試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat29頁江西省吉安市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題及答案一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先解不等式求出集合，的范圍，然后利用集合的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，故集合，因?yàn)?，故集合，則，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的計(jì)算，集合補(bǔ)集與交集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用與的關(guān)系直接求解出即可.【詳解】由題知.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了已知數(shù)列求數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.已知數(shù)列求數(shù)列時(shí)一般利用來求解.3．已知，，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分別求出時(shí)，，的范圍，再根據(jù)，，的大小得到選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，由對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性可知，，且，，排序得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題.4．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題中線性約束條件繪制出可行域，再利用目標(biāo)函數(shù)求解的最大值即可.【詳解】約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，是由原點(diǎn)，，圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到點(diǎn)時(shí)，有最大值，最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，以及線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.5．下列函數(shù)既是奇函數(shù)且又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】逐一分析對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的奇偶性和區(qū)間上單調(diào)性即可.【詳解】由題知A選項(xiàng)中為非奇非偶函數(shù)，故A選項(xiàng)不正確，B選項(xiàng)中為非奇非偶函數(shù)，故B選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)中是奇函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)有或，故在上不單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)不正確，D選項(xiàng)中是奇函數(shù)，求導(dǎo)得，又，，故恒成立，滿足在上單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，屬于基礎(chǔ)題.6．若角滿足，則（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】先根據(jù)求出的值，再根據(jù)正切二倍角公式求解.【詳解】將兩邊平方得，又，化簡得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，即，由倍角公式得，綜上，滿足條件的或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正切的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.7．在邊長為的等邊中，點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先根據(jù)平面向量基本定理把分解為和，再進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】由，得，即，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理，向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.注意在向量分解時(shí)，往往要把向量分解到已知夾角的方向上.8．某幾何體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先根據(jù)三視圖還原幾何體，再根據(jù)三棱錐的體積公式求解即可.【詳解】由題中三視圖還原幾何體，可得邊長為的正方體中，由四個(gè)頂點(diǎn)、、、構(gòu)成的三棱錐，如圖所示，可知三棱錐高，三棱錐底面積，故三棱錐體積.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了通過三視圖還原幾何體，三棱錐的體積公式，屬于一般題.9．已知等差數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先根據(jù)題中條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，然后再求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，因?yàn)?，，所以，，解得，，故，，易知?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，含絕對(duì)值的等差數(shù)列前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.10．橢圓的焦點(diǎn)為，，過與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，，則橢圓方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)，，過與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，列方程求解橢圓方程基本量，，即可.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，連結(jié)，由橢圓的對(duì)稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，屬于一般題.在求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，關(guān)鍵是求解基本量，，.11．已知函數(shù)，若方程的個(gè)不同實(shí)根從小到大依次為，，，，有以下三個(gè)結(jié)論：①且；②當(dāng)時(shí)，且；③．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】繪制出函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)的圖像，然后依次判斷三個(gè)結(jié)論的對(duì)錯(cuò)即可.【詳解】由題繪制函數(shù)如圖所示，可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又，可得且，故結(jié)論①正確，當(dāng)時(shí)，由解得，即或，解得，，，，此時(shí)和均成立，故結(jié)論②正確，由圖可知，則由得，解得，即，同理可得，由①有，，則，解得，則結(jié)論③正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的繪制，方程根與函數(shù)圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題.12．如圖，三棱錐的體積為，又，，，，且二面角為銳角，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)題中條件可以求出三棱錐各邊長，然后證出平面，則可以找出外接球球心，求出半徑，最后利用球體表面積公式求出答案即可.【詳解】因，所以平面，且為二面角的平面角，又，，，由勾股定理可得，，因?yàn)?，所以三棱錐的體積，解得，又為銳角，所以，在中，由余弦定理得，即，則，故，由平面得，故平面，即，取中點(diǎn)，在直角和直角中，易得，故為外接球球心，外接圓半徑，故外接球的表面積.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三棱錐的幾何性質(zhì)求解外接球的表面積，這類題的關(guān)鍵是找出外接球的半徑，屬于中檔題.二、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為________.【答案】【解析】根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，代入整理即可求出軌跡方程.【詳解】由題知，所以，化簡得即為點(diǎn)的軌跡方程.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的求解，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.14．函數(shù)在處的切線與直線垂直，則該切線在軸上的截距為_______________.【答案】【解析】首先求出函數(shù)在處的切線斜率，再根據(jù)切線與直線垂直求出，求出切線方程，根據(jù)切線方程即可求出切線在軸上的截距.【詳解】因，由題意得，解得，又，則在處的切線方程為，令得，則該切線在軸上的截距為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.15．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，其中一條漸近線與圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，該雙曲線的離心率為_______________．【答案】【解析】根據(jù)題中雙曲線與圓的幾何性質(zhì)，求解雙曲線基本量，，的比例關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】由圓的性質(zhì)易知，則為等腰直角三角形，不妨取雙曲線的一條漸近線，設(shè)中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，則，即，，解得離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線離心率的求解，屬于一般題.注意，在雙曲線中，焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為，記住這個(gè)結(jié)論可以幫助解題.16．剛上班不久的小明于月日在某電商平臺(tái)上通過零首付購買了一部售價(jià)元的手機(jī)，約定從下月日開始，每月日按等額本息（每期以相同的額度償還本金和利息）還款元，年還清；其中月利率為，則小明每月還款數(shù)___________元（精確到個(gè)位）.（參考數(shù)據(jù)：；；）【答案】【解析】根據(jù)題中條件，小明需要12個(gè)月還清貸款，即在第12個(gè)月的時(shí)候小明的欠款為零元，列方程求解，即可求出每月還款數(shù).【詳解】由題知小明第次還款元后，還欠本金及利息為元，第次還款元后，還欠本金及利息為：元，第次還款元后，還欠本金及利息為：元，以此類推則第次還款元后，還欠本金及利息為：元，此時(shí)已全部還清，則，即，解得元.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用等比數(shù)列解決實(shí)際問題的能力，屬于一般題.三、解答題17．在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)向量平行列出方程，再利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，然后求出角的大?。唬?）根據(jù)余弦定理求出的取值范圍，再根據(jù)三角形邊的幾何性質(zhì)求出周長的取值范圍.【詳解】（1）由得，由正弦定理，得，即，因?yàn)樵谌切沃?，則，又，故；（2）在中，因，，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，又由三角形性質(zhì)得，故，則，即的周長的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理的應(yīng)用，結(jié)合考查了兩向量平行，屬于一般題.第二問屬于典型的已知三角形一角和該角所對(duì)邊的問題，可以利用圓中弦所對(duì)圓周角相等的這個(gè)幾何性質(zhì)求出三角形邊長范圍.18．如圖，在三棱柱中，平面，，，且，，分別為棱，，的中點(diǎn).（1）證明：直線與共面；并求其所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析，；（2）存在，，理由見解析.【解析】（1）證明直線與共面只需證明出與平行即可，然后再通過余弦定理求出兩直線所成角的余弦值；（2）建立直角坐標(biāo)系，求出，利用線面垂直條件證明即可.【詳解】（1）證明：，分別是，的中點(diǎn)，，由棱柱性質(zhì)易得，，，，，四點(diǎn)共面，即直線與共面得證，取中點(diǎn)為，連結(jié)，易知四邊形為平行四邊形，故，則為直線與所成角，，，，在中，，，，即直線與所成角的余弦值為；（2）由題意，直線，，兩兩相互垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系，為坐標(biāo)原點(diǎn)，有，，，，，，設(shè)，，則，，，要使平面，則，即，解得，即，故在棱上存在點(diǎn)，使得平面，且.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線平行，余弦定理，空間直角坐標(biāo)系中向量相互垂直的表示，屬于一般題.19．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)斜率為的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，根據(jù)題中條件列關(guān)于，的方程，求出，的關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題中條件求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合斜率，即可求出.【詳解】（1）由題意設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，則，又動(dòng)圓在軸上截得的弦長為，所以圓心到軸的距離為，則，即，化簡得，即軌跡的方程為：；（2）由題意，設(shè)，，，聯(lián)立得，由題意，判別式，且，，由可得，代入解得則，，，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線所交弦長的求解，屬于中檔題.注意在求解軌跡方程時(shí)，常用的方法是求誰設(shè)誰，再利用題中條件找出，的關(guān)系.20．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為，公差不為的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求，；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列，求出等差數(shù)列的公差，即可求出，根據(jù)與的關(guān)系求出；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，然后再證明.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列得，解得（舍去）或，則，因，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，有，即又，則；（2）由（1）得，則，兩邊乘以，得，兩式相減，得，，，整理得，所以得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，利用錯(cuò)位相減法求差比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.（1）在利用求時(shí)，要注意分段；（2）等差乘等比的數(shù)列常稱為差比數(shù)列，主要利用錯(cuò)位相減法求差比數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；（2）.【解析】（1）代入，對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，然后對(duì)分類討論，取滿足條件的的取值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又，設(shè)，則恒成立，在單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；（2）由，可得，且，設(shè)，即，又，①當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)，故不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在恒成立，同①可得在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)，故也不滿足題意，③當(dāng)時(shí)，有，設(shè)的兩根為，，則有，，故，則時(shí)，時(shí)，即函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，故，，當(dāng)，即時(shí)，在無零點(diǎn)，又在單調(diào)遞增，即在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)，故不滿足題意，當(dāng)，即時(shí)，則使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即此時(shí)在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)，極值點(diǎn)為和，故滿足題意，綜上可得，符合條件的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，利用區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，屬于難題.（1）在求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)單調(diào)，則要注意找導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；（2）對(duì)于分類討論問題要有序的進(jìn)行分類討論，可以避免討論的重復(fù)和缺失.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）求上的點(diǎn)到距離的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）直線方程消去參數(shù)即可求得直線的普通方程，曲線的方程根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，然后代入曲線的參數(shù)方程形式，即可求出答案.【詳解】（1）由直線的參數(shù)方程消參數(shù)，有，即的普通方程為，由，得，則，化簡得；（2）由（1）可設(shè)的參數(shù)方