機密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

天津卷-數學

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。

2.本卷共9小題，每小題5分，共45分

參考公式：

?如果事件A、B互斥,那么P(AU3)=P(A)+P(3).

?如果事件4、5相互獨立，那么尸(A8)=P(A)P(3).

?球的體積公式\/=!〃/，其中R表示球的半徑.

3

?圓錐的體積公式v=1s/7,其中S表示圓錐的底面面積，人表示圓錐的高.

3

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合A={-l,0,l},B={l,3,5},C={0,2,4}.則(40碗。=()

A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

2.已知awR,則“a>6”是“4>36”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.從某網絡平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數據，將所得400個評分

第1頁共8頁

數據分為8組：[66,70）,[70,74）,…,[94,98],并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評

5.設。=log2().3,b=log]0.4,。=0.4。1則a,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

6.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為兩個

3

圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3乃B.44C.9萬D.12萬

7.若20=5"=10,則,+■!?=()

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

r22

8.已知雙曲線/卞=S">。）的右焦點與拋物線外2Mp>。）的焦點重合,

拋物線的準線交雙曲線于A,B兩點,交雙曲錢的漸近線于C、D兩點，若

|C￡>|=0|AB|.則雙曲線的離心率為（

A.V2B.73C.2D.3

cos(24x-24。).

9.設aeR函數/(x)=,若/（X）在區(qū)間（0,+00）內恰有

X2—2(。+l)x+ci~+5,x>a

6個零點，則。的取值范圍是（)

g9(511

A.2,-u

4(24

7

D.3

4T)-

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）

數學

第n卷

注意事項

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

第2頁共8頁

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空

的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.

10.i是虛數單位，復數吃3=.

2+z

11.在的展開式中，f的系數是.

12.若斜率為6的直線與y軸交于點A,與圓f+（y-i）2=i相切于點B,則

\AB\=.

14.甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的

一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為3和1，且每次

65

活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率

為;3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為.

15.在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段BC上的動點，DELAB且交A8于

點E.DF//AB且交AC于點F,則\2BE+DF\的值為；（屁+房"）?麗的

最小值為.

三、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程

成演算步驟.

16.（本小題滿分14分）

在AMC,角A,民C所對的邊分別為a,〃c,己知sinA:sin8:sinC=2:1:夜，6=0.

（I）求a的值；

（II）求cosC的值；

（III）求sin（2C-'）的值.

17.（本小題滿分15分）

如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，尸為棱CO的中點.

（D求證：￡＞尸//平面AEG；

第3頁共8頁

(II)求直線AG與平面AEG所成角的正弦值.

(ill)求二面角A-AG—E的正弦值.

18.(本小題滿分15分)

已知橢圓二+==13>b>0)的右焦點為F,上頂點為反離心率為拽，且

ab'5

|BF|=x/5.

(I)求橢圓的方程；

(H)直線/與橢圓有唯一的公共點M,與y軸的正半軸交于點N,過N與B尸垂直的

直線交x軸于點P.若MP//BF,求直線/的方程.

19.(本小題滿分15分)

已知｛4｝是公差為2的等差數列，其前8項和為64.也｝是公比大于0的等比數列，

b｝=4,—b2=48.

(I)求｛叫和｛2｝的通項公式；

(II)記C“=4”N*.

-2

(i)證明片-％,｝是等比數列；

(ii)證明f佟工<2夜

7

tt\cl-c2k'

20.(本小題滿分16分)

已知a>0,函數/(x)=.

(I)求曲線y=/'(x)在點(0J(0))處的切線方程：

(II)證明/(x)存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得/(x)4a+A對任意xeR成立，求實數人的取值范圍.

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

天津卷-數學參考答案

一、選擇題

1.C2.A3.B4.D5.D6.B7.C8.A9.A

二、填空題

220]1

10.4-i11.16012.J313.2J214.①.一②.一15.①.1②.——

32720

三、解答題

16.(I)20；(ID-：(IID

416

17.(I)證明見解析；(ID^5；(III)-

93

第4頁共8頁

（I）以A為原點，分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系，

則4（0,0,0）,4（。，0,2）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,G（2,2,2）,A（0,2,2）,

因為E為棱BC的中點，F為棱CD的中點，所以￡（2,1,0）,F（l,2,0）,

所以方=（1,0,-2）,而=（2,2,0）,電=（2,1,-2）,

設平面AE￡的一個法向量為而=（玉,y,zj,

f/72-AC.=2x,+2y,=0一,、

則一」J，令士=2,則機=（2,—2,1）,

[m?AE=2%+x—2Z]=0

因為95?&=2—2=0,所以*_L而，

因為平面AEG，所以。尸〃平面AEG；

（II）由（1）得，離=（2,2,2）,

設直線Aq與平面AEG所成角為。，

則si團卜呻，碼卜瑞二品邛;

（III）由正方體的特征可得，平面AAG的一個法向量為麗=（2,—2,0）,

8_272

則cos〈08,"“=DBm

回胴3x2夜—3

所以二面角A-AG-E的正弦值為J1—cos?1D0,〃；）=§?

第5頁共8頁

2

(1)—+/=1;(2)x-y+\[6-0

5-

19.(I)a“=2w-l,nwN*,b?=4",neN,；(II)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

(I)因為｛《,｝是公差為2的等差數列，其前8項和為64.

8x7

所以q+%-----F必=8qH■——x2=64,所以q=1,

所以a”=4+2(〃-l)=2〃-l,〃wN*；

設等比數列｛2｝的公比為q,(q>0),

所以么一a=4/一如=4(/-4)=48,解得q=4(負值舍去),

所以d=4","wM；

101

(ID(i)由題意，c?=b2l,+-=4-"+—,

所以c：-g“=2?4”,

c2-c2?4,,+,

所以且K=0=4,

所以數列卜：-a,｝是等比數列；

⑴由題意知,矢=色普上=喘?；?

I4/__1n

所以

2-22"~y/2-2n~y/22"T，

1<k

所以Z

&=1

、幾T_123n

或<=白戶=牙+了+及+…+汨,

1123n

貝nl仁(=亍+齊+聲+…+f

兩式相減得;<=l+g+*+…+擊一，=-]~^—_爰=2_^-，

n+2

所以［=4一

2"T

第6頁共8頁

所以藕三版步如一第

<2應.

20.(I)y=(a—l)x,(a>0)；(II)證明見解析；(HI)[-e,-+w)

(I)f'(x)=a-(x+V)ex,貝!J/'(O)=a-l,

又/(O)=0,則切線方程為y=(a-l)x,(a>0)；

(II)令/'(x)=a-(x+l)e*=0,則a=(x+l)e\

令g(x)=(x+l)e",貝！1g'(x)=(x+2)ex,

當XG(-8,-2)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；當xe(-2,+8)時，gz(x)>0,g(x)單

調遞增，

當Xf-co時，g(x)<0,g(-l