泰勒公式在數(shù)值計算中的應(yīng)用

泰勒公式是“函數(shù)近似”思想的重要體現(xiàn)。它不僅在分析計算中發(fā)揮著重要作用，而且在數(shù)值計算中也發(fā)揮著非常廣泛的作用。然后描述了泰勒公式在計算值中的各種重要應(yīng)用。1x3構(gòu)造數(shù)值穩(wěn)定性問題.數(shù)值計算方法的數(shù)值穩(wěn)定性是計算方法的基本問題.Taylor公式常用于近似計算,以改善計算方法的數(shù)值穩(wěn)定性.舉例如下:例1.1當(dāng)|x|很小時,用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式計算(1+x1-x)13-(1-x1+x)13(1+x1?x)13?(1?x1+x)13.解:(1+x1-x)13-(1-x1+x)13=(1+2x1-x)13-(1-2x1+x)13≈[+2x3(1-x)]-[1-2x3(1+x)]=4x3(1-x2)≈4x3(1+x1?x)13?(1?x1+x)13=(1+2x1?x)13?(1?2x1+x)13≈[+2x3(1?x)]?[1?2x3(1+x)]=4x3(1?x2)≈4x3.構(gòu)造數(shù)值穩(wěn)定的計算方法要避免兩個相近的數(shù)相減,以免造成有效數(shù)字的損失.本例就屬于這類問題.利用Taylor公式就可以解決這類問題.2迭代公式的收斂性一種迭代法具有實用價值,不但需要它是收斂的,而且需要它有較高的收斂速度.所謂收斂速度,是指收斂的迭代方法在接近收斂時迭代誤差的下降速度.記ek=x*-xk為第k次迭代誤差,若該迭代公式收斂,即ek→0,且存在正常數(shù)p≥1,使limk→∞ek+1epk=C(C≠0)limk→∞ek+1epk=C(C≠0),則稱此迭代公式為p階收斂的.特別地,當(dāng)p=1時稱線性收斂,當(dāng)p=2時稱平方收斂.直接利用收斂速度的定義判定迭代公式的收斂速度很不方便,所以常常借助于泰勒公式.下面以求解一元非線性方程的迭代方法為例說明泰勒(Taylor)公式的應(yīng)用.對于迭代公式xk+1=φ(xk),(k=1,2,…)的收斂速度有如下定理:定理2.1如果φ(p)(x)在所求根x*的鄰近連續(xù),并且φ′(x*)=φ″(x*)=…=φ(p-1)(x*)=0,φ(p)(x*)≠0,(2.1)則該迭代公式在點x*鄰近是p階收斂的.證明:由于φ′(x*)=0,所以迭代公式xk+1=φ(xk)具有局部收斂性.利用泰勒公式,將φ(xk)在x*處泰勒展開,得φ(xk)=φ(x*)+φ′(x*)(xk-x*)+φ″(x*)2!(xk-x*)2+?+φ(p)(ξ)p!(xk-x*)p,φ(xk)=φ(x?)+φ′(x?)(xk?x?)+φ′′(x?)2!(xk?x?)2+?+φ(p)(ξ)p!(xk?x?)p,其中ξ介于xk與x*之間.由條件(2.1)有φ(xk)=φ(x*)+φ(p)(ξ)p!(xk-x*)p.又因為xk+1=φ(xk),φ(x*)=x*,由上式可得xk+1-x*=φ(p)(ξ)p!(xk-x*)p.因此對迭代誤差ek=x*-xk有l(wèi)imk→∞ek+1ek=(-1)p+1φ(p)(x*)p!≠0由迭代公式的收斂速度的定義知,該迭代公式在點x*鄰近是p階收斂的.定理2.1就是利用了Taylor公式.利用定理2.1判斷迭代公式的收斂階,只需要求迭代函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)在x*點的值,而避免了求函數(shù)極限,更加簡便.下面利用定理2.1給出牛頓法的收斂性.牛頓迭代公式xk+1=xk-f(xk)/f′(xk)(f′(x)≠0)的迭代函數(shù)為φ(x)=x-f(x)/f′(x).設(shè)f(x)在x*的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),當(dāng)x*是方程f(x)=0的單根,即f(x*)=0,f′(x*)≠0.且φ′(x)在x*的鄰域內(nèi)連續(xù),因為φ′(x)=f(x)f″(x)/[f′(x)]2,所以迭代函數(shù)φ(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且φ′(x)(x*)=0.因此牛頓迭代公式具有局部收斂性,且由定理2.1知至少是線性收斂的.若f?(x)在x0的鄰域內(nèi)存在,又因為φ″(x)=[f′(x)]2f″(x)+f(x)f′(x)f?(x)-2[f″(x)]2f(x)[f′(x)]3,所以φ″(x*)=f″(x*)/f′(x*).只要f″(x*)≠0,就有φ″(x*)≠0,由定理2.1可知牛頓迭代公式是平方收斂的.如果f″(x*)=0,則牛頓迭代公式的收斂速度還會更快.3輸出方法和新頓重復(fù)法3.1euter公式的推導(dǎo)Euler法是求解常微分方程初值問題{dydx=f(x,y)(x0≤x≤b),y(x0)=y0,(3.1.1)的重要方法.下面由泰勒公式導(dǎo)出Euler公式y(tǒng)n+1=yn+hf(xn,yn).(3.1.2)用Taylor公式將y(xn+1在xn處展開,則有x(xn+1)y(xn)+hy′(xn)+h22y″(ξ),(3.1.3)取右端前兩項得y(xn+1)≈y(xn)+hy′(xn)+hf(xn,y(xn)),建立y(xn)用的近似值yn計算y(xn+1)的近似值yn+1的公式即可得Euler公式(3.1.2).因為Euler公式可由Taylor公式推出,并且由帶有Peano余項的Taylor公式可知,(3.1.3)式是舍去了步長h的2階無窮小量O(h2),即Euler方法的局部截斷誤差為O(h2),所以Euler公式又稱為一階Taylor級數(shù)法.同理,可以由Taylor公式推出二階Taylor級數(shù)法:由Taylor公式將y(xn+1)在xn處展開至第四項可得y(xn+1)=y(xn)+hy′(xn)+h22y″(xn)+Ο(h3),(3.1.4)由(3.1.1)式計算可得y″=f′x+f′yf,代入(3.1.4),舍去高階小量O(h3)得y(xn+1)≈y(xn)+hf(xn,y(xn))+h22(f′x(xn,y(xn))+f′y(xn,y(xn))f(xn,y(xn))).再用y(xn)的近似值yn計算y(xn+1)的近似值yn+1的公式即可得二階Taylor級數(shù)法:yn+1=yn+hf(xn,yn)+h22(f′x(xn,yn)+f′y(xn,yn)f(xn,yn)).(3.5)其中,比較(3.1.4)和(3.1.5)可知公式(3.1.5)的局部截斷誤差為O(h3),是一個2階方法.同理,可構(gòu)造出3階、4階Taylor級數(shù)法.由以上推導(dǎo)過程可以看出,利用Taylor公式分析截斷誤差非常方便.實際上,利用Taylor公式分析誤差是數(shù)值計算方法中應(yīng)用廣泛的一種基本思想方法.教材中已經(jīng)詳細(xì)介紹,這里不再陳述.3.2線性函數(shù)px線性化設(shè)x0是方程(1)的一個近似根,把非線性函數(shù)f(x)處作泰勒展開f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(ξ)2(x-x0)2,(3.2.1)取其線性部分,作為非線性方程f(x)=0的近似方程,記作P0(x)=0.若f′(x0)≠0,解出P(x)的根作為f(x)=0的近似根x1,則有x1=x0-f(x0)/f′(x0).再把f(x)在x1處泰勒展開,取其線性部分為f(x)=0的近似方程,記作P1(