八年級數(shù)學上分層優(yōu)化堂堂清十四章整式的乘法與因式分解14.3.2公式法（第二課時）（解析版）學習目標：1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．2.靈活應用各種方法分解因式，并能利用因式分解進行計算．重點：運用完全平方公式分解因式.難點：觀察多項式的特點，判斷是否符合公式的特征和綜合運用分解的方法，并完整地進行分解.老師對你說：知識點1完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.注意：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點2綜合完全平方公式平方差公式分解因式因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．基礎(chǔ)提升教材核心知識點精練知識點1判斷能否利用完全平方公式因式分解【例11】下列多項式能直接用完全平方公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式進行分解逐一判斷，即可解答．【詳解】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合題意；B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合題意；C、x2+xy+y2＝（x+y）2，故C不符合題意；D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【例12】下列各式中，能直接運用完全平方公式進行因式分解的是（

）A．4x2+8x+1 B．x24x+16 C．x26xy9y2 D．【答案】B【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：由所以能直接運用完全平方公式進行因式分解的是，故選：B．【點睛】此題考查了因式分解運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【例13】下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)每個多項式的特征，結(jié)合平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，綜合進行判斷即可．【詳解】解：①x2y2=(x2+y2)，因此①不能用公式法分解因式；②a2b2+1=1(ab)2=(1+ab)(1ab)，因此②能用公式法分解因式；③a2+ab+b2不符合完全平方公式的結(jié)果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x2+2xy﹣y2=(x2﹣2xy+y2)=(xy)2，因此④能用公式法分解因式；⑤mn+m2n2=(mn)2，因此⑤能用公式法分解因式；綜上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故選：B．【點睛】本題考查了因式分解運用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是應用的前提．知識點2直接用完全平方公式分解因式【例21】分解因式：___________________．【答案】【分析】運用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：【點睛】此題考查了公式法進行因式分解，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【例22】下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（寫題號）________．①②③④【答案】②，③，④【分析】利用完全平方公式對選項逐個判定即可求解．【詳解】解：①，不能按照完全平方公式分解因式，不符合題意；②，可以按照完全平方公式分解因式，符合題意；③，可以按照完全平方公式分解因式，符合題意；④，可以按照完全平方公式分解因式，符合題意；故答案為：②，③，④【點睛】此題考查了利用完全平方公式進行因式分解，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【例23】因式分解：____________．【答案】【分析】先把括號里邊的展開，然后利用公式法因式分解即可．【詳解】解：原式===故答案為：【點睛】本題主要考查公式法因式分解，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．知識點3綜合完全平方公式平方差公式因式分解【例31】因式分解：【答案】【分析】先利用完全平方公式進行分解，然后再利用平方差公式進行分解即可．解：===．【點撥】本題考查了利用公式法因式分解，熟練掌握完全平方公式及平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．【例32】運用公式法因式分解：；(2)；；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)首先提取公因式,再利用完全平方公式進行二次分解;(2)直接利用完全平方公式進行分解即可.(3)先提取公因式，再對余下的多項式利用平方差公式分解為，然后再用完全平方公式繼續(xù)分解.(4)先提取公因式，再對余下的多項式用完全平方公式繼續(xù)分解，對公因式利用平方差公式分解因式.;．（3）..【點撥】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，在分解因式時，首先考慮提取公因式，然后考慮公式法，注意分解一定要徹底.【例33】分解因式：(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【答案】(1)(a＋1)4(2)(b2－b＋2)2試題分析：(1)設(shè)a2＋2a＝m,原式轉(zhuǎn)化為:(m－2)(m＋4)＋9,然后先利用整式乘法法則展開可得:m2＋4m－2m－8＋9,即m2＋2m＋1,利用完全平方公式因式分解可得(m＋1)2,最后將m替換為a2＋2a即可,(2)設(shè)b2－b＝n,原式轉(zhuǎn)化為:(n＋1)(n＋3)＋1,然后先利用整式乘法法則展開可得:n2＋3n＋n＋3＋1,即n2＋4n＋4,利用完全平方公式因式分解可得(n＋2)2,最后將n替換為b2－b即可.解：(1)設(shè)a2＋2a＝m,則原式＝(m－2)(m＋4)＋9,＝m2＋4m－2m－8＋9,＝m2＋2m＋1,＝(m＋1)2,＝(a2＋2a＋1)2,＝(a＋1)4.(2)設(shè)b2－b＝n,則原式＝(n＋1)(n＋3)＋1,＝n2＋3n＋n＋3＋1,＝n2＋4n＋4,＝(n＋2)2,＝(b2－b＋2)2.知識點4完全平方公式因式分解的應用【例41】計算：；(2).【答案】(1)10000;(2)16.【分析】（1）根據(jù)式子中有兩個平方，并且有三項，所以驗證滿足完全平方公式，然后轉(zhuǎn)化成完全平方公式再進行計算；（2）根據(jù)式子中有兩個平方，然后驗證中間項是否滿足完全平方公式，最后轉(zhuǎn)化成完全平方公式再進行計算.解：（1）（2）【點撥】本題考查利用完全平方公式進行簡便運算，當看到計算的式子中有三項，并且其中兩項是平方項，第三項滿足2倍乘積的關(guān)系，都可以先化成完全平方公式再進行計算.【例42】已知：a，b，c是三角形的三邊，且滿足．求證：這個三角形是等邊三角形．【答案】見分析【分析】根據(jù)完全平方式將原式變形為，結(jié)合平方的非負性即可計算得到正確答案．解：∵==∴原式可變形為：=∵，∴∴∴即這個三角形是等邊三角形．【點撥】本題考查完全平方式的應用，平方非負性的應用，根據(jù)相關(guān)知識點靈活應用是解題關(guān)鍵．【例43】（1）已知、滿足，求的值；（2）若一個三角形的三邊、、滿足，試說明該三角形是等邊三角形．【答案】（1）1；（2）說明見分析．【分析】（1）先把原等式化為：，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求解從而可得答案；（2）先把條件化為：，再利用非負數(shù)的性質(zhì)可得：從而可得結(jié)論.解：（1）解得：（2）為等邊三角形【點撥】本題考查的是完全平方式的靈活運用，因式分解的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟練確定一個代數(shù)式是完全平方式是解題的關(guān)鍵.【例44】請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式的最小值．，∵≥0，∴當時，有最小值．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：（1），則的值是______；（2）求證：無論x取何值，代數(shù)式的值都是正數(shù)；（3）若代數(shù)式的最小值為2，求k的值．【答案】（1）10；（2）見分析；（3）k=±2【分析】（1）根據(jù)所作的變形確定出a、b的值即可得；（2）根據(jù)材料中的方法進行變形后，利用平方數(shù)的特性即可得證；（3）根據(jù)材料中的方法進行變形后即可進行確定．解：（1），所以a=2，b=5，所以的值是10，故答案為10；（2）x2+2x+7=x2+2x+()2()2+7=（x+）2+1，∵（x+）2≥0，∴x2+2x+7最小值為1，∴無論x取何值，x2+2x+7的值都是正數(shù)；（3）2x2+kx+7=（x）2+2×x×k+（k）2（k）2+7=（x+k）2k2+7，∵（x+k）2≥0，∴（x+k）2k2+7的最小值是k2+7，∴k2+7=2，∴k=±2．能力提升訓練1.某同學粗心大意，分解因式時，把式子中的a4﹣⊕＝（a2﹣b）（a2+b）一部分弄污了，那么你認為式子中的⊕所對應的代數(shù)式是（）A．b B．b2 C．2b D．b4【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【解答】解：a4﹣b2＝（a2﹣b）（a2+b），則式子中的⊕所對應的代數(shù)式是b2．故選：B．2.已知a≠c，若M＝a2﹣ac，N＝ac﹣c2，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能確定【分析】先利用作差法，再分解因式進行求解．【解答】解：∵a≠c，∴a﹣c≠0，∴M﹣N＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＞0，∴M＞N，故選：A3.對于任意實數(shù)a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，則下列關(guān)系式正確的是（）A．a(chǎn)3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a(chǎn)3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C．a(chǎn)3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a(chǎn)3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所給公式中的b換成﹣b，進行計算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a?（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故選：A．4.邊長為a，b的長方形的周長為14，面積為10，則a3b+ab3+2a2b2的值為490．【分析】由邊長為a，b的長方形的周長為14，面積為10，可得a+b＝7，ab＝10，將原式化為ab（a+b）2，再整體代入計算即可．【解答】解：∵邊長為a，b的長方形的周長為14，面積為10，∴a+b＝7，ab＝10，∴原式＝ab（a2+b2+2ab）＝ab（a+b）2＝10×72＝490，故答案為490．堂堂清選擇題（每小題4分，共32分）1．多項式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用平方差公式、完全平方公式對兩個多項式進行因式分解，再根據(jù)公因式的定義即可得．【詳解】解：，，則多項式與的公因式是，故選：B．【點睛】本題考查了利用公式法進行因式分解、公因式，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．2．下列多項式能直接用完全平方公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式進行分解逐一判斷，即可解答．【詳解】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合題意；B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合題意；C、x2+xy+y2＝（x+y）2，故C不符合題意；D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．已知下列多項式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式進行因式分解的有（

）A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)，逐個分析判斷即可求解．【詳解】解：①不能用完全平方公式進行因式分解；②，能用完全平方公式進行因式分解；③不能用完全平方公式進行因式分解；④，能用完全平方公式進行因式分解；因此能用完全平方公式進行因式分解的有②④．故選：C．【點睛】本題考查用完全平方公式進行因式分解，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．4．計算：125250×125+252=(

)A．100 B．150 C．10000 D．22500【答案】C【詳解】試題分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．故選C．點睛：本題考查了完全平方公式的應用，熟記完全平方公式的特點是解決此題的關(guān)鍵．5．已知能運用完全平方公式因式分解，則的值為（

）A．12 B． C．24 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，由此即可得到答案．【詳解】解：能運用完全平方公式因式分解，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．若a+b+1=0，則3a2+3b2+6ab的值是(

)A．1 B．1 C．3 D．3【答案】C【分析】對3a2+3b2+6ab利用完全平方的方法進行因式分解,將a+b=1代入即可求值.【詳解】解：∵3a2+3b2+6ab=3（a+b）2,∵a+b+1=0，即a+b=1，∴原式=3×（1）2=3,故選C.【點睛】本題考查了用完全平方的方法化簡求值,屬于簡單題,熟悉整體代入的思想,用完全平方的方法因式分解是解題關(guān)鍵.7．如圖，小明準備設(shè)計一個長方形的手工作品，已知長方形的邊長為a、，周長為20，面積為16，請計算的值為（

）A．96 B．480 C．320 D．160【答案】A【分析】根據(jù)長方形的周長和面積求出a+b和ab的值，根據(jù)完全平方公式的變形得到ab的值，對多項式進行因式分解，整體代入求值即可．【詳解】解：∵長方形的邊長為A、b（a＞b），周長為20，面積為16，∴2（a+b）=20，ab=16，∴a+b=10，∴（ab）2=（a+b）24ab=1024×16=10064=36，∵a＞b，∴ab=6，∴原式=ab（ab）=16×6=96．故選：A．【點睛】本題考查了因式分解提公因式法，掌握（ab）2=（a+b）24ab是解題的關(guān)鍵．8．若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式進行因式分解，則m的值為（

）A．﹣3 B．1 C．﹣3，1 D．﹣1，3【答案】D【分析】利用完全平方公式的運算判斷即可．【詳解】∵x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式進行因式分解，∴m﹣1＝±2，解得：m＝﹣1或m＝3．故選：D．【點睛】此題考查使用完全平方公式的條件，屬于基礎(chǔ)題．填空題（每小題4分，共20分）9.因式分解：m28m+16=________．【答案】（m4）2【分析】先將原式寫成完成平方公式的形式，然后運用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】解：m28m+16=m28m+42=（m4）2．故答案是（m4）2．【點睛】本題主要考查了運用完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點是解答本題的關(guān)鍵．10.因式分解：__________．【答案】（m+3）2##（3+m）2【分析】先計算第一部分的乘法運算，再運用公式法分解因式即可．【詳解】解：＝m2+6m+9＝（m+3）2．故答案為：（m+3）2．【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確運用完全平方公式是解題關(guān)鍵．11.若，則的值為______．【答案】2【分析】先把所求式子的前三項分解因式得到，然后整體代入計算即得答案．【詳解】解：∵，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查了多項式的因式分解和代數(shù)式求值，屬于?？碱}型，熟練掌握分解因式的方法和整體的數(shù)學思想是解題的關(guān)鍵．12.若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，則k的值為_____．【答案】13或?11【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出k的值．【詳解】∵4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，∴﹣（k﹣1）＝±12，解得：k＝13或?11，故答案為：13或?11．【點睛】此題考查了因式分解?運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．13.已知，則________.【答案】2【分析】先把元二元二次方程化簡，得到利用非負數(shù)性質(zhì)求出x，y，即可求出x+y的值.【詳解】解：整理得：∴∴，∴，∴；故答案為：2.【點睛】本題考查了因式分解和整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方式的變形求值.三、解答題（共6小題，48分）14.（8分）因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解；（2）先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解；（3）先提公因式，，然后根據(jù)平方差公式因式分解；（4）先提公因式，即可求解．（1）解：原式＝；（2）解：原式＝；（3）解：原式＝；（4）解：原式．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．15.（8分）如果，求的值?！敬鸢浮?【分析】先對已知條件進行變形得到xy=2，再對所求代數(shù)式變形得到，最后把（xy）的值整體代入即可得到解答．解：由可得xy=2，∵，∴原式=．【點撥】本題考查整式的化簡與求值，靈活運用整式的運算法則及整體代入法計算是解題關(guān)鍵．16.（8分）下面是嘉淇同學把多項式﹣16my2+4mx2分解因式的具體步驟：﹣16my2+4mx2利用加法交換律變形：＝4mx2﹣16my2……第一步提取公因式m：＝m（4x2﹣16y2）……第二步逆用積的乘方公式＝m[（2x）2﹣（4y）2]……第三步運用平方差公式因式分解＝m（2x+4y）（2x﹣4y）……第四步（1）事實上，嘉淇的解法是錯誤的，造成錯誤的原因是公因式?jīng)]有提取完；（2）請給出這個問題的正確解法．【分析】（1）觀察嘉淇的解法，找出錯誤的原因即可；（2）寫出正確的解法即可．【解答】解：（1）事實上，嘉淇的解法是錯誤的，造成錯誤的原因是公因式?jīng)]有提取完；故答案為：公因式?jīng)]有提取完；（2）原式＝4m（x2﹣4y2）＝4m（x+2y）（x﹣2y）．17.（8分）先閱讀下列材料，再解答下列問題：因式分解：．解：將“x＋y”看成整體，令x＋y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2再將“A”還原，得原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到得是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：1＋2（x－y）＋（x－y）2＝(2)因式分解：（x＋y）（x＋y＋18）＋81【答案】(1)（xy+1）2(2)（x+y+9）2【分析】（1）把（xy）看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）令A=x+y，代入后因式分解后代入即可將原式因式分解．（1）解：1+2（xy）+（xy）2=（xy+1）2；（2）令A=x+y，則原式=A（A+18）+81=A2+18A+81=（A+9）2，故（x+y）（x+y+18）+81=（x+y+9）2．【點撥】本題考查了因式分解的應用，解題的關(guān)鍵是仔細讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．18.（8分）已知，先因式分解，再求值：．【答案】；【分析】先將公共因式提出來，然后利用完全平方公式求解即可．【詳解】解：當，時，原式．【點睛】本題考查因式分解的應用、完全平方公式，解題的關(guān)鍵是提出公共因式．19.（8分）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+11=a2+6a+91=(a+3)2－12=②M=a22a－1，利用配方法求M的最小值．解：∵(ab)2≥0，∴當a=1時，M有最小值－2．請根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）用配方法因式分解：．（2）若，求M的最小值．（3）已知x2+2y2+z22xy2y4z+5=0，求x+y+z的值．【答案】（1）；（2）；（3）4．【分析】（1）根據(jù)配方法，配湊出一個完全平方公式，再利用公式法進行因式分解即可；（2）先利用配方法，配湊出一個完全平方公式，再根據(jù)偶次方的非負性求解即可；（3）先利用配方法進行因式分解，再利用偶次方的非負性求出x、y、z的值，