-.z.高中物理競賽—處理曲線運動的科學方法一、微元法例1：一質量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，假設它能經受的最大力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉的最大角速度。解析：因為向心力F=mrω2，當ω一定時，r越大，向心力越大，所以要想求最大力T所對應的角速度ω，r應取最大值。如圖3—6所示，在圓環(huán)上取一小段ΔL，對應的圓心角為Δθ，其質量可表示為Δm=M，受圓環(huán)對它的力為T，則同上例分析可得：2Tsin=Δmrω2因為Δθ很小，所以：sin≈，即：2T=Mrω2解得最大角速度：ω=例2：如圖3—11所示，小環(huán)O和O′分別套在不動的豎直桿AB和A′B′上，一根不可伸長的繩子穿過環(huán)O′，繩的兩端分別系在A′點和O環(huán)上，設環(huán)O′以恒定速度v向下運動，求當∠AOO′=α時，環(huán)O的速度。解析：O、O′之間的速度關系與O、O′的位置有關，即與α角有關，因此要用微元法找它們之間的速度關系。設經歷一段極短時間Δt，O′環(huán)移到C′，O環(huán)移到C，自C′與C分別作為O′O的垂線C′D′和CD，從圖中看出。OC=，O′C′=，因此：OC+O′C′=①因Δα極小，所以EC′≈ED′，EC≈ED，從而：OD+O′D′≈OO′－CC′②由于繩子總長度不變，故：OO′－CC′=O′C′③由以上三式可得：OC+O′C′=，即：OC=O′C′(－1)等式兩邊同除以Δt得環(huán)O的速度為：v0=v(－1)等效法例：如圖4—1所示，水平面上，有兩個豎直的光滑墻壁A和B，相距為d=2.5m，一個小球以初速度v0=10m/s從兩墻之間的O點斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次碰撞后，每次碰撞時速度大小保持不變，正好落回拋出點，求小球的拋射角θ。g=10m/s2解析：將彈性小球在兩墻之間的反彈運動，可等效為一個完整的斜拋運動〔見圖〕。所以可用解斜拋運動的方法求解。由題意得：2d=v0cosθt=v0cosθ可解得拋射角：sin2θ=,代入數據，得θ=150對稱法由于物質世界存在*些對稱性，使得物理學理論也具有相應的對稱性，從而使對稱現(xiàn)象普遍存在于各種物理現(xiàn)象和物理規(guī)律中。應用這種對稱性它不僅能幫助我們認識和探索物質世界的*些根本規(guī)律，而且也能幫助我們去求解*些具體的物理問題，這種思維方法在物理學中稱為對稱法。利用對稱法分析解決物理問題，可以防止復雜的數學演算和推導，直接抓住問題的實質，出奇制勝，快速簡便地求解問題。例1：沿水平方向向一堵豎直光滑的墻壁拋出一個彈性小球A，拋出點離水平地面的高度為h，距離墻壁的水平距離為s，小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞〔碰撞后速度大小保持不變)后，落在水平地面上，落地點距墻壁的水平距離為2s，如圖7—1所示。求小球拋出時的初速度。解析：因小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞，故與墻壁碰撞前后入射速度與反射速度具有對稱性，碰撞后小球的運動軌跡與無墻壁阻擋時小球繼續(xù)前進的軌跡相對稱，如圖7—1—甲所示，所以小球的運動可以轉換為平拋運動處理，效果上相當于小球從A′點水平拋出所做的運動。根據平拋運動的規(guī)律：因為拋出點到落地點的距離為3s，拋出點的高度為h，代入后可解得：v0=*=3s例2：A、B、C三只獵犬站立的位置構成一個邊長為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調整方向，速度方向始終“盯〞住對方，它們同時起動，經多長時間可捕捉到獵物？解析：以地面為參考系，三只獵犬運動軌跡都是一條復雜的曲線，但根據對稱性，三只獵犬最后相交于三角形的中心點，在追捕過程中，三只獵犬的位置構成三角形的形狀不變，以繞點旋轉的參考系來描述，可認為三角形不轉動，而是三個頂點向中心靠近，所以只要求出頂點到中心運動的時間即可。由題意作圖7—3，設頂點到中心的距離為s，則由條件得：s=a由運動合成與分解的知識可知，在旋轉的參考系中頂點向中心運動的速度為：v′=vcos30°=v由此可知三角形收縮到中心的時間為：t==〔此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解。〕近似法近似法是在觀察物理現(xiàn)象、進展物理實驗、建立物理模型、推導物理規(guī)律和求解物理問題時，為了分析認識所研究問題的本質屬性，往往突出實際問題的主要方面，忽略*些次要因素，進展近似處理.在求解物理問題時，采用近似處理的手段簡化求解過程的方法叫近似法.近似法是研究物理問題的根本思想方法之一，具有廣泛的應用.善于對實際問題進展合理的近似處理，是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一.縱觀近幾年的物理競賽試題和高考試題，越來越多地注重這種能力的考察.例1：一只狐貍以不變的速度沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率追擊，其運動方向始終對準狐貍.*時刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD=L，如圖14—1所示，求獵犬的加速度的大小.圖14—1解析：獵犬的運動方向始終對準狐貍且速度大小不變，故獵犬做勻速率曲線運動，根據向心加速度為獵犬所在處的曲率半徑，因為r不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D處的加速度大小，由于大小不變，如果求出D點的曲率半徑，此時獵犬的加速度大小也就求得了.圖14—1圖14—2—甲獵犬做勻速率曲線運動，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時刻開場的一段很短的時間，獵犬運動的軌跡可近似看做是一段圓弧，設其半徑為R圖14—2—甲其方向與速度方向垂直，如圖14—1—甲所示.在時間，設狐貍與獵犬分別到達，獵犬的速度方向轉過的角度為/R而狐貍跑過的距離是：≈因而/R≈/L，R=L/所以獵犬的加速度大小為=/L提高題：1.降落傘在下落一定時間以后的運動是勻速的.設無風時*跳傘員著地的速度是5.0m／s.現(xiàn)有正東風，風速大小是4.0m／s，跳傘員將以多大的速度著地"這個速度的方向怎樣"2.如下圖，實線為*質點平拋軌跡的一局部，測得AB、BC間水平距離△s1=△s2=0.4m，高度差△h1=0.25m，△h2=0.35m，問:(1)質點平拋的初速度v0為多大"(2)拋出點到A點的水平距離和豎直距離各為多少"3.如下圖，在離地高為h、離豎直光滑墻的水平距離為s1處有一小球以v0的速度向墻水平拋出，與墻碰后落地，不考慮碰撞的時間及能量損失，則落地點到墻的距離s2為多大"4.如下圖，M、N是兩個共軸的圓筒，外筒半徑為R，筒半徑比R小很多，可以忽略不計，筒的兩端是封閉的，兩筒之間抽成真空，兩筒以一樣的角速度ω繞其中心軸線(圖中垂直于紙面)作勻速轉動.設從M筒部可以通過平行于軸線的窄縫S，不斷地向外射出兩種不同速率v1和v2的微粒.微粒從S處射出時的初速度的方向沿筒的半徑方向，微粒到達N筒后就附著在N筒上，如果R、v1和v2都不變，而ω取*一適宜的值，則( )(A)有可能使微粒落在N筒上的位置都在a處一條與S縫平行的窄條上(B)有可能使微粒落在N筒上的位置都在*處如b處一條與S縫平行的窄條上(C)有可能使微粒落在N筒上的位置分別在*兩處如b和c處與S縫平行的窄條上(D)只要時間足夠長，N筒上將到處落有微粒5．如下圖，直徑為d的紙筒以角速度ω繞軸O勻速轉動，從槍口發(fā)射的子彈沿直徑穿過圓筒.假設子彈在圓筒旋轉不到半周時在圓筒上留下a、b兩個彈孔，aO和b0夾角為φ，則子彈的速度大小為______.6．如圖，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動，皮帶和兩輪之間無滑動，大輪的半徑是小輪的2倍，大輪上的一點s離轉動軸的距離是半徑的5，20，當大輪邊緣上P點的向心加速度是10m／s2時，大輪上的S點和小輪上的Q點的向心加速度為aS=______m／s2，aQ=______m／s。7.如下圖，半徑為r的圓筒繞豎直中心軸OO′轉動，小物塊A靠在圓筒的壁上，它與圓筒的靜摩擦因數為μ，現(xiàn)要使A不下落，則圓筒轉動的角速度ω至少應為______.8、放映電影時，看到影片中的一輛馬車從靜止起動，逐漸加快。在*一時刻車輪開場倒轉。電影放映機的速率是每秒30幅畫面，車輪的半徑是0.6米，有12根輻條。車輪開場倒轉時馬車的瞬時速度是米/秒。(第十二屆全國中學生物理競賽預賽試題)曲線運動答案根底題：1.B;2.B;3.C4、【解析】〔1〕球以vl速度被擊回，球正好落在底線上，則t1＝，vl=s/t1將s=12m，h＝2．5m代入得v1=；球以v2速度被擊回，球正好觸網，t2＝，v2=s//t2將h/=〔2.5－2.25〕m＝0．25m，s/＝3m代入得v2=。故球被擊目的速度圍是＜v≤。〔2〕假設h較小，如果擊球速度大，會出界，如果擊球速度小則會觸網，臨界情況是球剛好從球網上