第1頁(yè)（共1頁(yè)）第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽試卷（小學(xué)組）一、填空題（共8小題，每小題10分，滿分80分）1．（10分）1+3+5+7＝．2．（10分）工程隊(duì)的8個(gè)人用30天完成了某項(xiàng)工程的，接著增加了4個(gè)人完成了其余的工程，那么完成這項(xiàng)工程共用了天．3．（10分）甲乙兩人騎自行車同時(shí)從A地出發(fā)去B地，甲的車速是乙的車速的1.2倍．乙騎了5千米后，自行車出現(xiàn)故障，耽誤的時(shí)間可以騎全程的．排除故障后，乙的速度提高了60%，結(jié)果甲乙同時(shí)到達(dá)B地．那么A，B兩地之間的距離為千米．4．（10分）在火車站的鐘樓上裝有一個(gè)電子報(bào)時(shí)鐘，在圓形鐘面的邊界，每分鐘的刻度處都有一個(gè)小彩燈，晚上9時(shí)35分20秒時(shí)，在分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角內(nèi)有個(gè)小彩燈．5．（10分）在邊長(zhǎng)為1厘米的正方形ABCD中，分別以A、B、C、D為圓心，1厘米為半徑畫四分之一圓，交點(diǎn)E、F、G、H，如圖，則中間陰影部分的周長(zhǎng)為厘米．（取圓周率π＝3.141）6．（10分）用40元錢購(gòu)買單價(jià)分別為2元、5元和11元的三種練習(xí)本，每種至少買一本，而且錢恰好花完．則不同的購(gòu)買方法有種．7．（10分）已知某個(gè)幾何體的三視圖如右圖，根據(jù)圖中標(biāo)示的尺寸（單位：厘米），這個(gè)幾何體的體積是（立方厘米）8．（10分）將自然數(shù)1～22分別填在下面的“□”內(nèi)（每個(gè)“□”只能填一個(gè)數(shù)），在形成的11個(gè)分?jǐn)?shù)中，分?jǐn)?shù)值為整數(shù)的最多能有個(gè)二、解答題（共6小題，滿分70分）9．（10分）長(zhǎng)方形ABCD的面積是2011平方厘米．梯形AFGE的頂點(diǎn)F在BC上，D是腰EG的中點(diǎn)．試求梯形AFGE的面積．10．（10分）公交車的線路號(hào)是由數(shù)字顯示器顯示的三位數(shù)，其中每個(gè)數(shù)字是由橫豎放置的七支熒光管顯示，如圖所示．某公交車的數(shù)字顯示器有兩支壞了的熒光管不亮，顯示的線路號(hào)為“351”，則該公交車的線路號(hào)有哪些可能？11．（10分）設(shè)某年中有一個(gè)月里有三個(gè)星期日的日期為奇數(shù)，則這個(gè)月的20日可能是星期幾？12．（10分）以[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)自然數(shù)n滿足[]+[]+[]+…+[]+[]＞2011，則n的最小值是多少？13．（15分）在如圖的加法豎式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字．問(wèn)：滿足要求的不同算式共有多少種？14．（15分）如圖，兩只蜘蛛同處在一個(gè)正方體的頂點(diǎn)A，而一只爬蟲(chóng)處在A的體對(duì)頂點(diǎn)G，假設(shè)蜘蛛和爬蟲(chóng)均以同樣的速度沿正方體的棱移動(dòng)，任何時(shí)候它們都知道彼此的位置，蜘蛛能預(yù)判爬蟲(chóng)的爬行方向，試給出一個(gè)兩只蜘蛛必定捉住爬蟲(chóng)的方案．

第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽試卷（小學(xué)組）參考答案與試題解析一、填空題（共8小題，每小題10分，滿分80分）1．（10分）1+3+5+7＝18．【分析】根據(jù)加法結(jié)合律和加法交換律進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：1+3+5+7＝1++3++5++7+＝（1+3+5+7）+（+++）＝16+2＝18故答案為：18．2．（10分）工程隊(duì)的8個(gè)人用30天完成了某項(xiàng)工程的，接著增加了4個(gè)人完成了其余的工程，那么完成這項(xiàng)工程共用了70天．【分析】把這項(xiàng)工程看作單位“1”，用“÷30÷8＝”求出1人1天的工作效率，則12個(gè)人工作效率和為×12＝，求出剩下的工作總量，然后根據(jù)：工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間“求出后來(lái)用的時(shí)間，進(jìn)而求出完成這項(xiàng)工程共用的時(shí)間．【解答】解：一個(gè)人的工作效率是÷30÷8＝，12個(gè)人的工作效率和為×12＝，共需：（1﹣）÷+30＝40+30＝70（天）答：一共用了70天．故答案為：70．3．（10分）甲乙兩人騎自行車同時(shí)從A地出發(fā)去B地，甲的車速是乙的車速的1.2倍．乙騎了5千米后，自行車出現(xiàn)故障，耽誤的時(shí)間可以騎全程的．排除故障后，乙的速度提高了60%，結(jié)果甲乙同時(shí)到達(dá)B地．那么A，B兩地之間的距離為45千米．【分析】根據(jù)題意可知，甲乙的車速比是1.2：1＝6：5，所以所用時(shí)間比為5：6，不妨設(shè)甲用時(shí)5t，則乙原定時(shí)間為6t，乙因故障耽誤的時(shí)間為×6t＝t，而最后全程用時(shí)5t，所以故障排除后，乙的提速使它節(jié)省了2t的時(shí)間．提速后的速度與原來(lái)速度比為1.6：1＝8：5，所以時(shí)間比為5：8，節(jié)省了三份的時(shí)間，所以每份為t，所以這段路原計(jì)劃用時(shí)t×8＝t，所以一開(kāi)始的5千米原計(jì)劃用時(shí)是6t﹣t＝t，所以A、B之間的距離為5×（6t÷t），然后計(jì)算即可．【解答】解：甲乙的車速比是1.2：1＝6：5，所以所用時(shí)間比為5：6；設(shè)甲用時(shí)5t，則乙原定時(shí)間為6t；乙因故障耽誤的時(shí)間為×6t＝t，而最后全程用時(shí)5t，所以故障排除后，乙的提速使它節(jié)省了2t的時(shí)間．提速后的速度與原來(lái)速度比為1.6：1＝8：5，所以時(shí)間比為5：8，節(jié)省了三份的時(shí)間，所以每份為t，所以這段路原計(jì)劃用時(shí)t×8＝t，所以一開(kāi)始的5千米原計(jì)劃用時(shí)是6t﹣t＝t，所以A、B之間的距離為：5×（6t÷t），＝5×9，＝45（千米）；故答案為：45．4．（10分）在火車站的鐘樓上裝有一個(gè)電子報(bào)時(shí)鐘，在圓形鐘面的邊界，每分鐘的刻度處都有一個(gè)小彩燈，晚上9時(shí)35分20秒時(shí)，在分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角內(nèi)有12個(gè)小彩燈．【分析】先求出晚上9時(shí)35分20秒時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角；再根據(jù)表盤共被分成60小格，每一大格所對(duì)角的度數(shù)為30°，每一小格所對(duì)角的度數(shù)為6°，即可求出晚上9時(shí)35分20秒時(shí)針與分針間隔的分鐘的刻度，從而求出晚上9時(shí)35分20秒時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角內(nèi)裝有的小彩燈個(gè)數(shù)．【解答】解：晚上9時(shí)35分20秒時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角為：9×30°+35×0.5°+20×0.5°÷60﹣（7×30°+20×6°÷60）＝270°+17.5°+10°÷60﹣210°﹣2°＝（75）°（75）°÷6≈12（個(gè)）．故在分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角內(nèi)有12個(gè)小彩燈．故答案為：12．5．（10分）在邊長(zhǎng)為1厘米的正方形ABCD中，分別以A、B、C、D為圓心，1厘米為半徑畫四分之一圓，交點(diǎn)E、F、G、H，如圖，則中間陰影部分的周長(zhǎng)為2.094厘米．（取圓周率π＝3.141）【分析】如圖所示：由題意很容易就可以得出△ABF為等邊三角形，則弧為圓，同理弧也為圓，所以?。?﹣＝圓，同理其余三段也為圓，故周長(zhǎng)＝圓，再據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可得解．【解答】解：依題易知△ABF為等邊三角形，故弧為圓，同理弧也為圓，所以?。?﹣＝圓，同理其余三段也為圓，故陰影部分的周長(zhǎng)＝圓×4＝圓＝＝2.094（厘米）；答：中間陰影部分的周長(zhǎng)為2.094厘米．6．（10分）用40元錢購(gòu)買單價(jià)分別為2元、5元和11元的三種練習(xí)本，每種至少買一本，而且錢恰好花完．則不同的購(gòu)買方法有5種．【分析】每種先都減去1本，剩余40﹣2﹣5﹣11＝22元．然后根據(jù)剩余的錢數(shù)，分類解答，解決問(wèn)題．【解答】解：每種先都減去1本，剩余40﹣2﹣5﹣11＝22元．如果再買2本11元的，恰好用完，計(jì)1種方法；如果再買1本11元的，剩余11元，可以買1本5元和3本2元，計(jì)1種方法；如果不再買11元的，22元最多買4本5元的，5元的本數(shù)可以是4，2，0，計(jì)3種方法．共有1+1+3＝5種方法．答：不同的購(gòu)買方法有5種．7．（10分）已知某個(gè)幾何體的三視圖如右圖，根據(jù)圖中標(biāo)示的尺寸（單位：厘米），這個(gè)幾何體的體積是2666（立方厘米）【分析】由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，分別確定底面積和高，利用錐體的體積公式求解即可．【解答】解：由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，底面ABCD為邊長(zhǎng)為20cm的正方體，OE⊥CD且E是CD的中點(diǎn)，所以棱錐的高OE＝20cm．所以四棱錐的體積為×202×20＝×400×20＝2666（cm3）．答：這個(gè)幾何體的體積是2666cm3．故答案為：2666．8．（10分）將自然數(shù)1～22分別填在下面的“□”內(nèi)（每個(gè)“□”只能填一個(gè)數(shù)），在形成的11個(gè)分?jǐn)?shù)中，分?jǐn)?shù)值為整數(shù)的最多能有10個(gè)【分析】分值為整數(shù)，說(shuō)明分母是分子的約數(shù)．大于11的質(zhì)數(shù)13、17、19要想構(gòu)成分值為整數(shù)的分?jǐn)?shù)，只能做1的分子．然后寫出這幾個(gè)數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)分析可知，22個(gè)數(shù)最多能構(gòu)成的整數(shù)為：，，，，，，，，，．所以分?jǐn)?shù)值為整數(shù)的最多能有10個(gè)．故答案為：10．二、解答題（共6小題，滿分70分）9．（10分）長(zhǎng)方形ABCD的面積是2011平方厘米．梯形AFGE的頂點(diǎn)F在BC上，D是腰EG的中點(diǎn)．試求梯形AFGE的面積．【分析】根據(jù)題意可連接DF，三角形ADF和長(zhǎng)方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，因?yàn)辄c(diǎn)D是EG的中點(diǎn)，AE平行與FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面積的一半，因?yàn)辄c(diǎn)D是線段EG的中點(diǎn)，所以三角形ADE和三角形DGF的面積就為梯形AFGE面積的一半，即梯形的面積等于長(zhǎng)方形的面積，據(jù)此解答即可．【解答】解：如圖，連接DF．三角形ADF＝2011÷2＝1005.5（平方厘米），因?yàn)辄c(diǎn)D為EG的中點(diǎn)，所以三角形AED+三角形DFG＝1005.5（平方厘米），梯形AFGE的面積：1005.5+1005.5＝2011（平方厘米），答：梯形AFGE的面積是2011平方厘米．10．（10分）公交車的線路號(hào)是由數(shù)字顯示器顯示的三位數(shù)，其中每個(gè)數(shù)字是由橫豎放置的七支熒光管顯示，如圖所示．某公交車的數(shù)字顯示器有兩支壞了的熒光管不亮，顯示的線路號(hào)為“351”，則該公交車的線路號(hào)有哪些可能？【分析】顯示的百位數(shù)字3有一處壞，可能是9，有兩處壞可能是8；十位數(shù)字5，有一處壞，可能是6和9，有兩處壞，可能是8；個(gè)位數(shù)字1，有一處壞可能是7，有兩處壞可能是4；在不亮的燈管中可能應(yīng)該都不亮，可能有一處該亮卻沒(méi)亮，可能有2處該亮卻沒(méi)亮，分三種可能情況，細(xì)致分析，即可得解．【解答】解：分三種情形考慮．第一種情形：線路號(hào)的數(shù)字中沒(méi)有熒光管壞了．只有351一個(gè)可能線路號(hào)．第二種情形：線路號(hào)的數(shù)字中有1支熒光管壞了．壞在第一位數(shù)字上，可能的數(shù)字為9，線路號(hào)可能是951；壞在第二位數(shù)字上，可能的數(shù)字為6，9，線路號(hào)可能是361，391；壞在第三位數(shù)字上，可能的數(shù)字為7，線路號(hào)可能是357．第三種情形：線路號(hào)的數(shù)字中有2支熒光管壞了．都?jí)脑诘谝晃粩?shù)字上，可能的數(shù)字為8，線路號(hào)可能是851；都?jí)脑诘诙粩?shù)字上，可能的數(shù)字為8，線路號(hào)可能是381；都?jí)脑诘谌粩?shù)字上，可能的數(shù)字為4，線路號(hào)可能是354；壞在第一、二位數(shù)字上，第一位數(shù)字可能的數(shù)字為9，第二位數(shù)字可能的數(shù)字為6，9，線路號(hào)可能是961，991；壞在第一、三位數(shù)字上，第一位數(shù)字可能的數(shù)字為9，第三位數(shù)字可能的數(shù)字為7，線路號(hào)可能是957；壞在第二、三位數(shù)字上，第二位數(shù)字可能的數(shù)字為6，9，第三位數(shù)字可能的數(shù)字為7，線路號(hào)可能是367，397．所以可能的線路號(hào)有13個(gè)：351，354，357，361，367，381，391，397，851，951，957，961，991．答：則該公交車的線路號(hào)有13種可能．11．（10分）設(shè)某年中有一個(gè)月里有三個(gè)星期日的日期為奇數(shù)，則這個(gè)月的20日可能是星期幾？【分析】有三個(gè)星期日的日期為奇數(shù)，這三個(gè)星期日應(yīng)是不相鄰的．并且兩個(gè)奇數(shù)周日之間應(yīng)相隔14天．故可設(shè)第一個(gè)周日為x，那么第二個(gè)周日為x+14，則第三個(gè)周日為x+28，第三個(gè)周日的日期應(yīng)不大于31．【解答】解：因?yàn)槊總€(gè)周日的間隔是7日，所以若一個(gè)月中有三個(gè)星期日為奇數(shù)，則這三個(gè)星期日必定不會(huì)是連續(xù)的，而是兩個(gè)奇數(shù)周日間間隔14日，一個(gè)月最多31日，設(shè)第一個(gè)周日為x，那么第二個(gè)周日為x+14，則第三個(gè)周日為x+28，所以x+28≤31，解得x≤3；這樣第一個(gè)星期日可以是1號(hào)或3號(hào)．如果第一個(gè)星期日是1號(hào)，那么該月的20號(hào)是星期五；如果第一個(gè)星期日是3號(hào)（此時(shí)本月有31天），那么該月的20號(hào)是星期三．故這個(gè)月的20日可能是星期五或星期三（此時(shí)本月有31天）．12．（10分）以[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)自然數(shù)n滿足[]+[]+[]+…+[]+[]＞2011，則n的最小值是多少？【分析】觀察：[]＝0，[]＝0，…，[]＝0，前14個(gè)數(shù)的和為0[]＝1，[]＝[1]＝1，…，[]＝[1]＝1，這15個(gè)數(shù)都是1，之和為1×15＝15，[]＝2，[]＝[2]＝2，…，[]＝[2]＝2，這15個(gè)數(shù)都是2，之和為2×15＝30，…觀察可以得到，規(guī)律是間隔15個(gè)增加1，（1+2+3+…+15）×15＝1800，（1+2+3+…+15+16）×15＝2040，2040＞2011，因此整數(shù)部分加到15，只是達(dá)到1800，繼續(xù)往下到達(dá)整數(shù)部分是16，2011﹣1800＝211，211÷16＝13.1875，那么要取14個(gè)，即最少取到16，才能保證大于2011，則n最下值是：16×15+13＝253．【解答】解：（1+2+3+…+15）×15＝1800，（1+2+3+…+15+16）×15＝2040，2040＞2011，那么整數(shù)部分到16，2011﹣1800＝211，211÷16＝13.1875，即最少取到16，才能保證大于2011，則n最下值是：16×15+13＝253．答：自然數(shù)n的最小值是253．13．（15分）在如圖的加法豎式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字．問(wèn)：滿足要求的不同算式共有多少種？【分析】由于2+0+1+1＝4且0+1+2+3+4+6+7+8+9＝40，4≡40（mod9），所以，九個(gè)不同的漢字代表的數(shù)字：0，1，2，3，4，6，7，8，9．易知：40﹣4＝36，36÷9＝4（次），說(shuō)明此算式共發(fā)生四次進(jìn)位．“4＝2+2＝1+1+2＝1+2+1”顯然：①華＝1，“4＝2+2”無(wú)解②華＝1，“4＝1+1+2”有解，據(jù)此分析討論即可解答問(wèn)題．【解答】解：由于2+0+1+1＝4且0+1+2+3+4+6+7+8+9＝40，4≡40（mod9），所以，九個(gè)不同的漢字代表的數(shù)字：0，1，2，3，4，6，7，8，9．易知：40﹣4＝36，36÷9＝4（次），說(shuō)明此算式共發(fā)生四次進(jìn)位．“4＝2+2＝1+1+2＝1+2+1”顯然：①華＝1，“4＝2+2”無(wú)解②華＝1，“4＝1+1+2”有解A：28+937+1046＝2011，可組成算式36種（6×6×1＝36）B：69+738+1204＝2011，可組成算式48種（6×4×2＝48）C：79+628+1304＝2011，可組成算式48