必備知識預案自診【知識梳理】

1.數(shù)列的有關(guān)概念及一般形式

概念含義數(shù)列按照

排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的

數(shù)列的項數(shù)組成數(shù)列的

一般形式a1,a2,a3,…,an,…,簡記為

通項數(shù)列一般形式中

表示數(shù)列的第n項(也稱n為an的序號,其中n為正整數(shù)),稱為數(shù)列的通項

一定次序每一個數(shù)數(shù)的個數(shù){an}an2.數(shù)列的分類

類別含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)

的數(shù)列

無窮數(shù)列項數(shù)

的數(shù)列

按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起,每一項都

它的前一項的數(shù)列

遞減數(shù)列從第2項起,每一項都

它的前一項的數(shù)列

常數(shù)列各項都

的數(shù)列

有限無限大于小于相等3.數(shù)列的通項公式一般地,如果數(shù)列的第n項an與

之間的關(guān)系可以用

來表示,其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未知數(shù)的表達式,則稱此關(guān)系式為這個數(shù)列的一個通項公式.

4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}可以看成定義域為

的函數(shù),數(shù)列中的數(shù)就是自變量

取正整數(shù)值時對應(yīng)的函數(shù)值,而數(shù)列的

也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.

nan=f(n)正整數(shù)集的子集

從小到大依次通項公式5.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的

(或前幾項),且數(shù)列的相鄰兩項或兩項以上的關(guān)系都可以用

來表示,則稱這個公式為數(shù)列的遞推關(guān)系(也稱為遞推公式或遞歸公式).

首項一個公式溫馨提示

數(shù)列遞推公式與通項公式的關(guān)系

遞推公式通項公式區(qū)別表示an與它的前一項an-1(或前幾項)之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法;(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式6.數(shù)列的前n項和(1)一般地,給定數(shù)列{an},稱Sn=

為數(shù)列{an}的前n項和.

(2)Sn與an的關(guān)系a1+a2+a3+…+an

S1Sn-Sn-1常用結(jié)論【考點自診】

1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達.(

)(2)數(shù)列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.(

)(3)若數(shù)列用圖像表示,則從圖像上看都是一群孤立的點.(

)(4)一個確定的數(shù)列,它的通項公式只有一個.(

)(5)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則對?n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(

)××√××2.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=9+12n,則在下列各數(shù)中,不是{an}的項的是(

)A.21 B.33 C.152 D.153答案

C

解析依次令an=21,33,152,153,如果能得到正整數(shù)解,則是數(shù)列中的項,否則不是.對于選項A,21=9+12n,得n=1;對于選項B,33=9+12n,得n=2;3.已知數(shù)列{an}的前4項依次為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項公式不可能是(

)答案

C

5.已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=2n2-n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為

.

解析

由題意,可知當n=1時,a1=S1=2;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+n-1=4n-3.關(guān)鍵能力學案突破考點1由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式【例1】根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值,寫出數(shù)列的一個通項公式:(1)-1,7,-13,19,…;解

(1)偶數(shù)項為正,奇數(shù)項為負,故通項公式必含有因式(-1)n;觀察各項的絕對值,后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6,故所求數(shù)列的一個通項公式an=(-1)n(6n-5).解題心得1.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時,要注意觀察每一項的特點,抓住其幾方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相鄰項的變化特征,拆項后的各部分特征,符號特征.進而觀察an與n之間的關(guān)系,可使用添項、通分、分割等辦法,轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求.對于正負符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.2.若此類問題為選擇題,則可以利用給出數(shù)列的前幾項進行檢驗排除,即可得到正確的選項.答案

(1)C

(2)C

(3)D

解析(1)方法一(直接法)

先將各項統(tǒng)一為分式,由第2,3,4項的分母可知,通項公式的分母為奇數(shù)1,3,5,7,…,故a1的分母為1,an的分母為2n-1.由第2,3,4項的分子可知,通項公式的分子為偶數(shù)0,2,4,6,…,故a1的分子為0,an的分子為2(n-1).考點2由an與Sn的關(guān)系求通項公式an【例2】

(1)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則an=

.

(2)已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,則an=

.

(3)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且log2(Sn+1)=n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為

.

解析

(1)∵Sn=2an+1,當n≥2時,Sn-1=2an-1+1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.當n=1時,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.∴數(shù)列{an}是首項a1為-1,公比q為2的等比數(shù)列,∴an=-1×2n-1=-2n-1.(2)當n=1時,由已知,可得a1=21=2.∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1.(3)由log2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1,當n=1時,a1=S1=3;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n,顯然當n=1時,不滿足上式.解題心得1.已知Sn求an的流程(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式;(3)注意檢驗n=1時的表達式是否可以與n≥2時的表達式合并.2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-1的關(guān)系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的關(guān)系式,再求解.對點訓練2(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=4-(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為

.

(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1,則a10=(

)A.128 B.256C.512 D.1024(2)∵Sn+1=2Sn-1,當n≥2時,Sn=2Sn-1-1,兩式相減得an+1=2an.當n=1時,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.∴數(shù)列{an}從第二項開始為等比數(shù)列,公比為2.則a10=a2×28=1×28=256,故選B.考點3利用遞推關(guān)系求通項公式【例3】

在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,則an=

.

(4)∵an+1+an=2n,∴an+2+an+1=2n+2,故an+2-an=2.即數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列.∵an+1+an=2n,a1=1,∴a2=1.解題心得由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法

(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(an>0,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式an=

.

(3)(2020山東、湖北部分重點中學聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,則an=

.

(4)若a1=1,an+1=2nan,則數(shù)列{an}的通項公式an=

.

考點4數(shù)列的性質(zhì) (多考向探究)考向1

數(shù)列的周期性

答案0

解題心得解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項,確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期性求值.考向2

數(shù)列的單調(diào)性【例5】

(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),且an=2n+λ,若數(shù)列{Sn}(n≥7,n∈N*)為遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍為

.

答案(1)(-16,+∞)

(2)D

解析

(1)當n≥7時,數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列,設(shè)Sn+1>Sn,即Sn+1-Sn=an+1>0,∴an+1=2(n+1)+λ>0,則λ>-2n-2.又n≥7,∴-2n-2≤-16,即