幾何折疊問(wèn)題類型一勾股定理在折疊中的應(yīng)用一、勾股定理在直角三角形折疊中的應(yīng)用方法解讀圖形分析將△ABC按照如圖所示的折痕折疊．解題思路(1)如圖①，設(shè)DE＝x，則CD＝DE＝x，AE＝AC＝b，故BD＝a－x，BE＝c－b.在Rt△BED中，(c－b)2＋x2＝(a－x)2；(2)如圖②，設(shè)CF＝x，則FD＝AF＝b－x，在Rt△DCF中，m2＋x2＝(b－x)2.方法應(yīng)用1.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，將△ABC折疊，使點(diǎn)C與AB的中點(diǎn)D重合，折痕交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則線段CN的長(zhǎng)為____．第1題圖2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，DE交AB于點(diǎn)F，當(dāng)∠DEB是直角時(shí)，DF的長(zhǎng)為____．第2題圖3.(2022濟(jì)寧)如圖，在三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是____．第3題圖【解析】(1)由折疊的性質(zhì)得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，∴EG＝

＝3，∴EG∶AC＝3∶6＝1∶2；4.(2022合肥四十二中三模)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，點(diǎn)E在線段AC上，且AE＝1，D是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí)．(1)EG∶AC＝______；第4題圖1∶2(2)連接AF，則AF＝_____．第4題圖(2)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，∟H∵sin∠FEG＝

，∴

，∴HF＝

，∵cos∠FEG＝

，∴

，∴EH＝

，∴AH＝AE＋EH＝

，∴AF＝

解題關(guān)鍵點(diǎn)過(guò)點(diǎn)F作AC的垂線，將線段AF轉(zhuǎn)化在直角三角形中．二、勾股定理在矩形折疊中的應(yīng)用方法解讀圖形分析在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，將矩形按照如圖所示的折痕折疊．解題思路(1)如圖①，設(shè)DF＝x，則BF＝DF＝x，CF＝b－x.在Rt△CDF中，a2＋(b－x)2＝x2；(2)如圖②，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝a－x，在Rt△ABF中，a2＋BF2＝b2，求出BF，進(jìn)而求出CF的長(zhǎng)．在Rt△CEF中，x2＋CF2＝(a－x)2，求出x，從而求得DE的長(zhǎng)．方法應(yīng)用5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若BE∶EC＝3∶1，則線段CH的長(zhǎng)是(

)A.3B.

C.1

D.2第5題圖B6.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，線段CE交AD于定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，則

的值為(

)A.1B.

C.

D.

第6題圖B7.(2022畢節(jié))如圖，在矩形紙片ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF.若AB＝4，BC＝6，則CF的長(zhǎng)是________．第7題圖【解析】如圖，連接BF，交AE于O點(diǎn)，O∵將△ABE沿AE折疊得到△AFE，∴BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝EF＝3，∴∠EFC＝∠ECF，第7題圖O∵∠BEF＝∠ECF＋∠EFC，∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF，∴∠BFC＝∠BOE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝

＝5，∴BO＝

，∴BF＝2BO＝

，在Rt△BCF中，由勾股定理得，CF＝

.【答案】類型二全等、相似在折疊中的應(yīng)用方法解讀圖形分析將矩形ABCD按照如圖所示的折痕折疊點(diǎn)B′落在矩形外點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部(2017.14)結(jié)論①全等關(guān)系：△ABC≌△AB′C，△AB′F≌△CDF；②常用的特殊三角形：Rt△AFB′，Rt△CFD，等腰△AFC①全等關(guān)系：△BCP≌△B′CP；②相似關(guān)系：△AB′P∽△ABC方法應(yīng)用1.(2022合肥三十八中一模)如圖，在△ABC紙片中，BC＝4，AC＝7，AB＝6，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在CB的延長(zhǎng)線上，若FD平分∠EFC，則AD的長(zhǎng)為(

)A.5B.4.2C.2.8D.2.4第1題圖B2.如圖，矩形紙片ABCD，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)G是邊AD上的點(diǎn)，AG＝2，點(diǎn)H是邊BC上一點(diǎn)，將紙片沿GH折疊，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn).(1)當(dāng)點(diǎn)F落在邊DC上時(shí)，CF的長(zhǎng)為___；(2)CF的最小值為________．第2題圖2

解題關(guān)鍵點(diǎn)連接CG，F(xiàn)G，在△CFG中，利用CF≥CG－GF解題．3.(2022合肥一模)如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，先以CE為對(duì)稱軸將△CDE折疊，使點(diǎn)D落在CF上的點(diǎn)D′處，再以EF為對(duì)稱軸折疊△AEF，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′與點(diǎn)D′重合，以FG為對(duì)稱軸折疊△BFG，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在CF上.(1)寫出圖中一組相似三角形(除全等三角形)________________；(2)若∠A＝60°，則

的值為___．第3題圖△ECD′∽△GFB′

解題關(guān)鍵點(diǎn)求證△ECD′∽△GFB′是解題的關(guān)鍵．4.(2021包河區(qū)二模)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將正方形沿EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，A′B′交BC于點(diǎn)G.以下結(jié)論：①當(dāng)A′為CD的中點(diǎn)時(shí)，△A′DE三邊之比為3∶4∶5；②當(dāng)△A′DE三邊之比為3∶4∶5時(shí)，A′為CD的中點(diǎn)；③當(dāng)A′在CD上移動(dòng)時(shí)，△A′CG周長(zhǎng)不變；④當(dāng)A′在CD上移動(dòng)時(shí)，始終有A′G＝A′D＋BG.其中正確的有________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).第4題圖第4題圖【解析】∵A′為CD的中點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴AD＝8，A′D＝

CD＝4，∠D＝90°，由折疊性質(zhì)得A′E＝AE，設(shè)A′E＝AE＝x，則DE＝8－x，∵在Rt△A′DE中，A′D2＋DE2＝A′E2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5，DE＝3，∴當(dāng)A′為CD的中點(diǎn)時(shí)，△A′DE三邊之比為3∶4∶5，故①正確；當(dāng)△A′DE三邊之比為3∶4∶5時(shí)，設(shè)A′D＝3a，DE＝4a，A′E＝5a，則AE＝A′E＝5a，∵AD＝AE＋DE＝8，∴5a＋4a＝8，解得a＝

，∴A′D＝3a＝

，A′C＝CD－A′D＝8－

＝

，∴此時(shí)A′不是CD的中點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；第4題圖如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥A′G，垂足為H，連接A′A，AG，第4題圖∟H則∠AHA′＝∠AHG＝90°，由折疊的性質(zhì)得∠EA′G＝∠EAB＝90°，A′E＝AE，∵∠D＝90°，∴∠EAA′＋∠DA′A＝90°，∵AE＝A′E，∴∠EAA′＝∠EA′A，∵∠EA′A＋∠AA′G＝90°，∴∠AA′G＝∠DA′A，∴△AA′D≌△AA′H(AAS)，∴AD＝AH，A′D＝A′H，∵AD＝AB，∴AH＝AB，第4題圖∟H在Rt△ABG與Rt△AHG中

∴Rt△ABG≌Rt△AHG(HL)，∴HG＝BG，∴△A′CG的周長(zhǎng)為A′C＋A′G＋CG＝A′C＋A′H＋HG＋CG＝A′C＋A′D＋BG＋CG＝CD＋BC＝8＋8＝16，∴當(dāng)A′在CD上移動(dòng)時(shí)，△A′CG周長(zhǎng)不變，故③正確；∵△AA′D≌△AA′H，RtABG≌Rt△AHG，∴A′D＝A′H，HG＝BG，∴A′G＝A′H＋HG＝A′D＋BG，故④正確．【答案】①③④類型三折疊產(chǎn)生特殊圖形的證明及計(jì)算(2020、2017.14)1.(2021重慶A卷)如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6.將這張紙片沿直線DE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為_____．第1題圖2.(2021江西)如圖，將?ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD于點(diǎn)F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，F(xiàn)C＝a，F(xiàn)D＝b，則?ABCD的周長(zhǎng)為________．第2題圖4a＋2b3.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是矩形的邊AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，將該紙片沿直線EF折疊，使點(diǎn)B落在矩形邊AD上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)G，點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，連接EF，BG，BE，EF與BG交于點(diǎn)N.(1)四邊形BEGF的形狀為_____；(2)當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，EF＝________．第3題圖菱形4.(2020安徽14題)在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)Q處，折痕為AP；再將△PCQ，△ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時(shí)點(diǎn)C，D落在AP上的同一點(diǎn)R處．請(qǐng)完成下列探究：(1)∠PAQ的大小為________°；第4題圖【解析】(1)如圖，由折疊的性質(zhì)得∠AQP＝∠B，∠C＋∠D＝∠PRQ＋∠ARQ＝180°，∠DQA＝∠RQA，∠CQP＝∠RQP，且∠DQA＋∠RQA＋∠CQP＋∠RQP＝180°，∴AD∥BC，∠B＝∠AQP＝90°，即∠BAD＝90°＝∠1＋∠2＋∠3，由折疊的性質(zhì)知∠1＝∠2＝∠3，∴∠PAQ＝∠2＝30°；第4題圖【答案】30；123當(dāng)四邊形APCD為平行四邊形時(shí)，∠C＝∠DAP＝∠1＋∠2＝60°，∴AD＝AR＝CP＝PR.又∵∠AQP＝90°.∴QR＝PR.∵∠QRP＝60°.∴△PQR為等邊三角形，∴QR＝QP，∠RPQ＝60°，∴∠QRP＝∠C＝60°＝∠QPR，∴tan∠APQ＝

，由折疊的性質(zhì)得AB＝AQ，∴

.(2)當(dāng)四邊形APCD是平行四邊形時(shí)，

的值為____．第4題圖123(2)如圖，5.(2022安慶二模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接CP，將∠B沿CP折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，連接AD.(1)當(dāng)四邊形ACPD為菱形時(shí)，∠BCP＝_____；第5題圖【解析】(1)由翻折可得，BP＝DP，∵四邊形ACPD為菱形，∴CP＝DP，∴CP＝BP，∵∠B＝30°，∴∠BCP＝30°；30°第5題圖(2)當(dāng)點(diǎn)D在AB上方時(shí)，如解圖①，過(guò)P作PH⊥BC交于H，(2)當(dāng)∠DPA＝30°時(shí)，DP＝________．第5題解圖①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴BC