其支承部分的梁高加大,而跨中的梁高則取得較小,形成變截面梁。在絕大多數(shù)機(jī)械設(shè)備中的旋轉(zhuǎn)軸一般設(shè)計(jì)成等強(qiáng)度軸,該類軸同樣是變截面梁。對(duì)這類梁進(jìn)行有限元分析時(shí),直接引用等截面梁的剛度矩陣,必須對(duì)梁進(jìn)行分段等截面單元近似分析的。為了達(dá)到要求的精度,對(duì)結(jié)構(gòu)離散化時(shí)必須采用較多的單元數(shù),從而使分析復(fù)雜化。本文運(yùn)用力學(xué)的方法,通過假定變截面梁的截面模式和積分運(yùn)算,推導(dǎo)變截面梁?jiǎn)卧呐まD(zhuǎn)剛度矩陣等效節(jié)點(diǎn)載荷公式。變截面梁受剪力、彎矩作用的平面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)載荷公式見參考文獻(xiàn)。在推導(dǎo)過程中為簡(jiǎn)單起見,假定為圓截面,但結(jié)果不失一般性,可以運(yùn)用于各種結(jié)構(gòu)的橫截面。1計(jì)算r02+ml如圖1所示,截面半徑按線性變化,即R(x)=R0(1+αxL)R(x)=R0(1+αxL),其中R0為小端。截面半徑為截面變化常數(shù),極慣性矩則是四次式,即J(x)=J0(1+αxL)4(1)J(x)=J0(1+αxL)4(1)其中J0=πR4040/2為小端截面極慣性矩。2材料的剪應(yīng)力圖2表示節(jié)點(diǎn)扭矩mx和扭角?x的符號(hào)約定以及單元扭矩的符號(hào)約定。圖3表示一段桿的扭轉(zhuǎn)變形。由經(jīng)典的力學(xué)理論可以得到{γ=Rd?dxτmx?RJ=G?γ=G?Rd?dx(2)???γ=Rd?dxτmx?RJ=G?γ=G?Rd?dx(2)其中,γ為剪應(yīng)變,τ為截面圓周剪應(yīng)力,G為材料剪切彈性模量,J為截面極慣性矩。由式(2)得出扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式?=∫L0L0mxGJdx=mxGmxGJdx=mxG∫L0L01Jdx(3)1Jdx(3)將式(1)代入式(3)得根據(jù)節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)符號(hào)的約定m1x=-mx=3(1+α)3(α2+3α+3)?GJ0L(?1x-?2x)m1x=?mx=3(1+α)3(α2+3α+3)?GJ0L(?1x??2x)同理可以得出m2x=3(1+α)3(α2+3α+3)?GJ0L(?2x-?1x)m2x=3(1+α)3(α2+3α+3)?GJ0L(?2x??1x)所以,半徑線性變化的扭轉(zhuǎn)桿的局部單元?jiǎng)偠染仃嚍閗=3(1+α)3(α2+3α+3)?GJ0L[1-1-11](4)當(dāng)α=0時(shí),(4)即變?yōu)榈冉孛媾まD(zhuǎn)桿的剛度矩陣。3節(jié)點(diǎn)上的等效力偶對(duì)于作用在單元上的分布載荷和集中力偶,在應(yīng)用變截面的扭轉(zhuǎn)剛度時(shí),首先要把分布力偶和集中力偶轉(zhuǎn)換為作用在節(jié)點(diǎn)上的等效力偶。可以采用等功原理計(jì)算單元固端反力,反號(hào)即得等效節(jié)點(diǎn)載荷。截面變化模式仍然按R(x)=R0(1+αxL)。其中符號(hào)含義如前所述。3.1節(jié)點(diǎn)i集中力偶作用如圖4是受集中力偶m(N·m)的作用單元,可以用等功原理求其節(jié)點(diǎn)的等效載荷。mi=3L2(L-a)+3L(L2-a2)α+(L3-a3)α2(L+aα)3(α2+3α+3)?mmj=3L2(L-b)+3L(L2-b2)α+(L3-b3)α2(L+bα)3(α2+3α+3)?m當(dāng)a=0時(shí),mi=m,mj=0,即集中力偶作用在節(jié)點(diǎn)i上。當(dāng)b=0時(shí),mi=m,mj=0,即集中力偶作用在節(jié)點(diǎn)j上。3.2節(jié)點(diǎn)等效載荷如圖5是受分布力偶T(N·m/m)作用的單元,可以用等功原理求其節(jié)點(diǎn)的等效載荷。mi=mj=(α+3)ΤL2(α2+3α+3)當(dāng)α=0時(shí),上式mi=mj=TL/2,即為等截面等效節(jié)點(diǎn)載荷。4懸臂梁扭轉(zhuǎn)角的確定本文列舉兩個(gè)算例,說(shuō)明變截面梁扭轉(zhuǎn)剛度矩陣的應(yīng)用。本文列舉的算例相當(dāng)簡(jiǎn)單,用力學(xué)的方法很快就可以得出結(jié)果,列舉的目的在于比較變截面剛度矩陣與等截面剛度矩陣。圖6所示為一懸臂梁,其半徑為線變化,R(x)=R0(1+xL),在其自由端作用有集中力矩m,材料的剪切彈性模量為G,求自由端的扭轉(zhuǎn)角?。進(jìn)行有限元計(jì)算時(shí),用本文推導(dǎo)的剛度矩陣,僅用一個(gè)單元,即可得到扭轉(zhuǎn)角的精確值,即?=7mL24GJ0=0.292mLGJ0,其中,J0為x=0截面的極慣性矩。表1是用等截面剛度矩陣,編制計(jì)算程序計(jì)算1、2、4、8、16、32單元的計(jì)算結(jié)果。從上面的計(jì)算可以看出,使用等截面扭轉(zhuǎn)剛度矩陣計(jì)算該例時(shí),采用32個(gè)單元與精確解的誤差仍有6.8%。5單元收斂極慣性矩本文推導(dǎo)了變截面梁?jiǎn)卧呐まD(zhuǎn)剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)載荷公式。對(duì)于半徑按線性變化的桿的扭轉(zhuǎn)將得到精確解。用等截面扭轉(zhuǎn)剛度矩陣,隨著單元數(shù)的增多,近似解將收斂于精確解,同時(shí)其收斂的速度變慢。當(dāng)梁截面為矩形截面,其高度按線性變化,則其中α可以根據(jù)單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)橫截面的極慣性矩求得α=4√Jj/Ji-1。當(dāng)梁的截面按拋物線變化時(shí),按照上面的推導(dǎo)方法,通過