單元卷七立體幾何與空間向量(能力提升卷)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.〖2022·北京西城區(qū)一?！揭阎痢ⅵ?、γ是三個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βB．若a⊥α，b⊥α，則a∥bC．若a∥α，b∥α，則a∥bD．若a∥α，a∥β，則α∥β2.〖2021·上海徐匯區(qū)一?！饺鐖D，PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，連接AC，BD，PB，PC，PD，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是()A．eq\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))B．eq\o(PB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))C．eq\o(PD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))3.〖2021·安徽五校聯(lián)考〗在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點(diǎn)，則異面直線EF與PQ所成角的大小是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,6) C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)4.〖2021·廣東中山一模〗《算數(shù)書》是我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h，用該術(shù)可求得圓周率π的近似值.現(xiàn)用該術(shù)求得π的近似值，并計(jì)算得一個(gè)底面直徑和母線長(zhǎng)相等的圓錐的表面積的近似值為9，則該圓錐體積的近似值為()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．35.〖2021·上海格致中學(xué)高三三?！饺鐖D，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別是面對(duì)角線AD1與BD上的動(dòng)點(diǎn)，且AP＝DQ，給出下列兩個(gè)判斷：(1)PQ和A1C1始終是異面直線；(2)PQ長(zhǎng)的最小值是eq\f(2\r(3),3)；則下列說(shuō)法正確的是()A．(1)正確，(2)錯(cuò)誤B．(1)錯(cuò)誤，(2)正確C．(1)正確，(2)正確D．(1)錯(cuò)誤，(2)錯(cuò)誤6.〖2021·福建廈門市高三三?！饺鐖D在四棱錐P－ABCD的平面展開圖中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，三角形ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，則四棱錐P－ABCD外接球的球心到面PBC的距離為()A．eq\f(\r(30),5) B．eq\f(\r(30),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(5),6)7.〖2022·哈爾濱師大附中一?！竭^(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作平面α，使α∥平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中點(diǎn)分別為E和F，則直線EF與平面α所成角的正弦值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(3),3)8.〖2021·河南鄭州一?！饺鐖D，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F，G分別是PB，PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段PC上，且CE＝3EP，則()A．PD∥EFB．直線PA與直線GF相交C．PA∥EGD．PA∥平面EFG二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.〖2021·合肥六中期末〗如圖所示的幾何體是一個(gè)正方體挖掉一個(gè)圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點(diǎn)在下底面上)，用一個(gè)垂直于正方體某個(gè)面的平面截該幾何體，下列圖形中可能是其截面圖的是()10.〖2021·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市一模〗一個(gè)正四面體和一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，將正四面體的一個(gè)面和正四棱錐的一個(gè)側(cè)面緊貼重合在一起，得到一個(gè)新幾何體，對(duì)于該新幾何體，有()A．AF∥CDB．AF⊥DEC．新幾何體有7個(gè)面D．新幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)不能在同一個(gè)球面上11.〖2022·濟(jì)寧模擬〗如圖，已知一個(gè)八面體的各條棱長(zhǎng)均為2，四邊形ABCD為正方形，給出下列說(shuō)法，其中正確的是()A．該八面體的體積為eq\f(8,3)B．該八面體的外接球的表面積為8πC．點(diǎn)E到平面ADF的距離為eq\r(3)D．EC與BF所成的角為60°12.〖2021·山東菏澤期末〗沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的eq\f(2,3)(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì))，假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．沙漏的側(cè)面積是16eq\r(5)πcm2B．沙漏中細(xì)沙的體積為1024πcm3C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為1.2cmD．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒(π≈3.14)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.〖2021·河北張家口質(zhì)量檢測(cè)〗萊昂哈德·歐拉是科學(xué)史上一位杰出的數(shù)學(xué)家，他的研究論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支，有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的.歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間總滿足數(shù)量關(guān)系V＋F－E＝2，此式稱為歐拉定理.已知某凸八面體，4個(gè)面是三角形，3個(gè)面是四邊形，1個(gè)面是六邊形，則該八面體的棱數(shù)為________，頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.14.〖2022·淮北模擬〗如圖，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2.取AD的中點(diǎn)E，將△ABE沿BE折起，使二面角A－BE－C為120°，則四棱錐A－BCDE的體積為________.15.〖2021·蘭州一?！饺鐖D，正方體A1C的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱A1D1上，且A1M＝2MD1，過(guò)點(diǎn)M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為________.16.〖2022·河北石家莊期末〗我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童ABCD－EFGH有外接球，AB＝2eq\r(6)，AD＝2eq\r(2)，EH＝eq\r(15)，EF＝eq\r(5)，平面EFGH與平面ABCD的距離為1，則該芻童外接球的體積為________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．〖2021·江西南昌一?！饺鐖D，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，對(duì)角面AA1C1C是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABCD．(1)證明：四棱柱ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱；(2)設(shè)AC∩BD＝O，若AB＝AA1，求二面角D－OB1－C1的余弦值.18．〖2022·山西太原一?！饺鐖D，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝eq\r(2)，AC＝BC＝PC＝eq\r(5)，AB＝2，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn).(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)設(shè)點(diǎn)F在線段BC上，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(FC,\s\up6(→))，若二面角C－AE－F的大小為45°，求實(shí)數(shù)λ的值.19．〖2022·四川成都二?！饺鐖D①，在等腰三角形PBC中，PB＝PC＝3eq\r(5)，BC＝6，D，E滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EP,\s\up6(→)).將△PDE沿直線DE折起到△ADE的位置，連接AB，AC，得到如圖②所示的四棱錐A－BCED，點(diǎn)F滿足eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→)).(1)證明：DF∥平面ACE；(2)當(dāng)AB＝eq\r(29)時(shí)，求平面ACE與平面DEF所成銳二面角的余弦值.20．〖2021·湖南五市聯(lián)考〗如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝eq\r(3)AD，∠ACB＝30°.(1)證明：PA⊥平面ABCD．(2)當(dāng)直線PC與平面PBD所成的角最大時(shí)，求二面角P－BD－C的余弦值.21．〖2021·福州一中期末〗木工技藝是我國(guó)傳統(tǒng)文化瑰寶之一，體現(xiàn)了勞動(dòng)人民的無(wú)窮智慧.很多古代建筑和家具保存到現(xiàn)代依然牢固，這其中，有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了重要作用.如圖，楔子狀五面體EF－ABCD的底面ABCD為一個(gè)矩形，AB＝8，AD＝6，EF∥平面ABCD，棱EA＝ED＝FB＝FC＝5，設(shè)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn).(1)證明：E，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)