關(guān)于g的群的群類及子群的刻畫

1子群的性質(zhì)設(shè)置1，2，3，4}，m（s）表示s到自身變化的集合，m（s）是一個(gè)（變換）的u（m（s））的u（m）是一個(gè)對稱的組，稱為s，并記錄為4s。定義2群G的一個(gè)子群K叫做正規(guī)的,假如對每一個(gè)g∈G和k∈K,都有g(shù)-1kg∈K.顯然,群本身及單位子群都是的正規(guī)子群.定義3S4中全體偶置換作成一個(gè)4!24!2階的子群,稱為4次交錯(cuò)群,記為A4.易有A4的所有元素為:(1),(12)(34),(14)(23),(13)(24),(123),(132)(234),(243),(134),(143),(124),(142).定義4K4={(1),(12),(34),(13)(24),(14)(23))},K4稱為Klein四元群.定義5設(shè)G是一個(gè)群,a、b是G中的兩個(gè)元素,則稱G中的元素aob=a-1b-1ab為a,b的換位元.由G的全體換位元生成的子群稱為G的換位子群,記為G′.引理每一個(gè)指數(shù)為2的子群是正規(guī)子群.證明:設(shè)H是G的指數(shù)為2的子群,則任取x∈G,當(dāng)x∈H時(shí),必有xH=Hx=H,當(dāng)x?H時(shí),因?yàn)?G:H)=2,則G=HxYH=HYHx,因此只有Hx=xH,即H是G的正規(guī)子群.2群的同構(gòu)類型43g證明:令e=(1),a=(12)(34),b=(13)(24),c=(14)(23),易有a2=b2=c2=e,即((12)(34))2=((13)(24))2=((14)(23))2=(1),且ab=(12)(34)(13)(24)=(14)(23),ac=(12)(34)(14)(23)=(13)(24),bc=(13)(24)(14)(23)=(12)(34).可列出乘法表如下:從而有:K4是A4的一個(gè)可交換子群.性質(zhì)2對稱群S4的正規(guī)子群只有{(1)},S4,A4,K4.證明:1°交錯(cuò)群A4的指數(shù)(G:H)=4!/4!2=2Η)=4!/4!2=2,所以A4是S4的正規(guī)子群.2°因?yàn)镵4是A4的一個(gè)可交換子群,所以K4是S4的子群.任取σ∈S4,(1)≠π=(ij)(st),則顯然σπσ-1=(σ(i)σ(j))(σ(s)σ(t))∈K4,所以K4是S4的正規(guī)子群.3°設(shè)H是S4,A4,單位群和K4以外的的正規(guī)子群,則有:i)H至少含有一個(gè)奇置換,若(23)∈H,有(12)(23)(12)-1=(13)∈H,(13)(23)(13)-1=(12)∈H,(1243)(23)(1243)-1=(14)∈H,即H={(12),(13),(14)}=S4(矛盾).同樣可證H不含(12),(13),(14),(24),(34),如果(1234)∈H,則(12)(1234)(12)=(1342)∈H,(13)(1234)(13)=(1432)∈H,(14)(1234)(14)=(1423)∈H,(23)(1234)(23)=(1324)∈H,(34)(1234)(34)=(1243)∈H,但是(1324)(1234)(1234)=(12)∈H與(12)?H矛盾.ii)H至少含有下列的偶置換:(123),(132),(124),(142),(234),(243),(142),(143),但是,若(123)∈H則(34)(1234)(34)-1=(124)∈H故H={(123),(124)}=A4.若(234)∈H,則(132)(234)(132)-1=(124)∈H,(14)(234)(14)-1=(123)∈H,如此可知,A4?H,而由Lagrage定理,A4與S4之間無非平凡子群(矛盾).因此可得S4只有A4和K4是真正規(guī)子群.性質(zhì)3對稱群S4關(guān)于K4的商群S4/K4與S3同構(gòu).證明:(證法一)(12)K4={(12),(34),(1423),(1324)},(13)K4={(13),(1432),(24),(1234)},(23)K4={(23),(1243),(1342),(14)},(123)K4={(123),(243),(142),(134)},(132)K4={(132),(143),(234),(124)},(1)K4={(1),(12),(34),(13)(24),(14)(23)},易知S4=A4∪(12)A4,又A4=K4∪(123)K4∪(132)K4,(12)(123)=(23),(12)(132)=(13),則有S4=K4∪(12)K4∪(13)K4∪(23)K4∪(123)K4∪(132)K4對a∈S3,令φ:aK4→a,可知φ是S4/K4到S3上的雙射,且aK4·bK4→ab則φ是S4/K4到S3上的同構(gòu)映射,因此S4/K4與S3同構(gòu).(證法二)因?yàn)镵4是S4的正規(guī)子群,而S3?S4(把S3中每個(gè)σ視為σ(4)=4),則K4S3?S4,又因?yàn)镵4∩S3={(1)},從而|K4S3|=|K4||S3||K4∩S3|=4×61=24|Κ4S3|=|Κ4||S3||Κ4∩S3|=4×61=24,但是|S4|=24,故S4=K4S3,于是,由群的同構(gòu)定理知K4S3/K4≌S3/K4∩S3,因此S4/K4與S3同構(gòu).性質(zhì)4S′4=A4,A′4=K4.證明:1°由性質(zhì)1,A4是S4的正規(guī)子群,且S4/A4是2階循環(huán)群,從而是交換群.對?x,y∈S4有xA4·yA4=yA4·xA4,(xy)A4=(yx)A4,因此x·y=x-1y-1xy∈A4.即中任二元素的換位元都屬于A4,因此S′4?A4.又因?yàn)镾′4是S4的正規(guī)子群,所以S′4是A4的正規(guī)子群.而S4的正規(guī)子群只有{(1)}、S4、A4、K4,而且S4是非交換群,故S′4≠{(1)}.又由于a=(12),b=(13)∈S4,但是aob=a-1b-1ab=(12)(13)(12)(13)=(123)∈S′4,所以S′4≠K4,則只有S′4=A4.2°易知K4?A′4,且可驗(yàn)證A′4?K4.則有A′4=K4.(這是一個(gè)特殊情況,事實(shí)上,可以證明,A′n=An(n≥5)).性質(zhì)5設(shè)G是群,且|G|=psm,p是素?cái)?shù),p不整除m.則稱G的ps階子群為G的一個(gè)Sylowp子群.則可以確定出A4的所有Sylow子群及S4的不同的Sylow子群的個(gè)數(shù).證明:1°因?yàn)閨A4|=22·3,所以A4有Sylow2子群(階為4)和Sylow3子群(階為3).而K4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23))},顯然是A4的一個(gè)Sylow2子群,易知K4是S4的正規(guī)子群,從而K4是A4的正規(guī)子群.所以Klein四元群K4是A4的唯一的Sylow2子群.由A4中的一切3-循環(huán)(階為3)生成的子群顯然是A4的全部Sylow3子群,共有4個(gè):〈(123〉,〈(124)〉,〈(134)〉,〈(234)〉.2°由于|S4|=24=23·3.而|S4|的模2等于1的因子只有1和3,所以S4的Sylow2