海淀區(qū)2022—2023學(xué)年第一學(xué)期期中練習(xí)

高三數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題

題目12345678910

答案BACBADBCAD

二、填空題

(11)45(12)(0,l)U(l,+°o)(13)答案不唯一，小于1的實(shí)數(shù)均可

(14)2；-1或1(15)2；(0,2)

三、解答題

(16)(本小題13分)

解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因?yàn)樯?3,S$=25,

67|+d=3,

所以|5x4

5a.+—d=25.

12

解得夕；

[a=2.

所以4,=2"—1.

(II)選擇條件③.

因?yàn)?=1,4=3,

所以

因?yàn)?”=%，

即2m-l=3i.

徂3口1

得m=--------.

2

因?yàn)閗eN*,3i為奇數(shù)，3*T+1為偶數(shù)，

所以meN*.

-r殂3*-'+1

可得，"=-----.

2

(17)(本小題14分)

解：(I)/(--)=2sin(--)cos(--)+2COS2(--)-1

4444

=2(當(dāng)?shù)?2(爭(zhēng)T

=-1.

(II)/(x)=sin2x+cos2x=\/2sin(2x4--).

4

所以f(x)的最小正周期為7=曰=九

(III)因?yàn)?4x4烏，所以巴42x+二42，

2444

當(dāng)2x+冷,即x弋時(shí)，f(x)取得最大值，

所以f(x)在區(qū)間［0,-］上的最大值為/(-)=72;

28

當(dāng)2》+工=型，即x=2時(shí)，/(X)取得最小值，

442

所以,(幻在區(qū)間嗚］上的最小值為/(|)=-i.

(18)(本小題14分)

解：(I)f{x}的定義域?yàn)镽

2

f\x)=x-2x,令尸(x)=0,X,=0,X2=2.

XS,0)0(0,2)2(2次)

/'(x)+0—0+

fW7極大值極小值/

由表可得，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-co,0),(2,+oo)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).

44

(II)由函數(shù)解析式及(I)可知/(一1)=一1/(0)=0,/(2)=-1/(3)=0.

①當(dāng)小￡(一1,2)時(shí)，J(x)w-g,不符合題意；

_A

②當(dāng)me［2,3］時(shí)，/(x)在區(qū)間［-1,汨上的取值范圍是,符合題意；

③當(dāng)相>3時(shí)，由f(x)在區(qū)間(2,go)上單調(diào)遞增可知/(㈤>"3)=0,不符合題意.

綜合上述，we［2,3］

(19)(本小題14分)

解：(I)在△ABD中，ABAD=15°,NA8D=45。,所以NA￡>8=60。.

由正弦定理：一些一=—"一，得*-=*_,

sinZABDsinZ.ADBsin45°sin60°

0

cin4S。Ol

所以，AD=———-AB=4=.X12=4V6(km).

sin600yfj

T

sinABAD=sin750=sin(450+30°)=-(—+-)=■丁,

所以的面積為

SAABD=^AB-AD-sinZBAD=1x12x4>76x=36+1273(km2).

(11)由NS4C=3O°,ZABC=60°,得NC4￡)=45°,AC=6G.

在△ACO中由余弦定理，得

CD2=AC2+AD2-2ACA￡>cosZC4D=36x3+16x6-2x6>/3x4x/6x—=60.

2

所以，CD=2岳(km).

即點(diǎn)C,D之間的距離為2后km.

(20)(本小題15分)

解：(I)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=ev-2sinx,

則/(0)=L

f\x)=e'—2cosx,貝ijr(0)=—1.

曲線f(x)在(0,/(0))處的切線方程為y=-x+\.

(II)當(dāng)a=l時(shí)，記8(了)=/。)一2=巳，一5巾不一2,

則g'(x)=e*-cosx.

當(dāng)x￡(0,兀)時(shí)，ev>e°=l,cosx<1,

所以g3>g'(0)=。.

所以g(x)在(0,兀)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(0)=-l<0,gm)=e"-2>。，

所以函數(shù)丁=/(%)-2在區(qū)間(0,兀)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

(III)設(shè)〃(x)=/(x)+cosx-2=ev-tzsinx+cosx-2.

則h'(x)=ev-acosx-sinx.

設(shè)s(x)=e'-tzcosx-sinx.

則s'(x)=e"-cosx+asinx.

因?yàn)楫?dāng)xe［O,兀|時(shí)，e*Ne。=l,cosx京Q,sinx0,

所以當(dāng)aNO時(shí)，xe［O,n］時(shí)，.v'(x)>0,

所以h\x)在區(qū)間［0,河上單調(diào)遞增(*).

(1)當(dāng)a>l時(shí)，/i'(0)=l-a<0,/i'S)=e"+a>0,

且h\x)在區(qū)間［0,兀］上單調(diào)遞增，

所以存在唯一與€(0,兀)，使得"x0)=0.

當(dāng)X€(O,Xo)時(shí)，/?'(X)<0,

所以〃(x)在區(qū)間(O,xo)上單調(diào)遞減.

可得〃(與)<〃(0)=0,所以與題意不符.

(2)當(dāng)a=l時(shí)，

/i(x)=e*-sinx+cosx-2.

h'(x)=ev-cosx-sinx

由(*)可知：〃'(x)在區(qū)間［0,兀］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xe［0,2時(shí)，/z'(x)>/z'(O)=O.

所以h(x)在區(qū)間［0,兀］上單調(diào)遞增.

所以“(X)..〃(0)=0區(qū)間［0,7t］上恒成立.

符合題意.

(3)當(dāng)4<1時(shí)，

h(x)=e*-asinx+cosx-2>e"-sinx+cosx-2.

由(2)可知,此時(shí)〃(x)>0在區(qū)間［0,何上恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(21)(本小題15分)

解：(I)(i)數(shù)表1不具有性質(zhì)p(2).

理由：|a2J-a3A|+1a22-1+|?2.3-^,31=1*2.

(ii)存在.1=3時(shí)，數(shù)表2具有性質(zhì)p(f).

(II)不存在數(shù)表A“X2023具有性質(zhì)P(6).

假設(shè)存在m使得數(shù)表A.X2023具有性質(zhì)P(6)，則

a

14.i一6+MI+14.2一4+I,2I+?..+14."-M,n1=6(/=1,2,-.

即在這兩行中，有6列的數(shù)不同，設(shè)其中有“列是第i行的數(shù)為1,第i+1行的數(shù)為0,

則有6-左列是第i行的數(shù)為0,第i+1行的數(shù)為1.

所以，從第i行到第i+1行，一共增加了6-2左個(gè)1,1的個(gè)數(shù)的奇偶性不變.……7分

所以，任意兩行中，1的個(gè)數(shù)的奇偶性相同.

與數(shù)表4*2⑼第一行有2023個(gè)1,最后一行有0個(gè)1矛盾.

所以，不存在具有性質(zhì)2(6)的數(shù)表4x2023-

(III)/⑺的最大值的為〃+1.

定義機(jī)-1行〃列的數(shù)表庫(kù)…,：

其第i行第，列為k=|atj-ai+l.1,z=1,2,--?,/?-1(./=1,2,?-?,?).

則Me{0,l},且均=0表示%p4+ij兩數(shù)相同，％；=1表示兩數(shù)不同.

因?yàn)閿?shù)表的第1行確定，所以給定數(shù)表瓦,1刖后，數(shù)表4,*“唯一確定.

①先證+

我們按照如下方式，構(gòu)造數(shù)表紇/對(duì)于第2s-1行和第2s行，s=l,2,…

令b2s-3-1=1也-1,2s=。,%.2s-l=°也Os=1，

且在這兩行其余的〃-2列中，任選相同的f-1列都為1,其他列都為0.

于是可得到具有性質(zhì)P。)的數(shù)表A?+1)x?如下：

第1列第2列第3列第4列第止1列第〃歹U

111111

001111

000011

000000

即對(duì)于每個(gè)小{2,3,…，〃—1},當(dāng)根=〃+1時(shí)，都存在數(shù)表A…具有性質(zhì)p⑺.

所以/(/)</?+!.

②再證，=〃一1時(shí)，+