-.z.四邊形綜合復(fù)習(xí)一、知識(shí)要點(diǎn)回憶：1.知識(shí)歸納：2.在線段、角、等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圓、正五邊形、正六邊形中，既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是。3.平行四邊形的性質(zhì)：與邊有關(guān)的_________________________。與角有關(guān)_____，對(duì)角線________________________。4.矩形(1)矩形具有平形四邊形的所有性質(zhì),還具有自己的性質(zhì):①矩形的每個(gè)角都是;②矩形的對(duì)角線且.5.菱形菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì),還具有自己的性質(zhì):(1)菱形的四條邊都;(2)菱形的對(duì)角線6.正方形正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì).注意：對(duì)角線與特殊四邊形的關(guān)系1.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形3.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形4.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形四、例題解析例1：如圖，在的紙片中，AC⊥AB，AC與BD交于O，將△ABC沿對(duì)角線AC翻折得到.〔1〕求證：以A、C、D、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形；〔2〕假設(shè)，求翻折后紙片重疊局部的面積，即.意圖：1、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定定理的綜合應(yīng)用；2、實(shí)現(xiàn)一題多解，有選擇的運(yùn)用矩形的判定定理，評(píng)析證明方法的優(yōu)劣。3、等積變換，以及對(duì)三角形底的選擇直接影響到求面積的難易程度。例2：我們給出如下定義：假設(shè)一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四邊形.請(qǐng)解答以下問(wèn)題：〔1〕寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱(chēng)；〔2〕探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.意圖：如何實(shí)現(xiàn)構(gòu)造兩條線段之和及將夾角進(jìn)展有效轉(zhuǎn)移例3：如圖，中，平分，交于，于，交于，且?！?〕試說(shuō)明；〔2〕試問(wèn)與之間有何數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由。解法1：〔見(jiàn)圖1〕延長(zhǎng)到，使得，連結(jié)，實(shí)現(xiàn)將轉(zhuǎn)化為線段；解法2：〔見(jiàn)圖2〕延長(zhǎng)到，使得，連結(jié)，實(shí)現(xiàn)將轉(zhuǎn)化為線段；解法3：〔見(jiàn)圖3〕延長(zhǎng)到，使得，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，實(shí)現(xiàn)將轉(zhuǎn)化為線段；圖1圖2圖3解法4：〔見(jiàn)圖4〕如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，可證得，則，可求得，即則解法5：見(jiàn)圖5：如圖建立直角坐標(biāo)系，解法同解法4圖4圖5將此題復(fù)原比照：在中，平分交于點(diǎn)，證明：復(fù)原圖例題圖意圖：1、解法1、2、3均強(qiáng)調(diào)如何構(gòu)造兩條線段的和，運(yùn)用了平移、旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造；2、解法4、5均強(qiáng)調(diào)將幾何問(wèn)題代數(shù)化，初步滲透高中解析幾何的思想。體會(huì)〔1〕建立平面直角坐標(biāo)系的可能。即存在直角。或有特殊的根本圖形存在，如等腰直角三角形、正方形；〔2〕坐標(biāo)原點(diǎn)和軸的選擇直接影響到寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)的難易程度。3、關(guān)注題目中的重要條件，抓注根本特征，將圖形有效復(fù)原。例4：如圖①，小明在研究正方形ABCD的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，得出：正方形ABCD中，如果點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE＝∠EAD，則EF⊥AE.又將正方形改為矩形、菱形和任意平行四邊形(如圖②、圖③、圖④)，其它條件不變，發(fā)現(xiàn)仍然有“EF⊥AE〞的結(jié)論.你同意小明的觀點(diǎn)嗎？假設(shè)同意，請(qǐng)結(jié)合圖④加以證明；假設(shè)不同意，請(qǐng)說(shuō)明理由.例5：請(qǐng)閱讀以下材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)．假設(shè)，探究與的位置關(guān)系及的值．小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決以下問(wèn)題：〔1〕寫(xiě)出上面問(wèn)題中線段與的位置關(guān)系及的值；〔2〕將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對(duì)角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變〔如圖2〕．你在〔1〕中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜測(cè)并加以證明．對(duì)于例4、例5意圖：1、培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣；2、注意中點(diǎn)的作用；3、注意在動(dòng)中求靜；4、性質(zhì)的熟練應(yīng)用例6、1、：中，是邊的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)。假設(shè)，。求2、點(diǎn)為函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，。試用性質(zhì)：函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)都滿(mǎn)足，求解下面問(wèn)題：做的平分線AE，過(guò)B作AE的垂線交AE于F，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F總在一條曲線上運(yùn)動(dòng)，則此曲線為〔〕A、直線B、拋物線C、圓D、反比例函數(shù)曲線意圖：比擬兩題，2題比1題從字?jǐn)?shù)上就多很多，但假設(shè)認(rèn)真審題會(huì)發(fā)現(xiàn)題干中有一樣的條件，蘊(yùn)涵著一樣的根本圖形。例7、：分別以的各邊為邊，在邊的同側(cè)作等邊三角形、等邊三角形和等邊三角形，連結(jié)。〔1〕試說(shuō)明四邊形為平行四邊形；〔2〕當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形為菱形、矩形、正方形；〔3〕四邊形一定存在嗎？試說(shuō)明理由。意圖：1、關(guān)注旋轉(zhuǎn)全等形；2、檢驗(yàn)平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定定理的熟練程度；逆向穩(wěn)固練習(xí)：E*1：在正方形中，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接，試問(wèn)與的位置關(guān)系如何？并說(shuō)明理由?！泊祟}至少3種做法，其中倍長(zhǎng)和建系做法尤佳〕E*2:正方形ABCD邊長(zhǎng)為8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn),則DM+MN的最小值為(注意正方形的對(duì)稱(chēng)性)E*3:我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類(lèi)似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形.〔1〕請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱(chēng)；〔2〕如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，設(shè)CD、BE相交于點(diǎn)O，假設(shè)，∠DCB=∠EBC=，請(qǐng)你寫(xiě)出圖中一個(gè)與∠A相等的角，并猜測(cè)圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；〔3〕在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且∠DCB=∠EBC=.探究：滿(mǎn)足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論.(針對(duì)例4、例5)E*4:如圖，中，過(guò)點(diǎn)分別作的外角平分線的垂線,為垂足。求證：〔1〕;〔2〕;〔3〕假設(shè)過(guò)分別作的平分線的垂線，垂足分別為。結(jié)論有無(wú)變化？請(qǐng)加以說(shuō)明。〔針對(duì)例6〕E*5：中，，都是等邊三角形。求四邊形的面積?！册槍?duì)例7〕五、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1.如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB角平分線CE于E．〔1〕試說(shuō)明EO=FO；〔2〕當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；〔3〕假設(shè)AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜測(cè)△ABC的形狀并證明你的結(jié)論．2.如圖，中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．〔1〕如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．AQCDBP①假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1AQCDBP②假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？假設(shè)點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？OECBDAlOCBA〔備用圖〕3.如圖，在中，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線從與重合的位置開(kāi)場(chǎng)，繞點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交邊于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為．OECBDAlOCBA〔備用圖〕〔1〕①當(dāng)度時(shí)，四邊形是等腰梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為；②當(dāng)度時(shí)，四邊形是直角梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為；〔2〕當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為菱形，并說(shuō)明理由．參考答案1.分析：〔1〕根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對(duì)等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．〔2〕利用矩形的判定解答，即有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．〔3〕利用條件及正方形的性質(zhì)解答．解答：-.z.解：〔1〕∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．〔2〕當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形．如圖AO=CO，EO=FO，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=〔∠ACB+∠ACG〕=×180°=90°，∴四邊形AECF是矩形．〔3〕△ABC是直角三角形∵四邊形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．-.z.點(diǎn)評(píng)：此題主要考察利用平行線的性質(zhì)“等角對(duì)等邊〞證明出結(jié)論〔1〕，再利用結(jié)論〔1〕和矩形的判定證明結(jié)論〔2〕，再對(duì)〔3〕進(jìn)展判斷．解答時(shí)不僅要注意用到前一問(wèn)題的結(jié)論，更要注意前一問(wèn)題為下一問(wèn)題提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用．2.解：〔1〕①∵秒，∴厘米，∵厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．②∵，∴，又∵，，則，∴點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒，∴厘米/秒．設(shè)經(jīng)過(guò)秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，由題意，得，解得秒．∴點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了厘米．∵，∴點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇，∴經(jīng)過(guò)秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇。3.解〔1〕①30，1；②60，1