層次分析法的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

ahp（層次分析法）是一種定性和定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法。自美國(guó)航運(yùn)學(xué)家t.l.saaty在20世紀(jì)70年代提出以來(lái)，它已在一些領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。該方法的主要前提是評(píng)價(jià)矩陣a=（aj）nn的一致性要求。Saaty教授用一致性比率CR=CI/RI(其中CI=(λmax-n)/(n-1),λmax為判斷矩陣的最大特征根,n為判斷矩陣階數(shù),RI是隨機(jī)一致性指標(biāo),可查表得到)來(lái)檢驗(yàn)判斷矩陣是否具有滿(mǎn)意的一致性。當(dāng)CR<0.1時(shí)判斷矩陣即具有滿(mǎn)意的一致性,但這一點(diǎn)缺乏理論依據(jù)。針對(duì)這一缺陷,有關(guān)學(xué)者先后提出了一些統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法,筆者在此對(duì)有代表性的幾種進(jìn)行了比較分析。一、致性判斷矩陣設(shè)A=(aij)n×n為n階判斷矩陣,其排序向量為w=(w1,w2,…,wn),令B=(bij)n×n,其中bij=aij∑iaij(i,j=1,2,?,n)bij=aij∑iaij(i,j=1,2,?,n)。w可由公式w1=1nn∑j=1bij(i=1,2,??n)w1=1n∑j=1nbij(i=1,2,??n)求出,此方法稱(chēng)為“和法”。定義1【1】設(shè)A=(aij)n×n是n階判斷矩陣,若對(duì)于任意i,j,k都有aij=aikakj,則稱(chēng)A是一致性判斷矩陣。定義2【2】設(shè)Cij=bijwiCij=bijwi,其中bij=aijn∑i=1aij,wi=1nn∑j=1bij(i,j=1,2,??n)bij=aij∑i=1naij,wi=1n∑j=1nbij(i,j=1,2,??n),則稱(chēng)矩陣C=(cij)n×n為判斷矩陣的導(dǎo)出矩陣。二、判斷矩陣a的一致性檢驗(yàn)定理1【2】判斷矩陣A為完全一致性矩陣的充要條件是其導(dǎo)出矩陣C中元素全為1,即C=(11?111?1???11?1)由于人的比較判斷主觀(guān)上有一致性的趨勢(shì),所以,一個(gè)判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣C中的元素Cij可看作以1為均值的正態(tài)隨機(jī)變量。于是可得下面兩個(gè)定理。定理2設(shè)n階判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣為C=(cij)n×n,且cij□N(1,σ20),其中cij(i,j=1,2,…,n)相互獨(dú)立,σ20為常數(shù)。則統(tǒng)計(jì)量χ21=1σ20n∑i=1n∑j=1(cij-1)2服從自由度為n2的χ2分布。定理3設(shè)n階判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣為C=(cij)n×n,且cijii□Ν(1,σ20)(ii□表示獨(dú)立同分布),σ20為常數(shù),則統(tǒng)計(jì)量χ22=n2-1∑k=1ck+1-ck22σ20服從自由度為n2-1的χ2分布。這里ck是將矩陣C中元素從左到右,從上到下拉直后依次排列得到的(k=1,2,…,n2)。若令δij=aij-wiwjwiwj=aijwiwj-1,i,j=1,2,?,n.,則δij是偏離一致性的相對(duì)誤差。由于人的主觀(guān)判斷可以認(rèn)為存在著一致性的趨勢(shì),因此也可假設(shè)δij服從期望值為0的正態(tài)分布。從而可得下面定理。定理4設(shè)A=(aijn×n)是判斷矩陣,w=(w1,w2,…,wn)是其排序向量。記δij=aijwiwj-1(i,j=1,2,?,n),且假設(shè)δijii□Ν(0,σ20)(1≤i＜j≤n),則χ23=∑1≤i＜j≤nδij2σ2服從自由度為n(n-1)2的χ2分布。定理5判斷矩陣A具有一致性的充要條件是χ2=0。對(duì)于具有一致性的判斷矩陣A,上述定理中幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量的觀(guān)測(cè)值χ2應(yīng)較小。也就是說(shuō),若χ2過(guò)大,則可認(rèn)為判斷矩陣A不具有滿(mǎn)意的一致性。從而,判斷矩陣A的一致性檢驗(yàn)可轉(zhuǎn)換為統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。H0:σ2≤σ20,H1:σ2>σ20顯然,σ20的值意味著對(duì)判斷矩陣一致性的要求,σ20越小,對(duì)判斷矩陣的一致性要求越高,σ20越大,對(duì)判斷矩陣的一致性要求越低。而σ20的取值往往由決策人依據(jù)問(wèn)題的具體情況及個(gè)人的偏好而選擇。通常高階判斷矩陣的σ20應(yīng)大一些,低階矩陣的σ20應(yīng)小一些。三、檢驗(yàn)結(jié)果的比較分析要從理論上論證幾種統(tǒng)計(jì)方法及T.L.Saaty的一致性比率檢驗(yàn)法孰優(yōu)孰劣比較困難。為此,我們通過(guò)實(shí)例計(jì)算的方法來(lái)進(jìn)行比較。并按通常的方法對(duì)4階及其以下的判斷矩陣取σ20=116,對(duì)5階及其以上的矩陣取σ20=19,對(duì)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的顯著性水平α取0.01,0.05,0.1等幾個(gè)水平。通過(guò)查有關(guān)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表及計(jì)算,可列出下列3-9階判斷矩陣在不同顯著性水平下的臨界值表。在此,我們?nèi)我膺x取6個(gè)判斷矩陣A1=(123121213121)A2=(135131121521)A3=(113223133121311121311)A4=(1193159152131511251221)A5=(13235131234121212313131213151413131)A6=(11317151631141212741755217115621551)將上列矩陣的值代入三個(gè)統(tǒng)計(jì)量公式及Saaty的一致性比率公式得下表將表1和表2綜合得表3。從表中實(shí)例的計(jì)算和比較中,我們可以得出下面幾點(diǎn)結(jié)論:1.決策人對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中參數(shù)σ20以及顯著性水平α的選取有一定的靈活性,可根據(jù)決策問(wèn)題的不同情況及其決策者個(gè)人偏好而決定。σ20的選取對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果的影響是顯然的。α的選取對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果的影響可從表三中A2的情況看出。比如,當(dāng)α=0.01時(shí),三個(gè)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的結(jié)果都是判斷矩陣具有滿(mǎn)意的一致性,而當(dāng)α=0.05,0.10時(shí),三個(gè)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的結(jié)果卻都是判斷矩陣不具有滿(mǎn)意的一致性。同時(shí),一致性比率法得到的結(jié)果也是判斷矩陣不具有滿(mǎn)意的一致性。2.在通常選定的σ20及α的值下,三個(gè)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)方法和Saaty的一致性比率法得到的結(jié)果比較一致,即判斷矩陣要么都具有滿(mǎn)意的一致性,要么都不具有滿(mǎn)意的一致性。3.就實(shí)例中的6個(gè)判斷矩陣而言,χ21(n2)的值與χ22(n2-1)的值比較接近,而χ23(n(n-1)2)的值似乎接近于他們的二分之一,是否所有的判斷矩陣都有這種現(xiàn)象,目前還缺乏理論的證明。4.三種統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)法和一致性比率檢驗(yàn)法在運(yùn)算量方面都差不多,另外,Saa