2024屆山東省禹城市綜合高中高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過雙曲線的左焦點作x軸的垂線交曲線C于點P，為右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點與兩定點的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點為軸上一點，定點的坐標為，若點，則的最小值為（）A. B.C. D.3．隨機抽取甲乙兩位同學連續(xù)9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數(shù)為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等 D.甲成績的平均數(shù)低于乙成績的平均數(shù)4．大數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.5．已知點是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上一動點，過點作軸垂線并延長交雙曲線左支于點，當點向上移動時，的值（）A.增大 B.減小C.不變 D.無法確定6．設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形7．點到直線的距離是（）A. B.C. D.8．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.9．下列問題中是古典概型的是A.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B.擲一顆質地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點的概率C.在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個數(shù)大于1.5概率D.同時擲兩枚質地均勻的骰子，求向上的點數(shù)之和是5的概率10．如圖，在棱長為1的正方體中，點B到直線的距離為（）A. B.C. D.11．已知直線過點且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.12．2021年6月17日9時22分，搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個月，開展艙外維修維護，設備更換，科學應用載荷等一系列操作．已知神舟十二號飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，設地球半徑為R，其近地點與地面的距離大約是，遠地點與地面的距離大約是，則該運行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為______.14．已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是______________15．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________16．過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于A，兩點，，則的值為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知頂點，，動點分別在軸，軸上移動，延長至點，使得，且.（1）求動點的軌跡；（2）過點分別作直線交曲線于兩點，若直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；（3）過點分別作直線交曲線于兩點，若，直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由.18．（12分）已知數(shù)列{an}滿足，（1）記，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）記數(shù)列{bn}前n項和為Tn，證明：19．（12分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為3，直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.20．（12分）如圖，已知橢圓的焦點是圓與x軸的交點，橢圓C的長半軸長等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點，A為橢圓C的右頂點，點B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個交點分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補，直線BD與圓O相切，設直線BD的斜率為．當時，求k21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，點在線段上.（1）當直線與平面所成角最大時，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，說明理由.22．（10分）已知的展開式中二項式系數(shù)和為16（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）設展開式中的常數(shù)項為p，展開式中所有項系數(shù)的和為q，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結論知，結合可列出關于的二次齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.2、D【解析】設，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標求出即可.【詳解】設，，所以，由，所以，因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值，當M在位置或時等號成立.故選：D3、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯誤，B錯誤，C錯誤，D正確；故選：D.4、C【解析】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C5、C【解析】令雙曲線右焦點為，由對稱性可知，，結合雙曲線的定義即可得出結果.【詳解】令雙曲線右焦點為，由對稱性可知，，則，為常數(shù)，故選：C.6、D【解析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.故選：D.7、B【解析】直接使用點到直線距離公式代入即可.【詳解】由點到直線距離公式得故選：B8、C【解析】求出拋物線的焦點，設出直線方程，代入拋物線方程，運用韋達定理和向量坐標表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點，設直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點睛】本題考查直線和拋物線的位置關系，主要考查韋達定理和向量共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題.9、D【解析】A、B兩項中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項中基本事件的個數(shù)是無限多個；D項中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個．故選D【考點】古典概型的判斷10、A【解析】以為坐標原點，以為單位正交基底，建立空間直角坐標系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標原點，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，取，，則，，則點B到直線AC1的距離為.故選：A11、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點斜式即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即，故選：C.12、A【解析】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得a，b的關系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實軸長為2.故答案為：14、【解析】設左焦點為，連接，．則四邊形是平行四邊形，可得．設，由點M到直線l的距離不小于，即有，解得．再利用離心率計算公式即可得出范圍【詳解】設左焦點為，連接，．則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以，設，則，故，從而，，，所以，即橢圓的離心率的取值范圍是【點睛】本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、點到直線的距離公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題15、【解析】計算出的值，利用空間向量的數(shù)量積可得出的值，即可得解.【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.16、2【解析】求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系可，，由拋物線的定義可知，，，即可得到【詳解】解：拋物線的焦點，，準線方程為，設，，，，則直線的方程為，代入可得，，，由拋物線的定義可知，，，，解得故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）設點M,P,Q的坐標,將向量進行坐標化，整理即可得軌跡方程；（2）設點，，直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計算得到，即可計算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關于與的等量關系，寫出直線AB的方程，將等量關系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點【詳解】（1）設，，.由，得，即.因為，所以，所以.所以動點的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設點，，若直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因為，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當時，即直線經(jīng)過定點.【點睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點問題.18、（1）證明見解析；bn=2n（2）證明見解析【解析】（1）由遞推關系式轉化為等比數(shù)列即可求解；（2）由（1）求出，再用裂項相消法求和后就可以證明不等式.【小問1詳解】由an+1=2an+1可得所以{bn}是以首項，公比為2的等比數(shù)列所以.【小問2詳解】易得于是所以因為，所以.19、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關系和弦長公式，算出|AB|；利用點到直線的距離公式算出點O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且過一點P（2，m），可設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦點的距離為3，即有P到準線的距離為6，即23，解得p＝2，即拋物線的標準方程為y2＝4x；（2）聯(lián)立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0設交點為A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8點O到直線l的距離d，所以△AOB的面積為S|AB|?d82【點睛】本題考查拋物線的方程的求法及拋物線定義的應用，考查待定系數(shù)法的運用，考查求焦點弦AB與原點構成的△AOB面積，屬于中檔題20、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設可得，求出參數(shù)b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長線段DB交橢圓C于點，根據(jù)對稱性設B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理并結合已知條件可得，直線與圓相切可得，進而求參數(shù)t，即可求直線BD的斜率.【小問1詳解】因為圓與x軸的交點分別為，，所以橢圓C的焦點分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問2詳解】延長線段DB交橢圓C于點，因直線BD與直線BE的傾斜角互補，根據(jù)對稱性得由條件可設B的坐標為，設D，的縱坐標分別為，，直線的方程為，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直線與圓相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直線BD斜率【點睛】關鍵點點睛：將已知線段的長度關系轉化為D，的縱坐標的數(shù)量關系，設直線的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關系，進而求參數(shù)即可.21、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因為對邊為定值，所以鄰邊最小時線面角最大；（2）建立空間直角坐標系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因為PH為定值，所以當NH最小時線面角最大，因為當P為中點時，,此時