PAGE3云南大學(xué)數(shù)學(xué)分析習(xí)作課（1）讀書報(bào)告題目：Stolz定理及其推論和應(yīng)用、推廣學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓名、學(xué)號(hào)：任課教師：楊漢春時(shí)間：

摘要：對(duì)于某些類型的極限計(jì)算問題，應(yīng)用大學(xué)微分教科書中介紹的方法計(jì)算，將顯得比較繁瑣。通過對(duì)Stolz定理的討論。將給出三個(gè)直接的推論并引述其推廣的定理，由此得到幾種較為簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，從而解決一些較為復(fù)雜題型的極限計(jì)算問題。關(guān)鍵詞：極限；Stolz定理；推論；應(yīng)用；推廣一、定理介紹Stolz公式： 設(shè)數(shù)列{}單調(diào)遞增趨于+，（可以為無窮）,則。證明：（I）先設(shè)A<+由式，>0，存在N>0，當(dāng)n>N時(shí)有<<，特別取n=N+1，N+2，（）（）＜＜（）（），（）（）＜＜（）（），............()（)＜＜﹙)（）,將這些式子統(tǒng)統(tǒng)相加得（）（)＜＜（）（），∴＜＜，此即|-|＜.而0≦||=||≤||||·||由于以及式，∴||，.∴.﹙II﹚再當(dāng)時(shí)，由有④∴.⑤下證遞增趨于由④知，＞0，當(dāng)＞時(shí)，有＞.⑥∵＞0∴＞0,即單調(diào)遞增.由⑥式有＞＞，從而有············＞，將這些式子統(tǒng)統(tǒng)加起來有＞.∴＞⑦顯然當(dāng)時(shí)，.由⑤式及上面（I）的結(jié)論有∴.（III)當(dāng)時(shí)，只要令，則由上面（II)可證證畢定理推論：推論1：（算術(shù)平均收斂公式）若.證明:㈠下面介紹不使用Stolz定理的普通證法：由＞＞＜，則有≤＜＜＜取M=max（），則，又為定值，則，于是對(duì)上述＞0，＞時(shí)，有＜?。緯r(shí)，有＜即有㈡現(xiàn)用Stolz公式證明證畢小結(jié)：①明顯使用Stolz公式使得該推論的證明簡(jiǎn)潔很多，所以在做題過程中如果能看出其中隱含的Stolz公式的形式，并能構(gòu)造出類似的形式就能大大縮短解題過程和時(shí)間。②這推論逆過來是不成立的，即若存在。例：但。推論2：（幾何平均收斂公式）設(shè)＞0（），且，則.證明：㈠一般證法：當(dāng)時(shí)，由夾逼定理當(dāng)?shù)茫肌?㈡利用推論一證明：∵，∴.再由推論一知證畢推論3：（比值）若＞0，，且.證明：令.由幾何平均收斂公式知此即.一般應(yīng)用例1、設(shè)證明：，并求.證：∵＜，∴單調(diào)遞減.因?yàn)?，所?﹤﹤1，即有下界，從而（存在）.由，兩邊取極限有，∴，此即.再求，考慮①∵②∵③由②③兩式∴.④將④代入①得∴.

例2、用證明：證：令＞0.∴，，＞，則當(dāng)＞時(shí)，有＜∴.注：如果本體不限方法，還可有另外的證法證：令∴再由幾何平均收斂公式顯然方法2更加簡(jiǎn)。例3、已知數(shù)列滿足條件，證明：.證：用施篤茲公式=.=∴小結(jié)：乍看這題無從下手，但是如若根據(jù)的形式想到stolz公式的話，對(duì)條件進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形后就迎刃而解.可能這種變形很難考慮到，并將其實(shí)現(xiàn)，所以這就需要我們平時(shí)多做這方面的習(xí)題掌握一些變形的規(guī)律.例4、證明：證明：例5、計(jì)算解：因，這里由推論3得總結(jié)：以上是Stolz定理應(yīng)用于計(jì)算數(shù)列極限，因數(shù)列可以看為整標(biāo)函數(shù)，即，故將定理推廣到實(shí)數(shù)集研究，事實(shí)上也是可以的?，F(xiàn)用定理2敘述之.定理2設(shè)⑴在區(qū)間內(nèi)有定義，﹥，而且在上有界⑵函數(shù)在單調(diào)增加，并且；⑶（A為有限數(shù)或），則同理，Stolz定理還可以推廣到區(qū)間、單調(diào)減少，區(qū)間為、單調(diào)減少，區(qū)間為、單調(diào)減少，區(qū)間為、單調(diào)增加等形式?，F(xiàn)用定理2來證明一題。例6：證明Cauchy定理：若函數(shù)定義于區(qū)間內(nèi)，﹥，，在這里假定右端的極限存在（有限數(shù)或）證：令顯然在由于故依定理2，即小結(jié)：此方法較之使用“”證明，要顯得簡(jiǎn)易得多。參考文獻(xiàn)