20232024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊同步配套教學(xué)講義與重難點突破（人教版）14.2乘法公式1.理解平方差公式的推理和證明，掌握平方差公式及其應(yīng)用；2.理解完全平方公式的推理和證明，掌握完全平方公式及其應(yīng)用。一、平方差公式1.平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2。2.語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。【理解和拓展】記憶平方差公式口訣兩數(shù)和乘兩數(shù)差，等于兩數(shù)平方差。積化和差變兩項，完全平方不是它。3.幾何圖形表示如下：4.公式的特點：①公式中的a和b可以是實數(shù)，也可以是單項式或多項式。②公式的左邊是兩個數(shù)(式)的和與這兩個數(shù)(式)的差的積，公式的右邊是這兩個數(shù)(式)的平方差(先平方后作差)。【理解和拓展】①利用平方差公式進(jìn)行乘法計算時，要看清題目是否符合公式的特點，不符合平方差公式特點的，不能用平方差公式；對于符合平方差公式的，結(jié)果要用相同項的平方減去相反項的平方，千萬不要顛倒了。②要注意辨別因式中哪些相當(dāng)于公式中的a(完全相同的部分)，哪些相當(dāng)于公式中的b(符號相反的部分)。題型一運用平方差公式進(jìn)行運算計算：．1．化簡：．2．已知，則．題型二平方差公式與幾何圖形如圖所示可以驗證哪個乘法公式用式子表示為．1．如圖1所示，從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形，再沿著線段剪開，把剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形，請寫出上述過程所揭示的乘法公式．2．如圖1，將邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示長方形．這兩個圖能解釋一個等式是．二、完全平方公式1.兩數(shù)和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2。兩數(shù)差的完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2。2.語言敘述：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們的積的2倍。3.幾何圖形表示如下：4.公式的特點：兩個公式左邊都是一個二項式的完全平方，二者僅差一個“符號”不同，右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅差一個“符號”不同。5.添括號法則(1)字母表示：a+b+c=a+(b+c)，abc=a(b+c)。(2)法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號?！纠斫夂屯卣埂刻砝ㄌ枙r，如果括號前面是負(fù)號，括到括號里面的各項都改變符號，不可只改變部分項的符號，如ab+c=a(b+c)，這樣添括號只是改變了第一項的符號，而第二項的符號沒有改變，所以是錯誤的。題型三運用完全平方公式運算當(dāng)時，代數(shù)式的值是．1．已知，滿足，則．2．若，則．題型四運用完全平方公式求值已知，，則．1．若，，則．2．已知，則的值為．題型五完全平方公式在幾何中的應(yīng)用4張長為a、寬為b（）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為（）的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．（1）若，，則．（2）若，求a與b滿足關(guān)系：．1．如圖1，是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，則每個小長方形的寬為，然后用四個小長方形拼成如圖2所示的正方形，則圖中陰影正方形的面積為．2．如圖，將邊長為的正方形的邊長增加，根據(jù)圖形面積的兩種不同計算方式寫一個等式．一、單選題1．下列整式的乘法計算中能運用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．2．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（

）A． B．C． D．3．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．4．已知實數(shù)a，b滿足，，則的值為（

）A．13 B．16 C．19 D．215．若是一個完全平方式，那的值是（

）A． B． C． D．6．如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形，剩余部分沿虛線剪下，拼成一個長方形（不重疊無縫隙），則此長方形的面積為（

）A． B．C． D．7．計算的結(jié)果是（

）．A． B． C．1 D．8．下列計算：①；②；③（；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．已知是一個完全平方式，則10．若，，則11．若，則．12．如圖，現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片．（1）若，則甲紙片與乙紙片的面積差為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片塊，再取乙紙片塊，還需取丙紙片塊．三、解答題13．計算．(1)．(2)．(3)．(4)．14．發(fā)現(xiàn)：兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和驗證：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為2和1，則，10為偶數(shù)，且10的一半5也可表示為探究：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為m，n，請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．15．規(guī)定一種新運算：，如．(1)計算．(2)已知，求（1）中代數(shù)式的值．16．（1）填空：______；______；______；（2）猜想：______（為正整數(shù)，且）；（3）直接利用（2）猜想的結(jié)論計算：17．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到，請解答下列問題：(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；(2)根據(jù)整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式；(3)若，，利用得到的結(jié)論，求的值．(4)仿照上面的方法，求______，并畫出圖形加以驗證．18．利用我們學(xué)過的完全平方公式：，可以導(dǎo)出下面這個等式：該等式不僅保持了結(jié)構(gòu)的對稱性，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧性、簡潔美．(1)請嘗試把上面等式從左到右進(jìn)行推導(dǎo)，驗證其正確性；(2)利用上面等式進(jìn)行計算：．19．對完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃慰梢越鉀Q很多數(shù)學(xué)問題，例如：若，，求的值．解：因為，所以，即：，又因為，所以．根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：(1)若，．求的值；(2)填空：若．則______；(3)如圖，點C是線段上的一點，以、為邊向兩