線性方程組的求解整理課件●線性方程組的一般形式（1）記則有矩陣形式

整理課件（1）則方程組有向量形式

●線性方程組的向量形式記整理課件●線性方程組的一般形式（1）當時，稱方程組（1）為齊次線性方程組；當，稱方程組（1）為非齊次線性方程組。整理課件●齊次線性方程組的解的性質(zhì)解向量：方程組的解構(gòu)成向量稱為解向量。結(jié)論：齊次線性方程組的解的任意線性組合還是該方程組的解。1、如果是齊次線性方程組的解，則也是方程組的解。

2、如果是齊次線性方程組的解，則也是方程組的解。

●基礎解系的概念如果齊次線性方程組的解向量組線性無關(guān)，方程組的任意解可由該向量組線性表示，則該組解向量稱為方程組的一個基礎解系。注：基礎解系是不惟一的。整理課件●齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

定理如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，則齊次線性方程組有基礎解系，基礎解系中含有個解向量。證明：見書P267

定理如果齊次線性方程組的基礎解系為，則方程組的通解為其中為任意常數(shù)。整理課件例求解齊次線性方程組，用基礎解系表示通解。解將系數(shù)矩陣A作行初等變換

方程組的一般解為所以（其中為自由未知量）整理課件改寫為向量形式，得其中即為基礎解系方程組的一般解為整理課件●非齊次線性方程組的解的性質(zhì)非齊次線性方程組對應的齊次線性方程組如果是（1）的解，則是（2）的解。

如果是（1）的解，是（2）的解，則是（1）的解。證明

證明

整理課件●非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理如果是非齊次線性方程組的特解，是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系，則非齊次線性方程組的通解可表示為。例設三元非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A的秩為2，且它的三個解向量滿足，求AX=b的通解。解

由題設知：方程組AX=0的基礎解系中只含有一個解向量即為一基礎解系即為一特解所以原方程組的通解為整理課件●非齊次線性方程組有解的充要條件非齊次線性方程組AX=b有解

向量b可由矩陣A的列向量組線性表示

向量組與向量組等價

其中，稱為增廣矩陣定理線性方程組AX=b有解的充分必要條件是：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即。當時，方程組有惟一解；當時，方程組有無窮多解；當時，方程組無解。整理課件例求解線性方程組解將增廣矩陣作行初等變換

整理課件所以方程組有無窮多解一般解為（其中Z為自由未知量）令Z=K，將一般解改寫為向量形式，得其中為基礎解系整理課件例求解線性方程組，當K為何值時，方程組有（1）唯一解？（2）無解？（3）無窮多解？并用基礎解系表示通解。解方程組的系數(shù)行列式為（1）當且時，方程組有唯一解。（2）當