全球和北京和中國月平均溫度距平的多分形特征

1多分形非趨勢(shì)分析方法溫度數(shù)據(jù)是一個(gè)截面，含有一個(gè)月、季節(jié)、年份、十年和秋天的數(shù)百天。根據(jù)不同的規(guī)模，它被分為寒冷的大范圍，每個(gè)冷（或冷）被分為相對(duì)較小的寒冷[1.3]。要定量描述復(fù)雜的氣候非線性演化過程及其形成的自相似結(jié)構(gòu)特征的有效手段之一是多分形理論。該理論已被廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域以揭示動(dòng)力學(xué)過程的復(fù)雜性,在氣象要素的研究方面也有應(yīng)用。由于經(jīng)典的估計(jì)多分形譜的方法較為繁雜以及確定所考察的集合測(cè)度分布的困難,使得多分形研究理論成果在實(shí)際應(yīng)用中受到了一定的限制[5、6]。最近,一種基于非趨勢(shì)波動(dòng)分析(detrendedfluctuationanalysis,簡(jiǎn)稱DFA)的推廣方法,多分形非趨勢(shì)分析法(multifractaldetrendedfluctuationanalysis,簡(jiǎn)稱MFDFA)被應(yīng)用于分析非平穩(wěn)時(shí)間序列的多分形特征。本文運(yùn)用此方法,分析比較了近140年中國、北半球和全球月平均溫度距平序列的多分形特征。2多段2.1legdre變換測(cè)度為μ的多分形奇異譜f(α)與覆蓋該測(cè)度的尺度為l的盒子數(shù)N(l)有如下的關(guān)系配分函數(shù)Z的定義為其中,標(biāo)度指數(shù)τ(q)為f(α)的Legendre變換形式式中,α為奇異性標(biāo)度指數(shù),它是q的函數(shù),可寫作α(q),與τ(q)的關(guān)系為α(q)表示測(cè)度μ在某點(diǎn)的奇異性強(qiáng)度,值越小,意味著在該點(diǎn)附近的奇異性越強(qiáng)。2.2正常區(qū)間變換非趨勢(shì)波動(dòng)分析方法是1994年由Peng等在研究DNA序列時(shí)提出來的一種計(jì)算長程相關(guān)性的方法,很快被應(yīng)用于諸多領(lǐng)域,如DNA序列、生理學(xué)、股票市場(chǎng)、云結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列、物理學(xué)等,在氣候研究方面也得到了應(yīng)用[9~14]。Kantelhardt等把DFA方法推廣,并與基于標(biāo)準(zhǔn)配分函數(shù)的多分形公式體系聯(lián)系起來,提出了用多分形非趨勢(shì)波動(dòng)分析法(MFDFA)研究非平穩(wěn)時(shí)間序列的多分形特征。MFDFA主要有五個(gè)步驟,前三個(gè)步驟為DFA的步驟。第一步,計(jì)算時(shí)間序列{xtt=1,2,……,N}的累積離差在此處濾去平均值不是必須的,因?yàn)樵诘谌街幸矔?huì)濾去趨勢(shì)成分。第二步,把Y(i)等分成Ns個(gè)不重疊的等時(shí)間長度s的區(qū)間,其中Ns=[N/s](即取整數(shù))。由于序列長度并不總是時(shí)間長度s的倍數(shù),因此有小部分序列后面的數(shù)據(jù)信息未能被利用。因此,在本文中,對(duì)Y(i)的逆序進(jìn)行同樣的操作,共有2Ns個(gè)等長度的區(qū)間。第三步,對(duì)于每個(gè)區(qū)間v,用最小二乘法擬合數(shù)據(jù),得到局部趨勢(shì)。然后計(jì)算每個(gè)區(qū)間濾去趨勢(shì)后的方差式(3)和(4)中,yv(i)為第v區(qū)間的擬合多項(xiàng)式。如果擬合的多項(xiàng)式采用的是線性的、二次的、三次的,甚至是更高階的多項(xiàng)式,則分別記為DFA(DFA1)、DFA2、DFA3,……,DFAm等。顯然m階的DFA濾去了累積離差中的m階趨勢(shì)成分以及原始序列中的m-1階趨勢(shì)成分。第四步,對(duì)所有等長度區(qū)間求平均q階DFA波動(dòng)函數(shù)式中,q=2時(shí),是標(biāo)準(zhǔn)DFA的計(jì)算公式。顯然,波動(dòng)函數(shù)qF(s)依賴于DFA的階數(shù)m和s,是隨著s的增大而增大的。對(duì)于不同的階數(shù)q,重復(fù)第二步~第四步。第五步,在每個(gè)階數(shù)q的(s,Fq(s))雙對(duì)數(shù)圖上,考察波動(dòng)函數(shù)的標(biāo)度行為。如果{xt}是長程冪律相關(guān)的,則qF(s)與s成冪律關(guān)系,即用最小二乘法線性擬合得到的斜率即為h(q)。對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列而言,h(2)即為Hurst指數(shù)。所以,h(q)被稱為廣義Hurst指數(shù)(generalizedHurstexponent)。如果s>N/4,在第四步中的Ns太小了,則qF(s)的統(tǒng)計(jì)是不可靠的。因此,取m+2≤s≤N/4。對(duì)于具有緊支集單分形時(shí)間序列,h(q)不隨q的變化而變化,對(duì)所有的q,h(q)都相同。只有小的漲落和大的漲落具有不同的標(biāo)度行為時(shí),h(q)顯著依賴于q:q>0,h(q)刻劃了大漲落的標(biāo)度行為;q<0,h(q)則描述了小漲落的標(biāo)度行為。通常,對(duì)于多分形的時(shí)間序列而言,大漲落的h(q)值小于小漲落的h(q)值。以上的步驟只能估計(jì)正的廣義Hurst指數(shù)h(q),當(dāng)時(shí)間序列顯著地呈負(fù)長程相關(guān)(h(q)→0),h(q)的估計(jì)值誤差很大。為此,對(duì)上述的步驟進(jìn)行修正:式(5)和式(10)分別由式(11)和式(12)代替,其余的步驟不變?？梢宰C明,廣義Hurst指數(shù)h(q)與多分形公式體系中的標(biāo)度指數(shù)τ(q)、奇異性指數(shù)α和奇異譜f(α)有如下關(guān)系3數(shù)據(jù)與分析3.1年生均溫度距平序列本文所用的近140年中國、北半球和全球氣溫資料取自Hadley研究中心相對(duì)于1961~1990年的月平均溫度距平序列(圖1)。具體情況如下,全球、北半球氣溫資料年限為1856~2002年,共147年,1764個(gè)數(shù)據(jù);中國氣溫資料年限為1865~2002年,共138年,1656個(gè)數(shù)據(jù)。3.2氣溫的多分形非趨勢(shì)波動(dòng)分析方法氣溫的變化幾乎是非平穩(wěn)的,非趨勢(shì)波動(dòng)分析法對(duì)非平穩(wěn)性質(zhì)具有較好的魯棒性。圖2為多分形非趨勢(shì)波動(dòng)分析方法的計(jì)算結(jié)果。計(jì)算過程中,選擇參數(shù)m=1,區(qū)間長度4≤s≤N/4,q取為-20~20。如果序列是單分形,則廣義Hurst指數(shù)h(q)在理論上是不依賴于q的,是一常數(shù),而對(duì)于多分形,h(q)與q是非線性函數(shù)關(guān)系。對(duì)于積分一次后的序列(如式(5)),其Hurst指數(shù)H=0.5,對(duì)應(yīng)白噪聲;H=1,對(duì)應(yīng)1/f噪聲;H=1.5,對(duì)應(yīng)布朗噪聲;0<H<0.5,長程冪律反相關(guān);0.5<H<1,長程冪律正相關(guān)。實(shí)際上,Hurst指數(shù)也是衡量平滑程度的指標(biāo),值越小,局部變化越劇烈;相反,值越大,局部變化越平滑。圖2a中,可以看出這3種氣溫的h(q)都隨q的變化而變化,都遠(yuǎn)大于0.5,說明它們都不是單分形序列,都具有多分形性。當(dāng)q>0時(shí),0.6<h(q)<1,它們都表現(xiàn)出正長程相關(guān)性,而且全球氣溫的長程相關(guān)性最強(qiáng),北半球次之,中國氣溫相對(duì)最弱;當(dāng)q<0時(shí),1<h(q)<1.5,它們都表現(xiàn)出介于1/f和布朗噪聲之間的行為。中國氣溫h(q)<北半球氣溫<全球氣溫,表明中國氣溫局部漲落變化較北半球氣溫強(qiáng),全球氣溫漲落變化較小。圖2b表明3種氣溫的τ(q)與q的關(guān)系是非線性的,也是凸而且是遞增函數(shù),說明它們都具有多分形性。q<0時(shí),全球氣溫、北半球氣溫和中國氣溫的τ(q)很接近;q>0時(shí),中國氣溫的τ(q)最小,北半球氣溫次之,全球氣溫的τ(q)最大。圖2c是用多分形非趨勢(shì)波動(dòng)分析法計(jì)算的全球、北半球和中國氣溫的多分形奇異譜f(α)的變化曲線。這3種氣溫的多分形譜f(α)也都是凸的。全球氣溫的奇異性指數(shù)α大約分布在0.81~1.29之間,北半球氣溫的分布在0.7~1.23之間,而中國氣溫的分布在0.59~1.16之間。從奇異性指數(shù)α分布范圍看,全球氣溫、北半球氣溫和中國氣溫分別為0.48、0.53和0.57。就f(α)的極大值而言,3種氣溫的極大值都接近1,但出現(xiàn)的位置α0不同,α0的中國、北半球和全球分別為0.75、0.86和0.96,都小于1。f(α)又是非對(duì)稱的,3種氣溫的都大于0,f(α)都向左側(cè)偏,表明大漲落的變化占主導(dǎo)地位的、q>0的左側(cè)f(α)所占據(jù)的奇異性指數(shù)α的范圍小于較小漲落的變化占主導(dǎo)地位的、q<0的右側(cè)f(α)所占據(jù)的奇異性指數(shù)α的范圍。這些都表明總體上中國氣溫變化奇異性最強(qiáng),北半球氣溫次之,而全球氣溫的奇異性相對(duì)最弱。根據(jù)多分形理論,每種尺度上都有最強(qiáng)漲落和最小漲落,它們的標(biāo)度指數(shù)αmin和αmax分別就是α(q)中q→+∞和q→-∞的結(jié)果,也是f(α)曲線和α軸交點(diǎn)的最小值和最大值。從圖2c可以得到,最強(qiáng)漲落αmin(中國)=0.59,αmin(北半球)=0.71,αmin(全球)=0.81。由此說明3種氣溫漲落中,中國氣溫的最強(qiáng)漲落大于北半球氣溫,而全球氣溫的最強(qiáng)漲落最小。4種氣溫的特征運(yùn)用計(jì)算多分形譜的多分形非趨勢(shì)波動(dòng)分析法,研究全球氣溫、北半球氣溫