第四章數(shù)據(jù)的描述性分析本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能夠根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的類型，選擇恰當(dāng)?shù)募汹厔?shì)度量的指標(biāo)；2、能夠計(jì)算集中趨勢(shì)的度量指標(biāo)：眾數(shù)、中位數(shù)與分位數(shù)、平均數(shù)；

3、能夠根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的類型，選擇恰當(dāng)?shù)碾x散程度的度量指標(biāo)；4、能夠計(jì)算離散程度的度量指標(biāo)：異眾比率、全距、四分位差、平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差離散系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，離散系數(shù)；5、能夠判斷所給數(shù)據(jù)的分布形態(tài)。2、本章重點(diǎn)與難點(diǎn)1、集中趨勢(shì)指標(biāo)的選擇與計(jì)算2、離散程度指標(biāo)的選擇與計(jì)算【引例】我院某班大二學(xué)生在大一第一學(xué)期《微積分1》考試成績(jī)?nèi)缦拢?5,85,60,84,87,85,83,62,60,55,83,76,93,81,60,92,72,72,85,63,69,73,61,51,71,60,68,91,76,75,69,23,78,60,81,54,86,60,81,70,65,68,84,91,50,70,77,63,78,28,69,72,78,33,71,76,76,85,47,63,74,78,60,72,85,52,60,61,37,62,80,95,60,60,46,60,64,75,60,83,68,71,74,60,60,47,80,62,60,77,75,62,54,85,81,68,74,49.問(wèn)題：那個(gè)數(shù)據(jù)可以看作這個(gè)班《微積分1》考試成績(jī)的代表？或者說(shuō)是一般水平？回答：平均成績(jī)69分問(wèn)題延伸：這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性如何？或者說(shuō)以69分作為這個(gè)班考試成績(jī)的代表，代表性如何？離散程度的度量離中趨勢(shì)數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度(離散程度)從另一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表程度不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測(cè)度值問(wèn)題：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是我們經(jīng)常選用的數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)度量的指標(biāo)，在相應(yīng)的離散趨勢(shì)的度量中選擇那些指標(biāo)對(duì)上述指標(biāo)的“代表性”進(jìn)行刻畫？問(wèn)題延伸：分類數(shù)據(jù)，順序數(shù)據(jù)，數(shù)值型數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)的度量習(xí)慣上選擇那些標(biāo)志變異指標(biāo)來(lái)度量？分類數(shù)據(jù)：異眾比率異眾比率

(variationratio)1. 對(duì)分類數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度2. 非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例3. 計(jì)算公式為4.用于衡量眾數(shù)的代表性異眾比率

(例題分析)解：

在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購(gòu)買其他品牌飲料的人數(shù)占70%，異眾比率比較大。因此，用“碳酸飲料”代表消費(fèi)者購(gòu)買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)

果汁礦泉水綠茶其他碳酸飲料610118150.120.200.220.160.301220221630合計(jì)501100順序數(shù)據(jù)：四分位差四分位差

(quartiledeviation)對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度也稱為內(nèi)距或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

Qd=QU

–QL反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性四分位差

(例題分析)解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2,一般為3,滿意為4,非常滿意為5

。已知

QL

=不滿意=2

QU

=一般=3四分位差為

Qd

=QU

-

QL

=3–2

=1甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差極差

(range)一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡(jiǎn)單測(cè)度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布R

=max(xi)-min(xi)計(jì)算公式為【注意】1、在實(shí)際工作中，極差可以用于檢查產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性和進(jìn)行質(zhì)量控制。在正常生產(chǎn)的條件下，產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，極差在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，若極差超過(guò)給定的范圍，就說(shuō)明有不正常情況產(chǎn)傷。2、極差受到極端值的影響，不能反映中間數(shù)據(jù)的分散狀況因此測(cè)定結(jié)果往往不能反映數(shù)據(jù)的實(shí)際離散程度。四分位差？1、四分位差是對(duì)極差的一種改進(jìn)。與極差相比，四分位差因不受極值的影響，在反映數(shù)據(jù)的離散程度方面比極差準(zhǔn)確，具有較高的穩(wěn)定性；同時(shí)，對(duì)于存在開口的組距數(shù)列，不能計(jì)算極差，但可以計(jì)算四分位差。四分位差與極差相比較：2、四分位差和極差一樣，不能充分利用數(shù)據(jù)的全部信息，也無(wú)法反映標(biāo)志值的一般變動(dòng)。【練習(xí)】計(jì)算下列數(shù)據(jù)的極差1，6，6，6，6，6，101，3，4，7，8，9，10問(wèn)題：那一組數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的差異大一些？如何判斷？平均差

(meandeviation)各變量值與其平均數(shù)離差絕對(duì)值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少計(jì)算公式為未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)平均差

(例題分析)某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均差計(jì)算表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合計(jì)—120—2040平均差

(例題分析)

含義：每一天的銷售量平均數(shù)相比，平均相差17臺(tái)

優(yōu)點(diǎn)：能較好地區(qū)別出不同組數(shù)據(jù)的分散情況或程度；缺點(diǎn)：是絕對(duì)值不適合作進(jìn)一步方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(varianceandstandarddeviation)數(shù)據(jù)離散程度的最常用測(cè)度值反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，記為

2()；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，記為s2(s)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(samplevarianceandstandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!問(wèn)題：樣本方差的計(jì)算公式中分母位置為什么為”n-1”?自由度

(degreeoffreedom)自由度是指數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與附加給獨(dú)立的觀測(cè)值的約束或限制的個(gè)數(shù)之差從字面涵義來(lái)看，自由度是指一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個(gè)數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，若樣本平均數(shù)確定后，則附加給n個(gè)觀測(cè)值的約束個(gè)數(shù)就是1個(gè)，因此只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)不能自由取值按著這一邏輯，如果對(duì)n個(gè)觀測(cè)值附加的約束個(gè)數(shù)為k個(gè)，自由度則為n-k自由度

(degreeoffreedom)樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則

x=5。當(dāng)

x

=5

確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值為什么樣本方差的自由度為什么是n-1呢？因?yàn)樵谟?jì)算離差平方和時(shí)，必須先求出樣本均值

x

，而

x則是附件給離差平方和的一個(gè)約束，因此，計(jì)算離差平方和時(shí)只有n-1個(gè)獨(dú)立的觀測(cè)值，而不是n個(gè)樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差s2去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，它是σ2的無(wú)偏估計(jì)量【例】在某地區(qū)抽取的

120家企業(yè)按利潤(rùn)額進(jìn)行分組,結(jié)果如表所示.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。

某地區(qū)120家企業(yè)的利潤(rùn)額分組相對(duì)位置的度量：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

(standardscore)1.也稱標(biāo)準(zhǔn)化值2. 對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量3. 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)(outlier)4. 用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理5.計(jì)算公式為【練習(xí)】假定某班學(xué)生先后兩次進(jìn)行了難度不同的大學(xué)英語(yǔ)綜合考試,第一次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為