第第頁專題4.1函數(shù)（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】函數(shù)的定義函數(shù)的定義一般地,如果在一個變化過程中有兩個變量x和y,并且對于變量x的每個值,變量y都有唯一的值與它對應(yīng),那么我們稱y是x的函數(shù),其中x是自變量.說明:(1)在函數(shù)中定義的兩個變量x,y是有主次之分的,變量x的變化是主動的,稱之為自變量,而變量y是隨x的變化而變化的,是被動的,稱之為因變量(即自變量的函數(shù));(2)函數(shù)不是數(shù),函數(shù)的實質(zhì)是兩個變量的對應(yīng)關(guān)系.2.判斷一個關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系的方法一看是否在一個變化過程中;二看是否存在兩個變量;三看對于變量每取一個確定的值,另一個變量是否都有唯一確定的值與其對應(yīng),以上三者(簡稱“三要素”)缺一不可.特別提醒：函數(shù)的定義中包括了對應(yīng)值的存在性唯一性兩重薏思，即對自變量的每一個確定的值函數(shù)有且只有一個值與之對應(yīng)對自變量x的不同值y的值可以相同，如函數(shù),當x=1和x=-1時,y的對應(yīng)值者是L【知識點2】函數(shù)的三種表示方法1.函數(shù)的三種表示方法表示方法定義優(yōu)點缺點列表示通過列出自變量的值與對應(yīng)函數(shù)值的表格表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法一目了然,對表格中已有自變量的每一個值,可直接查出與它對應(yīng)的函數(shù)值列出的對應(yīng)值是有限的,而且在表格中也不容易看出自變量與函數(shù)的變化規(guī)律關(guān)系式法用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做關(guān)系式法.其中的等式叫做函數(shù)關(guān)系式能準確地反映整個變化過程中自變量與數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系從函數(shù)關(guān)系式很難直觀看出函數(shù)的變化規(guī)律,而且有些函數(shù)不能用關(guān)系式法表示出來圖象法用圖象表示兩個變量間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法直觀、形象地反映出函數(shù)關(guān)系變化的趨勢和某些性質(zhì)從自變量的值常常難以找到對應(yīng)函數(shù)的準確值列函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實際問題列函數(shù)關(guān)系式的方法類似于列方程解應(yīng)用題，只要找出自變量與函數(shù)值之間存在的等量關(guān)系，列出等式即可.但要整理成用含自變量的代數(shù)式表示函數(shù)值的形式.【考點一】利用函數(shù)的概念判斷兩變量的函數(shù)關(guān)系【例1】（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）下列各式中，是否是的函數(shù)？為什么？（1）； （2）．【答案】（1）是，理由見分析；（2）不是，理由見分析【分析】根據(jù)函數(shù)的概念進行求解即可：對于兩個變量，對于其中一個變量x的任意取值（取值范圍內(nèi)），另一個變量y都有唯一的值與之對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)．（1）解：∵在中，對于任意的x的值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，∴是的函數(shù)；（2）解：∵在中，對于任意一個正數(shù)x的值，y都有兩個值與之對應(yīng)，∴不是的函數(shù)；【點撥】本題主要考查了函數(shù)的定義，熟知函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·安徽合肥·八年級合肥38中?？茧A段練習(xí)）下列各曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的概念即可解答．解：由函數(shù)的定義：在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)．則只有D選項符合題意故選：D．【點撥】題主要考查了函數(shù)的概念，在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都有唯一本的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)．【變式2】（2023·山東德州·二模）下列關(guān)于兩個變量關(guān)系的四種表述中，正確的是．（填序號即可）①圓的周長C是半徑r的函數(shù)；②表達式中，y是x的函數(shù)；③如表中，n是m的函數(shù)；m123n632④如圖中，曲線表示y是x的函數(shù)．

【答案】①②③【分析】根據(jù)函數(shù)的定義與函數(shù)的表示方法逐一分析即可得到答案．解：①圓的周長C是半徑r的函數(shù)；表述正確，故①符合題意；②表達式中，y是x的函數(shù)；表述正確，故②符合題意；③由表格信息可得：對應(yīng)m的每一個值，n都有唯一的值與之對應(yīng)，故③符合題意；在④中的曲線，當時的每一個值，y都有兩個值與之對應(yīng)，故④不符合題意；故答案為：①②③【點撥】本題考查的是函數(shù)的定義，函數(shù)的表示方法，理解函數(shù)定義與表示方法是解本題的關(guān)鍵．【考點二】函數(shù)的解析式★★自變量★★因變量【例2】（2022秋·八年級課時練習(xí)）在一次實驗中，老師把一根彈簧秤的上端固定，在其下端懸掛物體，測得彈簧秤的長度隨所掛物體的質(zhì)量x變化關(guān)系的圖象如下：（1）根據(jù)圖象信息補全表格：x/kg012345y/cm810121416（2）寫出所掛物體質(zhì)量在0至?xí)r彈簧秤長度y與所掛物體質(zhì)量的關(guān)系式；（3）結(jié)合圖象，寫出彈簧秤長度是怎樣隨懸掛物體質(zhì)量的變化而變化的．【答案】（1）18；（2）；（3）當0≤x≤5時，所掛重物每增加1千克，彈簧增長2cm；當掛重物不小于5千克時，彈簧的長度均為18cm．【分析】（1）根據(jù)表格可知，發(fā)現(xiàn)所掛重物每增加1千克，彈簧增長2cm，據(jù)此解答即可；（2）根據(jù)彈簧的長度等于彈簧原來的長度+彈簧伸長的長度列出關(guān)系式；（3）結(jié)合圖象解答即可．解：（1）由題意可知，當x=5時，y=16+2=18，故答案為：18；（2）根據(jù)表格可知：所掛重物每增加1千克，彈簧增長2cm，根據(jù)彈簧的長度=彈簧原來的長度+彈簧伸長的長度可知當所掛物體的重量為x千克時，彈簧長度y=2x+8（0≤x≤5）；（3）由圖象可知，當0≤x≤5時，所掛重物每增加1千克，彈簧增長2cm；當掛重物不小于5千克時，彈簧的長度均為18cm．【點撥】本題主要考查得是列函數(shù)關(guān)系式，解答本題需要同學(xué)們明確彈簧的長度=彈簧原來的長度+彈簧伸長的長度，根據(jù)表格發(fā)現(xiàn)所掛重物每增加1千克，彈簧增長2cm是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2021春·海南?？凇ぐ四昙壉本┐髮W(xué)附屬中學(xué)海口學(xué)校?？计谥校┰诤瘮?shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（

）A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解：根據(jù)二次根式的意義可知：x-1≥0，即x≥1，根據(jù)分式的意義可知：x-2≠0，即x≠2，∴x≥1且x≠2．故選：D．【點撥】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定和分式的意義．函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)．【變式2】（2022春·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，長為32米，寬為20米的長方形地面上，修筑寬度均為x米的兩條互相垂直的小路（圖中陰影部分），其余部分作耕地，如果將兩條小路鋪上地磚，選用地磚的價格是60元/米．

（1）寫出買地磚需要的錢數(shù)y（元）與x（米）的函數(shù)關(guān)系式為（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）當時，地磚的費用為元．【答案】8820【分析】（1）先求出小路的面積，然后根據(jù)買地磚需要的錢數(shù)小路的面積每平方米地磚的價格，進行計算即可解答；（2）把代入（1）中所求的關(guān)系式進行計算即可解答．解：（1）由題意得：兩條小路的面積為：米，，故答案為：；（2）當時，（元，答：當時，地磚的費用為8820元．【點撥】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題目的已知條件結(jié)合圖形求出小路的面積是解題的關(guān)鍵．【考點三】利用函數(shù)的三種表達方式解決問題【例3】（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）在一次實驗中，馬達同學(xué)把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，測得的彈簧長度隨所掛物體的質(zhì)量變化關(guān)系的圖象如下：

（1）上表反映的變化過程中的兩個變量，哪個是自變量？哪個是因變量？（2）根據(jù)以上圖象補全表格：所掛物體質(zhì)量012345彈簧長度8101214（3）由圖象可知，彈簧能承受的所掛物體的最大質(zhì)量是多少千克？（4）在彈簧承受范圍內(nèi)，請直接用含有x的代數(shù)式表示y．【答案】（1）圖中反映的是彈簧的長度隨所掛物體質(zhì)量之間的變化關(guān)系，其中所掛物體的質(zhì)量是自變量，彈簧的長度是因變量；（2）16，18；（3）5千克；（4）【分析】（1）根據(jù)變量常量的定義結(jié)合題意進行判斷即可；（2）根據(jù)圖象填寫表格即可；（3）根據(jù)圖象得出結(jié)論；（4）根據(jù)圖象可知所掛物體質(zhì)量每增加1千克，彈簧伸長2厘米，據(jù)此解答即可．解：（1）圖中反映的是彈簧的長度隨所掛物體質(zhì)量之間的變化關(guān)系，其中所掛物體的質(zhì)量是自變量，彈簧的長度是因變量；（2）由圖象得：所掛物體質(zhì)量012345彈簧長度81012141618故答案為：16，18；（3）由圖象可知，彈簧能承受的所掛物體的最大質(zhì)量是5千克．（4）∵所掛物體質(zhì)量每增加1千克，彈簧伸長2厘米，∴．【點撥】本題考查函數(shù)的表示方法，理解表格中彈簧的長度隨所掛物體質(zhì)量之間的變化關(guān)系是正確判斷的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·四川達州·七年級統(tǒng)考期末）李強一家自駕車到離家的九寨溝旅游，出發(fā)前將油箱加滿油．下表記錄了轎車行駛的路程與油箱剩余油量之間的部分數(shù)據(jù)：轎車行駛的路程0100200300400…油箱剩余油量5042342618…下列說法不正確的是（

）A．該車的油箱容量為B．該車每行駛100km耗油8LC．油箱剩余油量與行駛的路程之間的關(guān)系式為D．當李強一家到達九寨溝時，油箱中剩余油【答案】C【分析】根據(jù)表格中信息逐一判斷即可．解：A、由表格知：行駛路程為0km時，油箱余油量為，故A正確，不符合題意；B、時，耗油量為；100——200km時，耗油量為；故B正確，不符合題意；C、有表格知：該車每行駛耗油，則，故C錯誤，符合題意；D、當時，，故D正確，不符合題意．故選：C．【點撥】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，明確題意、正確從表格中獲取信息是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2020秋·八年級單元測試）等腰三角形周長為24，底邊長為，腰長為，則關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域是.【答案】【分析】根據(jù)三角形的周長為24可得出2x+y=24，變形后即可得出y=-2x+24；根據(jù)三角形的邊長大于0以及兩腰之和大于底邊，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出自變量x的取值范圍．解：根據(jù)題意得：2x+y=24，∴y=-2x+24，∵x、x、y為三角形的邊，∴，∴6＜x＜12．故答案為：．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及三角形的周長，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)三角形的周長為20找出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）由三角形的邊長為正值結(jié)合兩腰之和大于底邊，列出關(guān)于x的一元一次不等式組．【考點四】實際問題中列函數(shù)的表達式【例4】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）某超市最近銷售藍莓，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗，每天的售價與銷售量之間有如下關(guān)系：每千克售價（元）6059585756……30每天銷售量（千克）5055606570……200（1）表格中的自變量是__________，因變量是__________．（2）設(shè)當售價從每千克60元下降了x元時，每天銷售量為y千克，直接寫出y與x之間的關(guān)系式；（3）如果周六的銷售量是170千克，那這天的售價是每千克多少元？（4）如果藍莓的成本價是30元/千克，某天的售價定為40元/千克，當天的銷售利潤是多少？【答案】（1）每千克售價，每天銷量；（2）；（3）36元；（4）1500元【分析】（1）根據(jù)表格內(nèi)容可求解此題；（2）由題意根據(jù)每千克售價每下降1元每天銷售量就增加5千克進行求解；（3）將代入（2）題結(jié)果并進行計算；（4）根據(jù)當天的銷售利潤等于每千克的利潤乘以銷售的千克數(shù)進行代入計算．（1）解：由題意得，自變量是每千克售價，因變量是每天銷量，故答案為：每千克售價，每天銷量；（2）解：由題意得售價每下降1元銷售量就增大5千克，∴當售價從每千克60元下降了x元時，每天銷售量為即y與x之間的關(guān)系式為；（3）解：當時，，解得：，∴，即這天的售價是每千克36元；（4）解：由（2）題結(jié)果可得，當時，，∴（元）答：這天的銷售利潤是1500元．【點撥】此題考查了運用函數(shù)解決實際問題的能力，關(guān)鍵是能準確理解題目間數(shù)量關(guān)系，并運用函數(shù)知識進行求解．【舉一反三】【變式1】（2023春·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）已知兩個變量x和y，它們之間的三組對應(yīng)值如下表所示：x02y31那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及函數(shù)圖象上點的坐標特征逐項進行判斷即可．解：A．表格中的三組的對應(yīng)值均滿足，因此選項A符合題意；B．表格中滿足，但與不滿足，因此選項B不符合題意；C．表格中的三組的對應(yīng)值均不滿足，因此選項C不符合題意；D．表格中的三組的對應(yīng)值均不滿足，因此選項D不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查函數(shù)關(guān)系式，理解函數(shù)的定義以及函數(shù)圖象上點的坐標特征是正確解答的前提．【變式2】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）甲同學(xué)的飯卡原有元，在學(xué)校消費為周一到周五，平均每天消費元，他的卡內(nèi)余額y（元）與在校天數(shù)之間的關(guān)系式為．【答案】【分析】用208減去天內(nèi)的消費，即可確定函數(shù)關(guān)系式．解：依題意，他的卡內(nèi)余額y（元）與在校天數(shù)之間的關(guān)系式為，故答案為：．【點撥】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，理解題意列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【考點五】動點問題中列函數(shù)的表達式【例5】（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）已知點及在第一象限的動點，且．設(shè)的面積為．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求的取值范圍，并根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍；（3）當時，求點坐標．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）根據(jù)的面積等于可得出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）由點在第一象限，可得點的橫縱坐標均大于0，則可得關(guān)于的不等式，解得的取值范圍即可．（3）先根據(jù)（1）中關(guān)于的函數(shù)解析式及，得出點的橫坐標，再將其代入，則可解得點的縱坐標．（1）解：由得，點在第一象限，點坐標，，關(guān)于的函數(shù)解析式為．（2）解：在第一象限，，的取值范圍為．則的取值范圍為．（3）解：，當時，，，，，點的坐標為．【點撥】本題主要考查了求函數(shù)關(guān)系式，求自變量的取值范圍，解題的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合和三角形的面積公式進行計算．【舉一反三】【變式1】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖所示，在中，已知，高，動點由點沿向點移動（不與點重合）．設(shè)的長為，的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．解：∵∴∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）．故選：B【點撥】本題考查列函數(shù)解析式，理解題意，列出函數(shù)解析式，寫出自變量的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市實驗學(xué)校校考期中）如圖，在正方形中，，動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段運動，同時動點N從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段運動，當點N運動到點D時，點M，N同時停止運動，設(shè)的面積為y，運動時間為x（s），請寫出y與x之間函數(shù)關(guān)系式．

【答案】【分析】根據(jù)點N的運動情況，寫出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式即可.解：當點N在運動時，∵，∴，∵動點M以每秒1個單位長度的速度沿線段運動，動點N以每秒2個單位長度的速度沿線段運動，∴，，∴，故答案為：.【點撥】本題是運動型綜合題，考查了函數(shù)表達式、正方形的性質(zhì)、三角形的面積等知識點.解題關(guān)鍵是深刻理解動點的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點所代表的實際意義，理解動點的完整運動過程.【考點六】分段函數(shù)的表達式【例6】（2022秋·黑龍江大慶·七年級校考開學(xué)考試）某市自來水公司為鼓勵單位節(jié)約用水，額定某單位每月計劃內(nèi)用水噸．計劃內(nèi)用水每噸收費元，超額部分按每噸元收費．（1）寫出這個單位每月消費y（元）與用水量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該單位1、2月份分別用水噸和噸，水費各為多少？【答案】（1）（2）該單位1、2月份分別用水噸和噸，水費分別為元和【分析】（1）根據(jù)題意，分時，時，分別列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解；（2）將分別代入（1）的關(guān)系式，即可求解．解：（1）當時，；當時，，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）∵，∴（元），∵∴（元），答：該單位1、2月份分別用水噸和噸，水費分別為元和．【點撥】本題考查了列函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)值，根據(jù)題意分別列出函數(shù)關(guān)系式解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022秋·福建漳州·八年級?？计谥校┠成痰?1月11日舉行促銷優(yōu)惠活動，當天到店購買商品，有以下兩種優(yōu)惠方案，方案一：用168元購買會員卡后，則購買商店內(nèi)任何商品，一律按商品價格的8折優(yōu)惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內(nèi)任何商品，一律按商品價格的9折優(yōu)惠．已知小敏不是該商店的會員，設(shè)她所購買商品總價格為x元，實際支付費用為y元．（1）若小敏不購買會員卡，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是________；若小敏購買會員卡，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是________；（2）小敏準備購買的商品總價格為1080元，請問她選用哪種方案較為合算？【答案】（1）；；（2）選用方案一較為合算【分析】（1）根據(jù)所購買商品的價格和折扣直接計算出實際應(yīng)付的錢