第三章不等式小結(jié)與復(fù)習(xí)（第一課時）〖教學(xué)過程〗一、本章知識結(jié)構(gòu)不等關(guān)系與不等到式一元二次不等式及其解法不等關(guān)系與不等到式一元二次不等式及其解法二元一次不等式（組）與平面區(qū)域簡單的線性規(guī)劃問題基本不等式最大（小）值問題二、知識回顧（一）不等關(guān)系與不等式1.實數(shù)a,b大小比較的基本方法;2.不等式的性質(zhì).(二)一元二次不等式及其解法(三)二元一次不等式（組）與平面區(qū)域1.用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域；2.二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法；3.線性規(guī)劃的有關(guān)概念；4.求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟。（四）基本不等式1.基本不等式：如果那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.2．應(yīng)用基本不等式求最值：如果都是正數(shù)，那么，(1)若積是定值P，那么當(dāng)時，和有最小值．(2)若和是定值S，那么當(dāng)時，積有最大值．三、典型例題分析（一）利用不等式性質(zhì)比較大小【例】比較大?。汉停痉治觥亢降氖阶颖容^大小，一般先平方后再用作差法比較大小．【解答】∵∴<【歸納】不等式的性質(zhì)及常用的證明方法主要有：比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等.用比較法證明不等式的一般步驟是：①作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差；②變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和；③判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號.注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小.（二）解一元二次不等式【例】解不等式【分析】此不等式可以分解為：，故對應(yīng)的方程必有兩解.本題只需討論兩根的大小即可.【解答】將不等式變形為當(dāng)時，有，解集為；當(dāng)時，有，解集為；當(dāng)時，有，解集為；時，解集為；時，解集為.【歸納】（1）含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏；（2）若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零時的情形，以便確定解集的形式；（3）其次對方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.（三）利用基本不等式求最值【例】若，求的最小值.【分析】把寫成是解此題的關(guān)鍵.【解答】，且與同號，又由基本不等式，知.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值12.【歸納】利用公式求函數(shù)最值時應(yīng)注意以下三個條件：（1）均為正數(shù)；（2）與有一個為定值；（3）等號必須取到.（四）利用基本不等式解應(yīng)用題【例】據(jù)2009年2月1日出版的《市場報》報到，隨著我國國民經(jīng)濟的快速增長，人們的經(jīng)濟收入明顯提高，生活越來越好.據(jù)有關(guān)部門抽樣調(diào)查的結(jié)果顯示，我國城鄉(xiāng)居民汽車擁有量比2008年初翻了一番.某種汽車，購車費是十萬元，每年使用的保險費、燃油費約為0.9萬元，維修費第一年是0.2萬元，以后每年遞增0.2萬元.問這種汽車使用多少年后，它的平均費用最小？【分析】由題意可建立平均費用與使用年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而通過求函數(shù)的最值確定x的取值.【解答】設(shè)使用x年后平均費用最少，由“維修費第一年是0.2萬元，以后每年遞增0.2萬元”，可知汽車每年的維修費構(gòu)成以0.2萬元為首項，以0.2萬元為公差的等差數(shù)列.因此，汽車使用x年總的維修費為萬元.設(shè)汽車的年平均費用為y萬元，則有當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最小值.答：汽車使用10年后，它的平均費用最少.【歸納】在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，要注意以下四點：（1）設(shè)變量時一般把要求最值的變量定為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域；（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；（4）回到實際問題中去，寫出實際問題的答案.四、數(shù)學(xué)思想在不等式問題中的體現(xiàn)（一）補集思想在不等式中的應(yīng)用對于一些比較復(fù)雜、比較抽象、條件和結(jié)論之間關(guān)系不明朗，難以從正面入手的數(shù)學(xué)問題，在解題時，可調(diào)整思路，從問題的側(cè)面或反面入手，探求已知與未知的關(guān)系，這樣能起到反難為易，化隱為顯，從而使問題得以輕松解決.【例】已知集合，，若，求實數(shù)的取值范圍.【分析】，說明集合是由方程的實根組成的非空集合，并且方程的根有：（1）兩負(fù)根；（2）一負(fù)根一零根；（3）一負(fù)根一正根三種情況，分別求解十分麻煩，這時我們從求解問題的反面考慮，采用“正難則反”的解題策略，即先由≥0，求出全集，然后求方程兩根均為非負(fù)時的取值范圍，最后再用“補集”求解.【解答】設(shè)全集，或.若方程的二根，均非負(fù)，則.∵關(guān)于的補集為，∴實數(shù)的取值范圍為.【歸納】本題運用的“正難則反”的解題策略，正是運用“補集思想”.解數(shù)學(xué)問題，一般總是從正面入手進(jìn)行思考，但有時會遇到從正面入手不易解決的情況，這時作逆向思考則常可奏效.（二）方程思想在不等式中的運用方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式.用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程（組）.【例】已知不等式的解集是，則求不等式的解集.【分析】知道是的兩實根，然后通過解方程組求出.【解答】由題意知是的兩實根，.解得.【歸納】經(jīng)常用到方程思想的有一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系，方程、函數(shù)、不等式的關(guān)系等內(nèi)容，在解決與這些內(nèi)容有關(guān)的問題時要注意方程思想的應(yīng)用.（三）等價轉(zhuǎn)化思想在不等式中的應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果應(yīng)是充分必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題所需要的結(jié)果；而非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口，是分析問題中思維過程的主要組成部分.【例】當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【分析】原不等式的解集為R，求的范圍，從而找到切入口為：小于函數(shù)的最小值.【解答】令，（）當(dāng)時，的最小值為1.∴原命題解關(guān)于的不等式或≤或1≤.【歸納】本例通過幾次等價轉(zhuǎn)化，把原本棘手的問題轉(zhuǎn)化為顯而易見的問題，然后利用相關(guān)知識來解決，這是等價轉(zhuǎn)化思想的巧妙之處.（四）數(shù)形結(jié)合思想在線性規(guī)劃問題中的體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.它使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，它從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面考慮問題，拓展了解題思路，它是數(shù)學(xué)規(guī)律性與靈活性的結(jié)合，在本章線性規(guī)劃問題中有著廣泛的應(yīng)用.【例】已知，求的取值范圍；【分析】正確畫出可行域，平行移動直線：找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值，也就是的取值范圍.【解答】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作直線：，作一組平行線：，由圖知由向右下方平移時，隨之增大，反之減小，∴當(dāng)經(jīng)過點時取最小值，當(dāng)經(jīng)過點時取最大值，由和分別得，，∴，，所以，．【歸納】簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么形式的問題提出，其求解的格式與步驟是不變的.（五）換元思想