提示

=[Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)]e

x

[Q

(x)+2

Q

(x)+

2Q(x)]e

x+p[Q

(x)+

Q(x)]e

x+qQ(x)e

x一、

f(x)

Pm(x)e

x

型y*

Q(x)e

x

設(shè)方程y

py

qy

Pm(x)e

x特解形式為下頁Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得[Q(x)e

x][Q(x)e

x]q[Q(x)e

x]y*

py*

qy*第一頁第二頁，共11頁。提示

此時

2

p

q

0

要使(＊)式成立

Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項式

Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則y*

Qm(x)e

x

下頁一、

f(x)

Pm(x)e

x

型y*

Q(x)e

x

設(shè)方程y

py

qy

Pm(x)e

x特解形式為Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得第二頁第三頁，共11頁。提示

此時

2

p

q

0

但2

p

0

要使(＊)式成立

Q(x)應(yīng)設(shè)為m

1次多項式

Q(x)

xQm(x)

其中Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(2)如果

是特征方程r2

pr

q

0的單根,則y*

xQm(x)e

x

下頁(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則y*

Qm(x)e

x

一、

f(x)

Pm(x)e

x

型y*

Q(x)e

x

設(shè)方程y

py

qy

Pm(x)e

x特解形式為Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得第三頁第四頁，共11頁。提示:此時

2

p

q

0

2

p

0

要使(＊)式成立

Q(x)應(yīng)設(shè)為m

2次多項式

Q(x)

x2Qm(x)

其中Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(3)如果

是特征方程r2

pr

q

0的重根,則y*

x2Qm(x)e

x

下頁(2)如果

是特征方程r2

pr

q

0的單根,則y*

xQm(x)e

x

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則y*

Qm(x)e

x

一、

f(x)

Pm(x)e

x

型y*

Q(x)e

x

設(shè)方程y

py

qy

Pm(x)e

x特解形式為Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得第四頁第五頁，共11頁。結(jié)論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y

py

qy

Pm(x)e

x有形如y*

xkQm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

下頁第五頁第六頁，共11頁。提示

因為f(x)

Pm(x)e

x

3x

1

0不是特征方程的根

所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*

b0x

b1

把它代入所給方程

得

例1求微分方程y

2y

3y

3x

1的一個特解

解

齊次方程y

2y

3y

0的特征方程為r2

2r

3

0

[b0x

b1]

2[b0x

b1]

3[b0x

b1]

3b0x

2b0

3b1

2b0

3b0x

3b1

3b0x

2b0

3b1

3x

1

提示

3b0

3

2b0

3b1

1

特解形式第六頁第七頁，共11頁。例2求微分方程y

5y

6y

xe2x的通解

解

齊次方程y

5y

6y

0的特征方程為r2

5r

6

0

其根為r1

2

r2

3

提示

齊次方程y

5y

6y

0的通解為Y

C1e2x

C2e3x

因為f(x)

Pm(x)e

x

xe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*

x(b0x

b1)e2x

把它代入所給方程

得

2b0x

2b0

b1

x

提示

2b01

2b0

b10>>>

特解形式第七頁第八頁，共11頁。首頁例2求微分方程y

5y

6y

xe2x的通解

解

齊次方程y

5y

6y

0的特征方程為r2

5r

6

0

其根為r1

2

r2

3

2b0x

2b0

b1

x

因此所給方程的通解為因為f(x)

Pm(x)e

x

xe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*

x(b0x

b1)e2x

把它代入所給方程

得特解形式第八頁第九頁，共11頁。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y

py

qy

e

x[Pl(x)cos

x

Pn(x)sin

x]有形如y*

xke

x[R(1)m(x)cos

x

R(2)m(x)sin

x]的特解

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次