20202021學(xué)年上海市虹口區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)均為實(shí)數(shù)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，即“”是“”的充要條件，選C.2．函數(shù)的圖像的對稱性為（）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】B【分析】將函數(shù)進(jìn)行化簡，利用函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以函?shù)是偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱．故選：．3．已知全集及集合，，則的元素個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】可求出集合，，然后進(jìn)行交集和補(bǔ)集的運(yùn)算求出，然后即可得出的元素個數(shù)．【詳解】解：，，，，1，2，3，，或，且，，，的元素個數(shù)為：3．故選：．4．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為、、，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】化函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，然后在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，和函數(shù)的圖像，根據(jù)圖象即可判斷、、的大小關(guān)系．【詳解】已知函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為、、，即，，，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，和函數(shù)的圖像，由圖可知：．故選：D5．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，所以時，，所以在R上單調(diào)遞增，且．對任意的，不等式恒成立，即恒成立．因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以任意的，恒成立．即恒成立，當(dāng)時，，所以只需，解得．故A正確．【解析】奇函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小求最值二、填空題6．已知集合，，則__________．【答案】【分析】可求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：，1，，，，．故答案為：．7．不等式的解集為______.【答案】【分析】解分式不等式即可得出該不等式的解集.【詳解】解不等式得，因此，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8．函數(shù)，的值域?yàn)開_________．【答案】【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性分析出的單調(diào)性，然后即可求解出的最值，從而的值域可確定出.【詳解】由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，又，且，，所以，所以的值域?yàn)?，故答案為?9．計(jì)算：__________．【答案】4【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)求解出結(jié)果.【詳解】原式，故答案為：.10．用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，首先取區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行判斷，那么下一個取的點(diǎn)是__________．【答案】【分析】分別代入，計(jì)算得和，所以可得方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以根據(jù)二分法，下一個取的點(diǎn)為.【詳解】當(dāng)時，，時，，所以方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以下一個取的點(diǎn)是.故答案為：11．已知條件，，且p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_________．【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組解出即可．【詳解】∴，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含．12．不等式的解集為__________．【答案】【分析】分，，三種情況討論，即可求出結(jié)果．【詳解】當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時，原不等式可化為，顯然不成立；綜上，原不等式的解集為．故答案為：．13．已知函數(shù)的反函數(shù)為，若函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為__________．【答案】6【分析】由的圖象過點(diǎn)得函數(shù)的圖象過點(diǎn)，把點(diǎn)代入的解析式求得的值．【詳解】解：的圖象過點(diǎn)，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，又，，即．故答案為：．14．已知集合A={，其中，且}，B={，其中，且}，則的元素個數(shù)為__________．（用含正整數(shù)m的式子表示）【答案】2m【分析】可求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算求出，根據(jù)，且即可得出的元素個數(shù)．【詳解】解：A={，其中，且}，B={，其中，且}，所以，，，，，且，，1，2，，，元素的個數(shù)為：．故答案為：15．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件判斷出的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，由此求解出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，所以是定義在上的奇函數(shù)，因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以在上單調(diào)遞增，由為奇函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，所以或，即的取值范圍是，故答案為?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解形如的不等式的思路：（1）利用奇偶性將不等式變形為；、（2）根據(jù)單調(diào)性得到與的大小關(guān)系；（3）結(jié)合函數(shù)定義域以及與的大小關(guān)系，求解出的取值范圍即為不等式解集.三、解答題16．已知是任意實(shí)數(shù)，求證：，并指出等號成立的條件．【答案】證明見解析；當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．【分析】做差，然后因式分解，再進(jìn)行配方，最后與比較大小即可證明.【詳解】因?yàn)楣?，即．?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．17．某居民小區(qū)欲在一塊空地上建一面積為的矩形停車場，停車場的四周留有人行通道，設(shè)計(jì)要求停車場外側(cè)南北的人行通道寬3m，東西的人行通道寬4m，如圖所示（圖中單位：m），問如何設(shè)計(jì)停車場的邊長，才能使人行通道占地面積最??？最小面積是多少？【答案】設(shè)計(jì)矩形停車場南北側(cè)邊長為30，則其東西側(cè)邊長為40，人行通道占地面積最小528．【分析】設(shè)矩形停車場南北側(cè)邊長為，則其東西側(cè)邊長為m，人行通道占地面積為，再由基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)矩形停車場南北側(cè)邊長為，則其東西側(cè)邊長為m，人行通道占地面積為，由均值不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，此時．所以，設(shè)計(jì)矩形停車場南北側(cè)邊長為30m，則其東西側(cè)邊長為40m，人行通道占地面積最小528m2．18．已知函數(shù)．（1）作出這個函數(shù)的大致圖像；（2）討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．【答案】（1）作圖見解析；（2）答案不唯一，具體見解析．【分析】（1）把已知函數(shù)解析式變形，再由函數(shù)圖象的平移與翻折變換可得的圖象；（2）對分類，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】解：（1）因故先將函數(shù)的圖像向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)的圖像，最后將函數(shù)圖像x軸下方部分翻折到x軸上方，便得到函數(shù)的大致圖像．（2）當(dāng)時，方程根的個數(shù)為0；當(dāng)，或時，方程根的個數(shù)為1；當(dāng)，或時，方程根的個數(shù)為2．19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的值域；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）根據(jù)解得，并檢驗(yàn)時，滿足題意，得出函數(shù)解析式，求解值域；（2）根據(jù)函數(shù)值域，將問題轉(zhuǎn)化，故，利用換元法求解最值即可得解.【詳解】（1）由解得，反之時，，符合題意，故，據(jù)此，，即值域?yàn)椋?）在顯然是單調(diào)增函數(shù)，為正數(shù)，所以，故，令，則隨的增大而增大，最大值為，實(shí)數(shù)范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)的取值，根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍，涉及參變分離，換元法求解最值.20．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）對任意的實(shí)數(shù)x、x，且，求證：；（3）若關(guān)于x的方程有兩個不相等的正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)；（2）證明見解析：（3）．【分析】（1），然后分、兩種情況討論即可；（2）首先判斷出在R上是增函數(shù)，然后可證明；（3）令，則當(dāng)時，，原方程有兩個不相等的正根等價于：關(guān)于t的方程有兩個不相等的正根，然后可建立不等式組求解.【詳解】（1）．當(dāng)時，，有，即．當(dāng)時，，有，即．綜上，函數(shù)在R上是奇函數(shù)．（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在R上也是增函數(shù)，故函數(shù)在上是增函數(shù)．由（1）知，函數(shù)是R上的奇函數(shù)．由奇函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上也是增函數(shù)，從而函數(shù)在R上是增函數(shù)．由，得，所以，即．（3）由（1）知，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，故原方程可化為．令，則當(dāng)時，．原方程有兩個不相等的正根等價于：關(guān)于t的方程有兩個不相等的正根，即因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．21．對于定義在D上的函數(shù)，設(shè)區(qū)間是D的一個子集，若存在，使得函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P．（1）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，寫出實(shí)數(shù)a、b所滿足的條件；（2）設(shè)c是常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)定義判斷出為二次函數(shù)，然后根據(jù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間判斷出的開口以及對稱軸，由此得到滿足的條件；（2）先分析函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)和嚴(yán)格減函數(shù)時的取值，據(jù)此分析出在區(qū)間上先遞減再遞增時的取值范圍，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P時，由其圖象在R上是拋物線，故此拋物線的開口向上（即），且對稱軸是；于是，實(shí)數(shù)a，b所滿足的條件為：．（2）記．設(shè)，是區(qū)間上任意給定的兩個實(shí)數(shù)，總有．若，當(dāng)時，總有且，故，因此在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，不符合題目