圖像變換的作用傅立葉變換離散余弦變換小波變換第4章醫(yī)學(xué)圖像變換數(shù)字圖像處理的方法主要有兩類：空間域處理法和頻域法?？沼蚍ㄖ笇χ苯酉袼攸c(diǎn)及其值進(jìn)行處理。圖像陣列一般都很大，計算上比較復(fù)雜、費(fèi)時。頻域法是指先將圖像變換到頻域，再進(jìn)行濾波等處理，然后再經(jīng)逆變換回到空間域，得到處理后的圖像。圖像的頻域處理最突出的特點(diǎn)是其運(yùn)算速度高，并可采用二維數(shù)字濾波技術(shù)進(jìn)行所需要的各種圖像處理.圖像正交變換用于圖像特征提取、圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像壓縮和圖像識別等。第4章圖像變換圖像變換圖像變換是一種為了達(dá)到某種目的（通常是為了從圖像中獲取某種重要信息）而采用的數(shù)學(xué)技巧。圖像變換在圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像編碼壓縮以及特征抽取方面有著廣泛的應(yīng)用。從實際操作來說，圖像變換就是對原圖像函數(shù)尋找一個合適的變換核的數(shù)學(xué)問題。磁共振成像(MRI,MagneticResonanceImaging)技術(shù)是研究以不同的射頻(RF,RadioFrequency)脈沖序列對組織激勵后，用線圈檢測技術(shù)獲得組織弛豫信息和質(zhì)子密度信息，通過圖像重建形成磁共振圖像的方法和技術(shù)。一.圖像變換的目的：①使圖像處理問題簡化；②有利于圖像特征提取；③有助于從概念上增強(qiáng)對圖像信息的理解。二．圖像變換的要求：①圖像函數(shù)變換后處理較變換前更加方便和簡單；②圖像函數(shù)變換后不損失原圖像的信息；③圖像變換必須是可逆的。

常用的變換傅立葉變換FourierTransform2.離散余弦變換DiscreteCosineTransform3.小波變換9傅立葉變換傅立葉變換域也稱為頻域變換，它把圖像從圖像空間變換到頻率空間。將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換（正變換）到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進(jìn)行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間（反變換或逆變換）以得到所需要的效果。傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中1829年狄里赫利第一個給出收斂條件傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”——傅里葉的第一個主要論點(diǎn)“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點(diǎn)

頻域與頻域變換

頻域變換的理論基礎(chǔ)就是“任意波形都可以用單純的正弦波的加權(quán)和來表示”。如圖(a)所示的任意波形，可分解為圖(b)、(c)、(d)所示的不同幅值、不同頻率的正弦波的加權(quán)和。

為便于理解，將圖(b)所示的正弦波取出來，如圖2所示。如果將虛線表示的振幅為1且初相位為0的正弦波作為基本正弦波，則實線表示的波形可由其振幅A和初相位φ確定。任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和圖2正弦波的振幅A和相位φ

7.1頻域世界與頻域變換任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和y1=Sin(x+/2)A=1,=/2,f=1/2y2=0.5sin(2x+)A=0.5,=,f=1/y3=0.25sin(4x+3/2)A=0.25,=3/2,f=2/y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]波形的頻域表示y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]幅頻特性Af0.250.510.751/2

3/2

1/2/

相頻特性

f

/2

23/21/2

3/2

1/2/

7.1頻域世界與頻域變換幅頻特性Af0.250.510.751/2

3/2

1/2/

相頻特性

f

/2

23/21/2

3/2

1/2/

7.1頻域世界與頻域變換為什么要傅里葉展開為什么要傅里葉展開1傅立葉級數(shù)一、問題的提出二、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)一、問題的提出非正弦周期函數(shù):矩形波不同頻率正弦波逐個疊加一、三角函數(shù)系的正交性1、正交的定義：如果是[a,b]上兩個不同的可積函數(shù)，且滿足，那么稱在上是正交的。2、三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系在區(qū)間上是正交的，也即.上的積分等于零以上任意兩個不同函數(shù)在以上都可以通過有關(guān)積分運(yùn)算來驗證。三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:1.若能展開,是什么?2.展開的條件是什么?1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)傅里葉級數(shù)問題:2.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)

2傅立葉變換

連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

若一個一維信號f(x)滿足狄里赫萊條件，即

(1)具有有限個間斷點(diǎn)；

(2)具有有限個極值點(diǎn)；

(3)絕對可積。

則其傅立葉變換對(傅立葉變換和逆變換)一定存在。在實際應(yīng)用中，這些條件一般總是可以滿足的。

傅立葉變換的定義

傅立葉變換若f(x)為一維連續(xù)實函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：

函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換

這里f（x）是實函數(shù)，它的傅里葉變換F（u）通常是復(fù)函數(shù)。F（u）的實部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下：實部虛部

振幅

能量

相位Ｆ(u)覆蓋的域（ｕ的值）稱為頻率域。每一個Ｆ(u)稱為頻率分量。傅里葉變換頻率域的概念：一個實函數(shù)的傅里葉變換通常是復(fù)數(shù)，即極坐標(biāo)表示：變換分析的直觀說明

把一個信號的波形分解為許多不同頻率正弦波之和。一維離散傅立葉變換(DFT)2023年10月24日44一維離散傅立葉變換公式為：逆變換為：

數(shù)學(xué)上建立傅立葉變換的f(x)是連續(xù)的模擬信號，而計算機(jī)處理的是離散的數(shù)字信號，同時數(shù)學(xué)上用無窮大概念，而計算機(jī)只能進(jìn)行有限次計算。通常就將這種受限的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DFT）。452023年10月24日由歐拉公式可知

可得可見，離散序列的傅立葉變換仍然是一個離散的序列，每一個u對應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和。每個f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值。二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則二維傅立葉變換對為二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為：

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2

φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)]E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)

二維離散函數(shù)的傅立葉變換(DFT)在二維離散的情況下，傅立葉變換對表示為

F(u，v)=式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。

f(x，y)=

式中x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。一維和二維離散函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨(dú)立變量是離散的。快速離散傅立葉變換

基本離散傅立葉變換計算量非常大，運(yùn)算時間長?？梢宰C明其運(yùn)算次數(shù)正比于N2，特別是當(dāng)N較大時，其運(yùn)算時間將迅速增長，以至于無法容忍。為此，需要研究離散傅立葉變換的快速算法(FastFourierTransform，F(xiàn)FT)。

1965年Cooley和Tukey首先提出了一種稱為逐次加倍法的快速傅立葉變換算法(FFT)。采用該FFT算法，其運(yùn)算次數(shù)正比于NlbN，在N很大時計算量可以大大減少。

Cooley-TukeyFFT算法的基本思想是將f(x)序列按x的奇偶進(jìn)行分組計算，并充分利用傅立葉變換的周期性和對稱性進(jìn)行計算，采用迭代法，大大簡化了程序設(shè)計的復(fù)雜度，提高了計算速度。

Sande-TukeyFFT算法與Cooley-TukeyFFT算法類似，只不過它是將f(x)序列按中心位置點(diǎn)進(jìn)行分組計算的。

快速傅立葉變換算法（FFT時間復(fù)雜度為Nlog2N。當(dāng)N很大時計算量可以大大減少?？焖俑道锶~變換（FFT)傅里葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換：灰度分布函數(shù)頻率分布函數(shù)傅立葉逆變換：頻率分布函數(shù)灰度分布函數(shù)

圖像經(jīng)傅里葉變換，在頻譜圖的四角（0,0）,（0,N-1）,（N-1,0）,(N-1,N-1)頻率分量為0，中心點(diǎn)（N/2，N/2）處頻率分量為最大值。圖像的信息主要集中在低頻部分，在實際頻譜分析中，由于低頻信息分布區(qū)域小且四角分散，不利于分析理解。因此，常將頻譜中心移位，使低頻集中在中心部分，高頻分布在四周。頻譜圖的理解（a）原始圖像(b)中心化前的頻譜圖(c)中心化后的頻譜圖圖像頻譜的中心化低頻部分高頻部分頻譜中心化542023年10月24日二維快速傅立葉變換的Matlab實現(xiàn)簡單圖像及其傅立葉變換eg.1:d=zeros(32,32);d(13:20,13:20)=1;figure(1);imshow(d,'notruesize');D=fft2(d);figure(2);imshow(abs(D),[-15],'notruesize');

第三章圖像變換552023年10月24日

D2=fftshift(D);figure(3);imshow(abs(D2),[-1,5],'notruesize');原圖離散傅立葉變換后的頻域圖例如數(shù)字圖像的傅立葉變換離原始圖像clc;clear;I=imread(‘1.jpg’);%讀取一幅灰度圖figure(1);imshow(I)%顯示灰度圖F=fft2(I);%將該灰度圖作二維快速傅里葉變換F2=abs(fftshift(F));%將零頻率移至中心，并求幅值figure(2);imshow(log(F2),[]);colorbar;%以對數(shù)形式顯示傅里葉變換后的圖像figure(3);imshow(log(F2),[]),colormap(jet(64)),colorbar;%以彩色圖像顯示頻譜圖例如數(shù)字圖像的傅立葉變換代碼如下：例：圖像函數(shù)和傅立葉頻譜顯示圖像三維頻譜幅值投影典型圖像的傅立葉變換實際圖像的傅立葉變換下圖給出兩幅實際圖像和他們的傅里葉頻譜圖。圖(a)的圖像反差比較柔和，反映在傅里葉頻譜上低頻分量較多，頻譜圖中心值較大（中心為頻域原點(diǎn)）。圖(b)的圖像中有較規(guī)則的線狀物，反映在傅里葉頻譜上也有比較明顯的射線狀條帶。

(a)(b)離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，因此，下面將介紹離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì)。1．周期性和共軛對稱性若離散的傅立葉變換和它的反變換周期為N，則有

F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)傅立葉變換存在共軛對稱性

F(u，v)=F*(-u，-v)

這種周期性和共軛對稱性對圖像的頻譜分析和顯示帶來很大益處。二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì)

2.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)平面直角坐標(biāo)改寫成極坐標(biāo)形式：

做代換有：

如果

被旋轉(zhuǎn),則被旋轉(zhuǎn)同一角度。即有傅立葉變換對：二維傅立葉變換的性質(zhì)3.分離性

二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次運(yùn)用一維傅立葉變換來實現(xiàn)。

由可分離性可知，一個二維傅立葉變換可分解為兩步進(jìn)行，其中每一步都是一個一維傅立葉變換。先對f(x,y)按列進(jìn)行傅立葉變換得到F(x,v)，再對F(x,v)按行進(jìn)行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結(jié)果，如圖所示。顯然對f(x,y)先按行進(jìn)行離散傅立葉變換，再按列進(jìn)行離散傅立葉變換也是可行的。

4.平移性

將f(x,y)與一個指數(shù)項相乘就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動到新的位置。

F(u,v)與一個指數(shù)項相乘就相當(dāng)于把其反變換后的空域中心移動到新的位置。

對f(x,y)的平移不影響其傅立葉變換的幅值。平移性質(zhì)表明，只要將f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再進(jìn)行離散傅立葉變換，即可將圖像的頻譜原點(diǎn)（0，0）移動到圖像中心（M／2,N／2）處。圖1是簡單方塊圖像平移的結(jié)果。(a)原圖像（b）無平移的傅立葉頻譜；（c）平移后的傅立葉頻譜圖1傅立葉頻譜平移示意圖(a)(b)(c)對在幅度方面的尺度變化導(dǎo)致對其傅里葉變換在幅度方面的對應(yīng)尺度變化對在空間尺度方面的放縮導(dǎo)致對其傅里葉變換在頻域尺度方面的相反放縮。5、尺度定理幅度尺度變化實例Matlab實現(xiàn)clear;clc;a=zeros(256,256);a(100:150,100:150)=1;b=fft2(a);b=fftshift(b);c=log(abs(b));subplot(221),imshow(a);subplot(222),imshow(c);a2=zeros(256,256);a2(100:200,100:200)=1;b2=fft2(a2);b2=fftshift(b2);c2=log(abs(b2));subplot(223),imshow(a2);subplot(224),imshow(c2);可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算

f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)

f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)(A*B表示做A與B的卷積）利用卷積定理可以簡化卷積的運(yùn)算量。對于長度為N的序列，按照卷積的定義進(jìn)行計算，需要做2N-1組對位乘法；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對位乘法6、卷積定理傅里葉變換的應(yīng)用：圖像重建頻率域濾波圖像壓縮圖像特征提取傅里葉變換的應(yīng)用二維傅立葉變換(幅值及相位)意義頻率域濾波頻率域的基本性質(zhì)：變化最慢的頻率成分（原點(diǎn)）對應(yīng)圖像的平均灰度級。低頻對應(yīng)著圖像灰度級的慢變化分量。較高的頻率對應(yīng)著圖像中變化較快的灰度級。頻率域是傅里葉變換和頻率變量(u,v)定義的空間。返回返回Fourier變換的高通濾波返回Fourier變換的低通濾波圖像特征提?。?/p>

形狀特征：傅里葉描述子

紋理特征：直接通過傅里葉系數(shù)來計算紋理特征

其他特征：將提取的特征值進(jìn)行傅里葉變換來使特征具有平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性

圖像壓縮

可以直接通過傅里葉系數(shù)來壓縮數(shù)據(jù)；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實變換；傅里葉變換的應(yīng)用FouriertransformRadius(pixels)%imagepower895169732986499.412899.8傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用

變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個頻率點(diǎn)上的幅值。在小波變換沒有提出時，用來進(jìn)行壓縮編碼?？紤]到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1DFT總結(jié)：1.空間域頻率域2.變換后在頻率域的處理運(yùn)算簡單（高通，低通等。）3.變換后有利于對圖像的特征提取。4.變換算法是全局處理，即F(u,v)是f(x,y)整體運(yùn)算所得5.圖像顯示常用lg(1+|F(u,v)|)顯示其傅立葉譜，目的是更好的顯示高頻，利于對圖像頻譜的視覺理解矩形函數(shù)圖像表示傅立葉譜6.利用傅立葉變換的性質(zhì)，進(jìn)行平移，F(xiàn)DFT等。1.問題的提出：傅立葉變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。三.離散余弦變換離散余弦變換（DCT）離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）的變換核為余弦函數(shù)。DCT除了具有一般的正交變換性質(zhì)外，它的變換陣的基向量能很好地描述人類語音信號和圖像信號的相關(guān)特征。因此，在對語音信號、圖像信號的變換中，DCT變換被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國際標(biāo)準(zhǔn)建議中，都把DCT作為其中的一個基本處理模塊。除此之外，DCT還是一種可分離的變換。

一.一維離散余弦變換

一維DCT的變換核定義為式中，x,u=0,1,2,…,N－1；一維DCT定義如下：設(shè){f(x)|x=0,1,…,N-1}為離散的信號列。式中，u,x=0,1,2,…,N－1。將變換式展開整理后，可以寫成矩陣的形式，即F=Gf其中一維DCT的逆變換IDCT定義為式中，

x,u=0,1,2,…,N－1?？梢娨痪SDCT的逆變換核與正變換核是相同的。正變換：逆變換：其中：二維離散余弦變換

最后要注意的是二維DCT的頻譜分布，其譜域分布與DFT相差一倍，如圖3所示。從圖中可以看出，對于DCT而言，(0,0)點(diǎn)對應(yīng)于頻譜的低頻成分，(N-1,N-1)點(diǎn)對應(yīng)于高頻成分，而同階的DFT中，(N／2,N／2)點(diǎn)對應(yīng)于高頻成分（注：此頻譜圖中未作頻譜中心平移）。

圖3DFT和DCT的頻譜分布（a）DFT頻譜分布；（b）DCT頻譜分布例：實際圖像的DCT變換結(jié)果左圖是一幅原始圖象，右圖是對左圖的離散余弦變換結(jié)果（變換幅值）。右圖左上角對應(yīng)低頻分量，由圖可見，左圖中的大部分能量在低頻部分。離散余弦變換的Matlab實現(xiàn)在Matlab中，dct2函數(shù)和idct2函數(shù)分別用于進(jìn)行二維DCT變換和二維DCT反變換。

1.dct2函數(shù)功能：二維DCT變換。格式：B=dct2(A)B=dct2(A,m,n)B=dct2(A,［mn］說明：B=dct2(A)計算A的DCT變換B，A與B的大小相同；B=dct2(A,m,n)和B=dct2(A,［mn］)通過對A補(bǔ)0或剪裁，使B的大小為m×n。離散余弦變換的Matlab實現(xiàn)2.idct2函數(shù)功能：DCT反變換。格式：B=idct2(A)B=idct2(A,m,n)B=idct2(A,［mn］)3.dctmtx函數(shù)功能：計算DCT變換矩陣。格式：D=dctmtx(n)說明：D=dctmtx(n)返回一個n×n的DCT變換矩陣，輸出矩陣D

為double類型。離散余弦變換的Matlab實現(xiàn)例說明二維余弦正反變換在Matlab中的實現(xiàn)。程序如下：

%裝入圖像

RGB=imread(′autumn.tif′);I=rgb2gray(RGB);%畫出圖像

imshow(I);figure(2);%進(jìn)行余弦變換J=dct(2);imshow(lon(abs(J),［］,colormap(jet(64)),colorbar;figure(3);J(abs)<10=0;%進(jìn)行余弦反變換K=idc2(J)/255;imshow(K);離散余弦變換的Matlab實現(xiàn)結(jié)果如圖所示圖1原始圖像圖2余弦變換系數(shù)圖3余弦反變換恢復(fù)圖像DCT變換的應(yīng)用：余弦變換實際上是傅立葉變換的實數(shù)部分。余弦變換主要用于圖像的壓縮，如目前的國際壓縮標(biāo)準(zhǔn)的JPEG格式中就用到了DCT變換。具體的做法與DFT相似。給高頻系數(shù)大間隔量化，低頻部分小間隔量化。DCT在JEPG中的應(yīng)用DCT的能量集中特性使得其稱為靜止圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JEPG(JointPhotographicExpertsGroup)算法的核心。在JEPG算法中，輸入圖像被分為8×8(或16×16)模塊，然后對每一模塊計算二維DCT，接著對DCT系數(shù)進(jìn)行處理，保留其中的低頻(主要能量部分)，舍棄高頻部分(幅值近似0的部分)。這一過程也就是讓每一模塊的DCT系數(shù)乘以模板：1111100011110000111000001100000010000000000000000000000000000000如左圖所示模板，只保留了64個DCT系數(shù)中的15個，也即舍棄了77%的DCT系數(shù)。例：DCT壓縮效果保留15個DCT系數(shù)，可以得到壓縮前后的對比：可以看出，雖然舍棄了大部分系數(shù)，但由于保留了主要能量，因此圖像依然保持著相當(dāng)?shù)那逦?。實現(xiàn)前例的MATLAB程序x2=im2double(x);T=dctmtx(8);B=blkproc(x2,[88],'P1*x*P2',T,T');%計算各8×8模塊的DCTmask=[1111100011110000111000001100000010000000000000000000000000000000];%通過模板中1和0的位置，就可以對DCT系數(shù)進(jìn)行取舍B2=blkproc(B,[88],‘P1.*x’,mask);%應(yīng)用模板，舍棄大部分DCT低幅系數(shù)I2=blkproc(B2,[88],‘P1*x*P2’,T‘,T);%DCT反變換figure;imshow(x2);figure;imshow(I2);不同模板的壓縮效果1111100011110000111000001100000010000000000000000000000000000000111111101111110011111000111100001110000011000000100000000000000011100000110000001000000000000000000000000000000000000000000000005小波變換簡介一.小波變換的理論基礎(chǔ)傅里葉變換只能提供信號在整個時間域上的頻率，不能提供信號在某個時間段上的頻率信息；與傅立葉變換不同，小波變換是通過縮放母小波（Motherwavelet）的寬度來獲得信號的頻率特征，通過平移母小波來獲得信號的時間信息。對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關(guān)程度。為了用傅立葉變換研究一個模擬信號的譜特性，必須獲得信號在時域中的全部信息，包括將來的信息，即傅立葉變換對時間的分辨率為0，對頻率的分辨率為無窮。如果一個信號在某個時刻的一個小的鄰域中變化了，那么整個頻譜就受到影響。如語音信號、地震信號等，希望知道信號在突變時刻的頻率成分，如利用傅立葉變換，這些非平穩(wěn)的突變成分被傅立葉變換的積分作用平滑了。可以看出，在非平穩(wěn)信號分析和實時信號處理的許多應(yīng)用中，只有傅立葉變換公式是不夠的，傅立葉變換無法反映信號的局部時域和頻域特性，只適宜處理平穩(wěn)信號正是由于傅立葉變換存在不能同時進(jìn)行時間-評論局部分析的缺點(diǎn)，Gabor提出一種加窗傅立葉變換在信號的時間-頻率分析中，D.Gabor注意到了傅立葉變換的不足，在1946年，論文中為提取信號傅立葉變換的局部信息，引入了一個時間局部變化的“窗函數(shù)”，－稱為Gabor變換，又稱為加窗傅立葉變換但Gabor變換的時-頻窗口是固定不變的，窗口沒有自適應(yīng)性，不適于分析多尺度信號過程和突變過程，而且其離散形式?jīng)]有正交展開，難于實現(xiàn)高效算法，這是Gabor變換的主要缺點(diǎn)在非平穩(wěn)信號的分析中，希望存在一種變換函數(shù)，它能滿足：對于高頻譜的信息，時間間隔要相對的小，以便給出比較好的精度；而對于低頻譜的信息，時間間隔要相對的寬，以便給出完全的信息，也就是說，要有一個靈活可變的時間-頻率窗，使在高“中心頻率”時，時窗寬度自動變窄；在低“中心頻率”時，時頻窗寬度自動變寬1984由法國的從事石油勘測信號處理的地球物理學(xué)家Morlet提出的，他在分析地震波的時頻局部特性時，希望使用在高頻處時窗變窄，低頻處頻窗變寬的自適應(yīng)變換。引用高斯余弦調(diào)整函數(shù)，將其伸縮和平移得到一組函數(shù)系數(shù)，后稱為“Morlet小波基”作為多尺度分析工具，小波變換為信號在不同尺度上的分析和表征提供了一個精確和統(tǒng)一的框架。小波起源：“小”是指在時域具有緊支集或近似緊支集，“波”是只具有正負(fù)交替的波動性，直流分量為0。小波概念：是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數(shù)用鏡頭觀察目標(biāo)(待分析信號)。代表鏡頭所起的作用(如濾波或卷積)。相當(dāng)于使鏡頭相對于目標(biāo)平行移動。的作用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。小波變換的粗略解釋連續(xù)小波變換的定義連續(xù)小波變換的定義尺度因子的作用是將基本小波做伸縮，越大越寬。

小波的位移與伸縮連續(xù)小波變換的定義連續(xù)小波變換的定義是一個無限維向量空間，稱為平方可積空間稱為一個“基小波”或“母小波”。小波變換的含義是：把基本小波(母小波)的函數(shù)作位移后，再在不同尺度下與待分析信號作內(nèi)積，就可以得到一個小波序列。設(shè)，當(dāng)滿足允許條件時：連續(xù)情況時，小波序列為：(基本小波的位移與尺度伸縮)其中為尺度參量，為平移參量。離散的情況，小波序列為：

根據(jù)容許條件要求，當(dāng)ω=0時，為使被積函數(shù)是有效值，必須有，所以可得到上式的等價條件為：此式表明中不含直流，只含有交流，即具有震蕩性，故稱為“波”，為了使具有局部性，即在有限的區(qū)間之外很快衰減為零，還必須加上一個衰減條件：衰減條件要求小波具有局部性，這種局部性稱為“小”，所以稱為小波。對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換定義為：逆變換為：是尺度因子，反映位移。

內(nèi)積：卷積：

1.連續(xù)小波變換（CWT）

像傅立葉分析一樣，小波分析就是把一個信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。圖1表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦波從負(fù)無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預(yù)測的，而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù)，其平均值為0，小波趨于不規(guī)則、不對稱。圖1正弦波和小波（a）正弦波曲線；(b)小波曲線持續(xù)寬度相同振蕩波從小波和正弦波的形狀可以看出，變化劇烈的信號，用不規(guī)則的小波進(jìn)行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信號的局部特征。連續(xù)小波變換（ContinuousWaveletTransform，CWT）用下式表示：表示小波變換是信號f(x)與被縮放和平移的小波函數(shù)ψ()之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。CWT的變換結(jié)果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移（positon）的函數(shù)?；拘〔ê瘮?shù)ψ()的縮放和平移操作含義如下：

(1)縮放。簡單地講，縮放就是壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄，如圖所示。小波的縮放操作

(2)平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，函數(shù)f(t)延遲k的表達(dá)式為f(t-k)，如圖所示。圖小波的平移操作(a)小波函數(shù)ψ(t)；(b)位移后的小波函數(shù)ψ(t-k)(1)小波分解可以覆蓋整個頻域(提供了一個數(shù)學(xué)上完備的描述)(2)小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性(3)小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時間分辨率(寬分析窗口)，在高頻段，可用低頻率分辨率和高時間分辨率(窄分析窗口)(4)小波變換實現(xiàn)上有快速算法(Mallat小波分解算法)小波變換存在以下幾個優(yōu)點(diǎn)：

CWT計算主要有如下五個步驟：第一步：取一個小波，將其與原始信號的開始一節(jié)進(jìn)行比較。

第二步：計算數(shù)值C，C表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度，計算結(jié)果取決于所選小波的形狀，如圖1所示。第三步：向右移動小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整個信號，如圖2所示。第四步：伸展小波，重復(fù)第一步至第三步，如圖3所示。圖1計算系數(shù)值C

圖2計算平移后系數(shù)值C圖3計算尺度后系數(shù)值C

第五步：對于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系是：縮放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信號的細(xì)節(jié)變化，表示信號頻率越高；縮放因子scale越大，表示小波越寬，度量的是信號的粗糙程度，表示信號頻率越低。

2.離散小波變換（DWT）

在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)，其計算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)是無用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j（j>0且為整數(shù)）的倍數(shù)，即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行計算，就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換（DyadicWaveletTransform），它是離散小波變換（DiscreteWaveletTransform，DWT）的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，該方法是Mallat于1988年提出的，稱為Mallat算法。這種方法實際上是一種信號分解的方法，在數(shù)字信號處理中常稱為雙