空間向量的應(yīng)用——例舉立體幾何問(wèn)題的解法考綱要求1、空間向量的概念及其運(yùn)算將平面向量的有關(guān)概念及其運(yùn)算推廣到空間，并理解其意義；掌握空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積；領(lǐng)悟類比和推廣的數(shù)學(xué)思維方法。2、空間向量及其與運(yùn)算的坐標(biāo)表示會(huì)用坐標(biāo)表示空間向量，會(huì)將空間向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算。3、空間直線的方向向量和平面的法向量會(huì)將線面的平行及其垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；會(huì)用向量方法證明簡(jiǎn)單的空間圖形中的直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直，以及解決一些簡(jiǎn)單的幾何證明問(wèn)題4、空間向量在度量問(wèn)題中的應(yīng)用會(huì)用向量方法進(jìn)行有關(guān)角的度量計(jì)算和有關(guān)距離的計(jì)算。有關(guān)角：異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角。有關(guān)距離：點(diǎn)到平面的距離、異面直線之間的距離。知識(shí)梳理一、空間向量的概念及其坐標(biāo)表示（參閱：理科課本P．39～47）1、空間向量的有關(guān)概念空間向量的模、零向量、單位向量、一個(gè)向量的負(fù)向量、向量的夾角等概念，皆等同于平面向量的相應(yīng)概念；空間向量運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積）以及其運(yùn)算律，都與平面向量的相應(yīng)概念、運(yùn)算及其運(yùn)算律具有相同的意義。平面向量分解定理的空間推廣（空間向量的基是由三個(gè)互不平行向量組成）。2、空間向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系、空間位置向量和空間向量的坐標(biāo)，以及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間位置中的定比分點(diǎn)公式、距離公式、向量的夾角公式。二、空間直線的方向向量和平面的法向量（參閱：理科課本P．48～52）1．直線的一個(gè)方向向量：平行與空間直線的非零向量．2．平面的一個(gè)法向量：垂直與平面的非零空間向量．3．直線、平面的三個(gè)基礎(chǔ)命題：（1）兩條直線平行或重合的充要條件是它們的方向向量互相平行；（2）一條直線與一個(gè)平面平行或在一個(gè)平面內(nèi)的充要條件是這條直線的方向向量垂直與該平面的法向量；（3）兩個(gè)平面平行或重合的充要條件是它們的法向量互相平行．三、課本練習(xí)：P．41～52練習(xí)3.1，3.2(1)、(2)、(3)，3.3(1)、(2)、(3)。四、空間向量在度量問(wèn)題中的應(yīng)用（參閱：理科課本P．53～57）1、求異面直線的夾角設(shè)、分別是異面直線、的方向向量，又與的夾角，則。特殊情形：。例1如圖，正方體中，求異面直線與所成角的大小。例2如圖，在正三棱柱中，分別是棱、的中點(diǎn)，，求異面直線與所成角的大小。2、求直線與平面所成的角直線與平面所成的角為，為直線的一個(gè)方向向量，是平面的法向量（如圖），則特殊情形：當(dāng)，則直線與平面垂直。例3如圖，在三棱椎中，平面，，分別是棱的中點(diǎn)，，，求直線與平面所成角的大小3、求二面角的大小如圖，設(shè)是兩相交平面、所成的平面角，是平面的一個(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量，則法向量夾角為，即。特殊情形：當(dāng)時(shí)，平面垂直平面。例4如圖，在正三棱柱中，分別是棱、的中點(diǎn)，，求二面角的大小。ABCDABCD（只要求在已知異面直線公垂線的條件下）如圖，是異面直線與的距離，是直線與的一個(gè)法向量，分別是直線、上的點(diǎn)，顯然又，則．例5如圖，在正三棱柱中，分別是棱、的中點(diǎn)，，求異面直線與的距離。5、求點(diǎn)到平面的距離如圖，點(diǎn)到平面的距離而，則（是平面的一個(gè)法向量）例6如圖，在三棱椎中，平面，，分別是棱的中點(diǎn)，，，求點(diǎn)到平面的距離。利用這個(gè)公式，不僅可解決點(diǎn)到平面的距離，還可推廣到直線與平面平行時(shí)的距離以及平行的兩個(gè)平面之間的距離問(wèn)題：（1）若平面（其中是直線的方向向量，是平面的法向量）；（2）平面平面(其中、為平面的法向量)6、空間向量的綜合應(yīng)用例7在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，平面平面，為的中點(diǎn)（1）證