專題10課題學(xué)習(xí)最短路徑問題（2個知識點2種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.最短路徑問題（重點）知識點2.“造橋選址”問題【方法二】實例探索法題型1.解決最短路徑的選址問題題型2.求圖形的最小周長問題【方法三】成果評定法【學(xué)習(xí)目標】能運用“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”探索最短路徑問題。能運用“三角形兩邊之和大于第三邊”說明關(guān)于最短路徑的選址問題的道理。會運用圖形的軸對稱、平移等變換轉(zhuǎn)化圖形，進而利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.最短路徑問題（重點）1.垂直線段最短問題動點所在的直線已知型方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短?！纠?】如圖，在銳角三角形中，，，的平分線交于點D，點M、N分別是和上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【分析】如下圖，先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)兩點之間線段最短可得的最小值為，然后根據(jù)垂線段最短可得當時，取得最小值，最后利用三角形的面積公式即可得．解：如圖，在上取一點E，使，連接，是的平分線，，在和中，，，，，由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，又由垂線段最短得：當時，取得最小值，，，解得，即的最小值為5，故選D．【點撥】本題考查了角平分線的定義、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識點，正確找出取得最小值時的位置是解題關(guān)鍵．【變式】如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是（）A． B． C． D．【答案】．B【詳解】試題分析：在中，，AD是的中線，可得點B和點D關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)CE，交AD于點P，此時最小，為EC的長，故選B.2.將軍飲馬問題方法技巧：定點關(guān)于定直線對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短求最值．①兩定一動②一定兩動③兩定兩動【例2】如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（

）A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得，周長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積求出，，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示．連接，∵是的垂直平分線，∴，∴周長．連接，∵，點F是的中點，∴，∴．∵，∴，，∴周長的最小值是．故選：A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱求線段和最小值等，判斷周長的最小值是解題的關(guān)鍵．【變式】如圖，點P是內(nèi)任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．【答案】【分析】分別作點P關(guān)于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接，當點M、N在上時，的周長最?。猓悍謩e作點P關(guān)于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．∵點P關(guān)于的對稱點為C，關(guān)于的對稱點為D，∴；∵點P關(guān)于的對稱點為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值．故答案為：．【點撥】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定．作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D是解題的關(guān)鍵所在．知識點2.“造橋選址”問題A方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．AMMNN【例3】如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點間直線距離最短，使EFP'P為平行四邊形即可，即P【詳解】解：作PP'垂直于河岸l2連接QP'，與另一條河岸相交于F，作FE⊥l則EF∥PP'且∴四邊形EFP∴P'根據(jù)“兩點之間線段最短”，QP'最短，即∴C選項符合題意，故選：C．【點睛】此題考查了軸對稱最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是利用“兩點之間線段最短”．【變式】如圖，平行河岸兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條橋梁連接P，Q兩鎮(zhèn)，已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應(yīng)該選擇方案（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，易證得此時PM+NQ最短.【詳解】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據(jù)“兩點之間線段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項，選項C符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查最短路徑問題，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.【方法二】實例探索法題型1.解決最短路徑的選址問題1.如圖，直線a是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)計劃在直線a上修建一個供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）B．C．D．【答案】C【分析】利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離．【詳解】解：作點M關(guān)于直線a的對稱點M'，連接M'N交直線a根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項C修建的管道，則所需管道最短．故選：C．【點睛】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題．這類問題的解答依據(jù)是“兩點之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別．2.如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點間直線距離最短，使EFP'P為平行四邊形即可，即P【詳解】解：作PP'垂直于河岸l2連接QP'，與另一條河岸相交于F，作FE⊥l則EF∥PP'且∴四邊形EFP∴P'根據(jù)“兩點之間線段最短”，QP'最短，即∴C選項符合題意，故選：C．【點睛】此題考查了軸對稱最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是利用“兩點之間線段最短”．3.如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．【詳解】解：依據(jù)垂線段最短，以及兩點之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的是：故選：D．【點睛】本題主要考查了垂線段最短的運用，實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．題型2.求圖形的最小周長問題4.如圖，在中，，的垂直平分線交于，交于．（1）若，則的度數(shù)是；（2）連接，若，的周長是．①求的長；②在直線上是否存在點，使的值最小，若存在，標出點的位置并直接寫出的最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）50°（2）①6cm②8cm【分析】（1）根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系，可得答案；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AM與MB的關(guān)系，再根據(jù)三角形的周長，可得答案；②根據(jù)兩點之間線段最短，可得P點與M點的關(guān)系，可得PB＋PC與AC的關(guān)系．．【詳解】解：（1）若∠B＝70°，∵∴∠ABC=∠ACB=70°∴∠A=180°70°70°=40°∵的垂直平分線交于，∴MN⊥AB∴∠NMA=90°∠A=50°，故答案為：50°；（2）如圖：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周長是14cm，∴AC＋BC＝14cm，∴BC＝6cm．②當點P與點M重合時，PB＋CP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm．故P點為所求，的最小值是8cm．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得出PB＝PA．5.如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個動點（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，當四邊形ADCE的周長取最小值時，求BD的長．（1）見詳解；（2）【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知,再利用等量代換可得，最后利用SAS可證全等；（2）由△ABD≌△ACE可知,AD=AE,當四邊形ADCE的周長取最小值時,即AD取最小值時，此時AD⊥BC，求出此時BD的值即可得出答案.【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形∵∠DAE=60°即在和中，（2）∵△ABD≌△ACE∴,AD=AE,∴四邊形ADCE的周長為∴當四邊形ADCE的周長取最小值時,即AD取最小值時，此時AD⊥BC，【點撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線段最短，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．（1）若∠ABC=70°，則∠MBC的度數(shù)是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．（1）30；（2）①BC=6cm；②△PBC周長的最小值為14cm．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可求∠MBA，然后用角的和差即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)線段垂直平分線上的性質(zhì)可得AM=BM，然后求出△MBC的周長=AC+BC，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵MN垂直平分AB，∴AM=MB，∴∠MBA=∠A=40°，∠MBC=∠ABC∠MBA=30°；故答案為：30°．（2）①由（1）可知，AM=BM，∴△MBC的周長=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，∵AB=8cm，△MBC的周長是14cm，∴BC=14－8=6（cm）；②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，如圖，∵MN垂直平分AB，∴PB=PA∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P與M重合時，PA+PC=AC，此時PB+PC最小，∴△PBC周長的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點與線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記并能熟練運用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【方法三】成果評定法一．選擇題（共9小題）1．（2022秋?德州期末）如圖：等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點A關(guān)于直線EF的對稱點為點C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點A關(guān)于直線EF的對稱點為點C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．故選：C．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022秋?澄邁縣期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中有M，N兩點，在直線l上求一點P使PM+PN最短，則點P應(yīng)選在（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【分析】首先求得點M關(guān)于直線l的對稱點M′，連接M′N，即可求得答案．【解答】解：如圖，點M′是點M關(guān)于直線l的對稱點，連接M′N，則M′N與直線l的交點，即為點P，此時PM+PN最短，∵M′N與直線l交于點C，∴點P應(yīng)選C點．故選：C．【點評】此題考查了軸對稱﹣最短路徑問題．注意首先作出其中一點關(guān)于直線l的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線l的交點就是所要找的點．3．（2022秋?平輿縣期末）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上一動點，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長的最小值是（）A．13 B．14 C．15 D．【分析】根據(jù)題意知點C關(guān)于直線m的對稱點為點B，故當點P與點D重合時，AP+CP值的最小，求出AB長度即可得到結(jié)論．【解答】解：∵直線m垂直平分BC，∴B、C關(guān)于直線m對稱，設(shè)直線m交AB于D，∴當P和D重合時，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長，∴△APC周長的最小值是AB+AC＝6+7＝13．故選：A．【點評】本題考查了勾股定理，軸對稱﹣最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．4．（2022秋?肇源縣期末）如圖，要在街道l設(shè)立一個牛奶站O，向居民區(qū)A，B提供牛奶，下列設(shè)計圖形中使OA+OB值最小的是（）A． B． C． D．【分析】作點A關(guān)于l的對出現(xiàn)A′，則OA＝OA′，故此AO+BO＝OA′+OB，然后依據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)解答即可．【解答】解：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點O，則點O即為所求點．故選：D．【點評】本題主要考查的是軸對稱﹣最短路徑問題，熟練掌握軸對稱相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023春?阜新期中）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，則△APC周長的最小值是（）A．9 B．10 C． D．11【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得BP＝PC，所以△APC周長＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9．【解答】解：∵直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，∴BP＝PC∴△APC周長＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP∵兩點之間線段最短∴AP+BP≥AB∴△APC的周長＝AC+AP+BP≥AC+AB∵AC＝4，AB＝5∴△APC周長最小為AC+AB＝9故選：A．【點評】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理，以及兩點之間線段最短．做本題的關(guān)鍵是能得出AP+BP≥AB，做此類題的關(guān)鍵在于能根據(jù)題設(shè)中的已知條件，聯(lián)系相關(guān)定理得出結(jié)論，再根據(jù)結(jié)論進行推論．6．（2022秋?江北區(qū)校級期末）如圖，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長為6，點E，F(xiàn)分別是CD，AC上的動點，則AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】作A關(guān)于CD的對稱點H，由CD是△ABC的角平分線，得到點H一定在BC上，過H作HF⊥AC于F，交CD于E，則此時，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，過A作AG⊥BC于G，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形的面積即可得到結(jié)論．【解答】解：作A關(guān)于CD的對稱點H，∵CD是△ABC的角平分線，∴點H一定在BC上，過H作HF⊥AC于F，交CD于E，則此時，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，過A作AG⊥BC于G，∵△ABC的面積為12，BC長為6，∴AG＝4，∵CD垂直平分AH，∴AC＝CH，∴S△ACH＝AC?HF＝CH?AG，∴HF＝AG＝4，∴AE+EF的最小值是4，故選：B．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，解題的關(guān)鍵是正確的作出對稱點和利用垂直平分線的性質(zhì)證明AE+EF的最小值為三角形某一邊上的高線．7．（2023?肇東市校級二模）如圖△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，CD為△ABC的中線，點E、點F分別為線段CD、CA上的動點，連接AE、EF，則AE+EF的最小值為（）A． B． C．6 D．5【分析】連接BF交CD于點I，連接BE、AI，作BG⊥AC于點G，由等腰三角形的性質(zhì)得CD⊥AB，則點A與點B關(guān)于直線CD對稱，所以AE＝BE，AI＝BI，由BE+EF≥BF，BF≥BG，可以證明當點E與點I重合，且BF與BG重合時，AE+EF＝BF＝BG，此時AE+EF的值最小，由×5BG＝×6×4＝S△ABC，求得BG＝，則AE+EF的最小值為，于是得到問題的答案．【解答】解：如圖，連接BF交CD于點I，連接BE、AI，作BG⊥AC于點G，∵CD為△ABC的中線，AB＝6，CD＝4，∴AD＝BD＝AB＝×6＝3，∵AC＝BC＝5，∴CD⊥AB，∴點A與點B關(guān)于直線CD對稱，∴AE＝BE，AI＝BI，∴AE+EF＝BE+EF，∵BE+EF≥BF，BF≥BG，∴當點E與點I重合時，AE+EF＝AI+IF＝BI+IF＝BF，∴當BF與BG重合時，AE+EF＝BF＝BG，此時AE+EF的值最小，∵AC?BG＝AB?CD＝S△ABC，∴×5BG＝×6×4，∴BG＝，∴AE+EF的最小值為，故選：A．【點評】此題重點考查等腰三角形的“三線合一”、軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短、垂線段最短、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?海門市期末）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是（）A． B． C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)【分析】首先證明點E在射線CE上運動（∠ACE＝30°），作點A關(guān)于直線CE的對稱點M，連接FM交CE于E′，此時AE′+FE′的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF＝a，BF＝b，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴點E在射線CE上運動（∠ACE＝30°），作點A關(guān)于直線CE的對稱點M，連接FM交CE于E′，此時AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等邊三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周長的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，故選：B．【點評】本題考查軸對稱最短問題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明點E在射線CE上運動（∠ACE＝30°），本題難度比較大，屬于中考填空題中的壓軸題．9．（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝5，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于5，則α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP＝CD，此時周長最小，根據(jù)CD＝5可求出α的度數(shù)．【解答】解：如圖，作點P關(guān)于OA的對稱點C，關(guān)于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最?。B接OC，OD，PE，PF．∵點P與點C關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝5，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周長＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝5，∴OC＝OD＝CD＝5，∴△COD是等邊三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故選：A．【點評】此題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運用三角形三邊關(guān)系解決．二．填空題（共6小題）10．（2022秋?孝南區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D為AB的中點，P為BC上一動點，連接AP，DP，則AP+DP的最小值是6．【分析】作A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A′B，易求∠A＝60°，則PA＝A'P，且△AA'B為等邊三角形，AP+DP＝A'P+PD為A'與直線AB之間的連接線段，其最小值為A'到AB的距離＝BC＝6，所以最小值為6．【解答】解：作A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A′B，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵PA＝A'P，∴△AA'B為等邊三角形，∴AP+DP＝A'P+PD為A'與直線AB之間的連接線段，∴最小值為A'到AB的距離＝BC＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．11．（2023春?渭南期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分線段BC，P是直線EF上的任意一點，則△ABP周長的最小值是15．【分析】如圖，連接PC．求出PA+PB的最小值可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接PC．∵EF垂直平分線段BC，∴PB＝PC，∴PA+PB＝PA+PC≥AC＝9，∴PA+PB的最小值為9，∴△ABP的周長的最小值為6+9＝15，故答案為：15．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．12．（2023春?管城區(qū)期末）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點G為線段EF上一動點，則△CDG周長的最小值為11．【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CG+GD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝18，解得AD＝9，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CG+GD的最小值，∴△CDG的周長最短＝（CG+GD）+CD＝AD+BC＝9+＝11．故答案為：11．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．13．（2022秋?渭濱區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面積是10．AB的垂直平分線ED分別交AC，AB邊于E、D兩點，若點F為BC邊的中點，點P為線段ED上一動點，則△PBF周長的最小值為7．【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得A與B關(guān)于ED對稱，連接AF，交ED于點P，則當A、P、F三點共線時，△PBF周長最小為AF+FB的長．【解答】解：∵ED是線段AB的垂直平分線，∴A與B關(guān)于ED對稱，連接AF，交ED于點P，∵AP＝PB，∴△PBF周長＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，當A、P、F三點共線時，△PBF周長最小，∵F為BC邊的中點，AB＝AC，∴AF⊥BC，∴S△ABC＝×BC×AF＝10，∵BC＝4，∴AF＝5，∴△PBF周長＝AF+FB＝5+2＝7，∴△PBF周長的最小值為7，故答案為7．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春?遂平縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別為BC，DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為80°．【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，進而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠C＝50°，∴∠DAB＝130°，∴∠HAA′＝50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80°．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．15．（2023春?西峽縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在邊AB，BC上分別找一點E，F(xiàn)使△DEF的周長最小，此時∠EDF＝112°．【分析】如圖，作點D關(guān)于BA的對稱點P，點D關(guān)于BC的對稱點Q，連接PQ，交AB于E′，交BC于F′，則點E′，F(xiàn)′即為所求，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和即可得出答案．【解答】解：如圖，作點D關(guān)于BA的對稱點P，點D關(guān)于BC的對稱點Q，連接PQ，交AB于E′，交BC于F′，則點E′，F(xiàn)′即為所求．∵四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，∴∠ADC＝180°﹣α，由軸對稱知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC＝180°﹣（180°﹣34）＝34°∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝34，∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）＝180°﹣68°＝112°故答案為：112°．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及四邊形的內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）16．（2022秋?吉林期末）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容．請根據(jù)所給教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．定理應(yīng)用：（1）如圖②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，垂足分別為M，N，BC＝20，則△ADE的周長為20．（2）如圖③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分別是AB、AD上任意一點，若AB＝6，△ABC的面積為30，則BP+EP的最小值是10．【分析】教材呈現(xiàn)：根據(jù)“SAS”證明△PCA≌△PCB即可；定理應(yīng)用：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理證明AD＝BD，AE＝EC，那么△ADE的周長就轉(zhuǎn)化為BC的長；（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，可知AD是BC的垂直平分線，所以想到過點C作CE⊥AB，垂足為點E，交AD于點P，此時EP+BP＝CE，EP+CP的值最小．【解答】教材呈現(xiàn)：證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA＝PB；定理應(yīng)用：解：（1）∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，∴AD＝BD，AE＝EC，∵△ADE的周長＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝20，故答案為：20．（2）過點C作CE⊥AB，垂足為點E，交AD于點P，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴BP＝PC，∴BP+EP＝CP+EP＝CE，此時BP+EP的值最小，在Rt△ABD中，∴△ABC的面積＝AB?CE＝3CE＝30，∴CE＝10，則BP+EP的最小值為10．故答案為：10．【點評】本題考查了軸對稱—最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．17．（2023?老河口市一模）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．（1）若∠ABC＝70°，則∠MBC的度數(shù)是30度；（2）若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．【分析】（1）依據(jù)△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度數(shù)以及∠A的度數(shù)，再根據(jù)MN是垂直平分線，即可得到MA＝MB，∠MBA＝∠A＝40°，進而得出∠MBC的度數(shù)；（2）①依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得到AM＝BM，進而得出△BCM的周長＝AC+BC，再根據(jù)AB＝AC＝8cm，△MBC的周長是14cm，即可得到BC的長；②依據(jù)PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到當P與M重合時，PA+PC＝AC，此時PB+PC最小，進而得出△PBC的周長最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分線交AB于點N，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠A＝40°，∴∠MBC＝30°，故答案為：30；（2）①∵MN是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴△BCM的周長＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周長是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②當P與M重合時，△PBC的周長最小．理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴當P與M重合時，PA+PC＝AC，此時PB+PC最小值等于AC的長，∴△PBC的周長最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．【點評】本題主要考查了最短路線問題以及等腰三角形的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．18．（2022秋?思明區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，直線l與網(wǎng)格線重合，點A，C，A′，B′均在網(wǎng)格點上．（1）已知△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，請在圖上把△ABC和△A′B′C′補充完整：（2）在以直線l為y軸的坐標系中，若點A的坐標為（a，b），則點A′的坐標為（﹣a，b）；（3）在直線l上畫出點P，使得PA+PC最短．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征求解即可；（3）連接A'C，與直線l交于點P，連接PA，此時PA+PC最短．【解答】解：（1）如圖，△ABC和△A′B′C′即為所求；（2）由題意可得，點A′的坐標為（﹣a，b）．故答案為：（﹣a，b）；（3）如圖，點P即為所求．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線問題、作圖﹣軸對稱變換、坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．19．（2022秋?啟東市期末）如圖，B、C兩點關(guān)于y軸對稱，點A的坐標是（0，b），點C坐標為（﹣a，﹣a﹣b）．（1）直接寫出點B的坐標為（a，﹣a﹣b）；（2）用尺規(guī)作圖，在x軸上作出點P，使得AP+PB的值最??；（3）∠OAP＝45度．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的特點即可得到結(jié)論；（2）如圖所示，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B交x軸于P，點P即為所求；（3）過B作BD⊥y軸于D，D（0，﹣a﹣b），則BD＝﹣a，OD＝﹣a﹣b，由（2）知A與A′關(guān)于